Для натурального числа `a_1` образуем последовательность `a_1, a_2, a_3, ...` по следующему принципу: `a_k` равно произведению цифр числа `a_{k-1}` при `k >= 2`. Если для некоторого `k >= 1` `a_k` является однозначным числом, то `a_k` называется числовым корнем `a_1`. Легко проверить, что для каждого натурального числа существует единственный числовой корень. (например, если `a_1 = 24378`, то `a_2 = 1344`, `a_3 = 48`, `a_4 = 32`, `a_5 = 6`, и, таким образом, `6` является числовым корнем для `24378`.) Докажите, что числовой корень натурального числа `n` равен `1` тогда и только тогда, когда все цифры `n` равны `1`.