Математическая олимпиада Аргентины

[eek]

Летом этого года запланировано проведение 53 международной математической олимпиады в курортном городке Мар-дель-Плата, Аргентина. Мар-дель-Плата Логотип и гимн олимпиады The IMO song Coral version Vocal version Music: Estela Ojeda - Lyrics: Lidia Roisman Аргентина Аргентина Официальное название : Республика Аргентина Флаг Государственный язык : Испанский Столица : Буэнос-Айрес Этимология названия Название Аргентина является производным от латинского слова argentum (аргентум, «серебро»), которое в свою очередь происходит от греческого ἀργήντος (аргентос), более раннее ἀργήεις (аржиз), что означало «белый», «сияющий». Αργεντινός (аргентинос) — греческое прилагательное, означавшее «серебристый». Географическое положение Аргентина занимает фактически всю юго-восточную часть Южной Америки. Протяженность Аргентины с Севера на Юг составляет около 3800 км. и около 1400 км. с запада на восток. На Юге и Западе Аргентина граничит с Чили, на севере - с Боливией и Парагваем, на северо-востоке и востоке - с Бразилией и Уругваем. Юго-восточную границу Аргентины очерчивает Атлантический океан, а ее граница с Чили на Западе и Юго-Западе определяется Андами. Столица Аргентины - Буенос-Айрес. Площадь – около 2,780,400 кв.км. Население (на 1993 г.) составляло 33,507,000. Географически Аргентину можно разделить, по-крайней мере, на четыре основных региона: Северо-восточные равнины, Пампа, Патагония и Анды (горный регион). Поскольку Аргентина имеет большую протяженность с Севера на Юг, она пересекает сразу несколько климатических зон - от тропиков, до самой Антарктиды. Природа Водопады на Игуасу Гора Аконкагуа Танго и гаучо... Историческая справка До испанской колонизации территорию северо-западной Аргентины населяли многочисленные индейские племена, которые занимались земледелием, ремёслами, знали плавку цветных металлов. В начале XVI в. территория Аргентины была завоёвана испанцами, которые назвали эти земли Ла-Плата (по названию реки). Эта территория была включена в вице-королевство Перу. Индейцы были оттеснены в южные суровые районы и в предгорья Анд. В стране укрепилось крупное землевладение с использованием труда индейцев и ввозимых из Африки рабов. Большое значение имело разведение крупного рогатого скота, овец, лошадей, возделывание пшеницы и других зерновых культур, сахарного тростника. Вывозилось добываемое серебро. В XVIII в. испанские власти разрешили строить мануфактуры, отменили некоторые ограничения на торговлю. В 1776 г. создано отдельное вице-королевство Ла-Плата (территория современных Аргентины, Боливии, Парагвая и Уругвая). Буэнос-Айрес получил право свободной торговли с портами метрополии. В мае 1810 г. в Буэнос-Айресе вспыхнуло антииспанское восстание. В 1816 г. была провозглашена независимость Объединённых провинций Ла-Платы. В 1826 г. страна была объявлена конфедерацией. Только в 1862 г. Аргентина стала единым государством. До недавнего времени Аргентина была одной из самых развитых стран в Латинской Америке. С начала 90-х годов в стране активно проводились экономические реформы. Существенную роль в этих реформах играют политика приватизации и широкое привлечение иностранного капитала. Это 'широкое привлечение' было настолько широким, что по мнению некоторых наблюдателей, почти все производство либо оказалось в собственности иностранцев, либо было арендовано ими. Финансы Денежная единица Аргентины - песо, состоит из 100 сентаво. С самого начала реформирования экономики и до января 2002г. она была жестко привязана к курсу доллара как 1:1 В январе 2002г. правительство Аргентины девальвировало песо и официальный курс стал 1:1,4. Однако почти сразу же наметилось дальнейшее падение курса песо. Система образования Аргентины Система образования Аргентины Аргентина имеет одну из наиболее совершенных систем образования во всем Западном полушарии, хотя ее стандарты несколько снизились в связи с финансовыми трудностями. Общий уровень грамотности в Аргентине достигает 95%. Это самый высокий уровень в Южной Америке. Система образования в стране складывается из дошкольного воспитания, начальной, средней, профессионально-технической и высшей школы. Обучение в школах обязательно для детей в возрасте от 6 до 14 лет и бесплатно на всех уровнях, от подготовительных классов до университетов. Обучение в средних учебных заведениях ведется по образцу английских школ или французских лицеев: учащиеся готовятся к поступлению в колледж либо получают техническую специальность. Средняя школа подразделяется на начальную и общеобразовательную, с шестилетней двухступенчатой программой обучения (7-9 класс и 10-12 класс). Наряду с этим, вводится трехлетнее профессионально-техническое обучение. Большинство молодых людей фактически заканчивают образование в средней школе первой ступени. Вторая ступень (10-12 класс), дает возможность выбора дисциплины для сдачи выпускных экзаменов, что в дальнейшем открывает путь для продолжения учебы в высшей школе. Однако, полный курс средней школы доступен далеко не каждому. Не более 15 процентов поступивших в начальную школу имеют возможность получить законченное среднее образование. В средних учебных заведениях нет унифицированной программы, имеются большие различия в укомплектованности квалифицированными преподавательскими кадрами. В результате уровень подготовки учащихся различается. Состоятельные люди предпочитают давать своим детям среднее образование в частных школах. Церковь, формально отделенная от государства и школы, в ряде районов страны продолжает оказывать заметное влияние на систему школьного образования. Система высшего образования начала формироваться на базе католических университетов еще в колониальную эпоху, первый из них был открыт иезуитами в г. Кордова в 1613 году. Наряду с государственными учреждениями, на всех уровнях образования существуют и частные: детсады, школы, гимназии и университеты. Школьное образование Детей отправляют в детсад (jardin de infantes или preescolar) с 4-5-ти лет, но это не обязательно. Аргентинские дети обязаны отучиться в подготовительной (preescolar) группе в садике, и уже после этого они начинают школу. По закону родители обязаны отдать детей в начальную школу, обучение в которой начинается в 6-7 лет. Среднее образование разделено на две ступени: (Primaria) - с 1 по 7 класс (5-12 лет), обязательное и бесплатное, с 13-18 лет (Secundaria) - платное или бесплатное образование, направленное на получение технических профессий и подготовку к обучению в университетах (длится 5 лет). Школы бывают трех типов: государственные (обучение бесплатное), частные и религиозные, как правило, католические. Уровень преподавания практически одинаковый. Реформа начального и среднего образования С 1998 года в Аргентине началась реформа, согласно которой семилетнюю начальную школу сделали 9-летней (EGB-Educacion General Basica) - так называемое "базовое общее образование". Среднее образование сократилось с 5 до 3-х лет (Polimodal) - половина предметов является общей для всех учащихся, а другая половина - с ориентацией на будущую специализацию, например: естественные науки, экология и здоровье, экономика и организация, гуманитарные и общественные науки, искусство, дизайн, связь, производство товаров и услуг. По сути, начальное плюс среднее образование осталось 12-летним, но по новой системе учащиеся могут выбрать ориентацию по своему призванию в 15-16 лет, а не в 13, как было раньше. Реформа продолжается, поэтому обе системы существуют параллельно. Так, в провинции вступила в силу новая система образования, а в столице пока всё осталось по-прежнему. В провинции схема обучения такова: Начинают учиться по программе Ensenanza General Basica - "Базовое Среднее Образование". Этот курс длится 6 лет, с 1 по 6 классы. После EGB начинаются 7 и 8 классы, которые входят в Polimodal. По окончании Polimodal начинаются 4 и 5 классы Secundaria, эквивалентные нашим 10 и 11 классам. По завершению EGB и Polimodal, ученик получает титул, эквивалентный нашему неполному среднему образованию (является обязательным для всех граждан Аргентины). Имея этот титул, можно продолжить обучение в технической школе. По завершении обучения Secundaria и получении "Secundaria completa" (эквивалент нашему полному среднему образованию), можно продолжить учёбу в университете или институте. В столице обучение гораздо проще. Начинают с Primaria (подобие начальной школы), которая длится 7 лет, с 1 по 7 классы. После этого следует Secundaria (длится 5 лет, с 1 по 5 классы). После окончания Primaria и первых трёх классов Secundaria ученик получает титул о неполном среднем образовании (после этого можно продолжить учебу в технической школе). Если же учащийся заканчивает последние два класса Secundaria, он имеет титул о законченном среднем образовании и может продолжать учёбу в высших заведениях. Учебный процесс В аргентинской школе применяют десятибалльную систему подсчёта баллов. Десять - наивысший результат. Учебный год разделён на 3 триместра, начало - в марте, окончание - в конце ноября. Широко используется метод конспектирования учениками лекций учителей. По пройденному материалу проводятся проверочные, практические и контрольные работы, результаты которых учитываются при выведении среднего арифметического каждого триместра. По итогам трёх триместров выводится итоговая оценка. Среднее арифметическое большее или равное 7 означает, что данный курс пройден успешно, меньше 7 - придется сдавать экзамен по всему материалу, пройденному в учебном году. Имея несданными 2 предмета, ученик успешно переводится в следующий класс с их последующей пересдачей. Профессиональное образование Среднее техническое образование подтверждается после окончания специальных двух-трехлетних курсов с малым освоением науки и направленных на узкие специальности или ремесла. Дипломы таких учреждений не позволяют получить государственную лицензию на самостоятельную профессиональную трудовую деятельность. Высшее образование В государственных вузах обучение бесплатное, но стипендию получают не более 10 процентов студентов, поэтому около половины студентов вынуждены сочетать учебу с работой. Оплата в частных заведениях достаточно высокая, и гражданину со средним достатком она недоступна. Дети рабочих составляют менее одного процента от общей численности студентов. Уровень подготовки студентов исключительно высок. Государственная же система высшего образования возникла только после завоевания национальной независимости. Начало было положено созданием университетов в Буэнос-Айросе, в городах Ла-Плата, Санта-Фе. К середине прошлого столетия уже сложилась достаточно разветвленная система высшего образования. Сегодня насчитывается около 500 университетов. Но число государственных университетов не более 50. Самые крупные государственные университеты - университет Буэнос- Айреса (основан в 1821), Национальный технологический университет (в Буэнос-Айресе), Национальный университет Кордовы, университеты Ла- Платы, Росарио, Северо-Восточный университет (в Корриентес), университеты в городах Тукуман, Санта-Фе, Ломас-де-Самора и Мендоса. Среди частных университетов наиболее известны Эль-Сальвадор, Бельграно, Маймонидес, Палермо, Сан-Андрес и Торкуато-ди-Телья. Большинство частных вузов принадлежат католической церкви. Около 60 процентов студентов изучают медицину, право и гуманитарные дисциплины, а точными и естественными науками занимается вполовину меньше. Учебная программа вузов не унифицирована, в зависимости от профиля рассчитана на 4-6 лет обучения. В большинстве университетов абитуриентов принимают без вступительных экзаменов, однако, заканчивают обучение в срок не более 20 процентов поступивших. Поступление в вузы Чтобы поступить на государственный факультет, надо пройти и сдать годовой курс СВС (curso basico comun) - "базовый общий курс". В частные университеты можно поступать и без сдачи этого курса, но необходимо выдержать вступительный экзамен. Сроки обучения разные: инженер-5-6 лет, программист-5 лет, аудитор-5 лет, архитектор-5-6 лет, медик-6 лет. Получив диплом об окончании университета, выпускник имеет право на лицензирование его профессиональной самостоятельной деятельности со стороны государства. Обучение в Университете Буэнос Айреса, самом престижном университете Аргентины бесплатное и уровень подготовки студентов исключительно высок. Претенденты в студенты зачисляются на первый курс университета по результатам так называемого Ciclo Basico Comun (это годовые бесплатные подготовительные курсы). Математическая олимпиада Аргентины для учащихся средней школы. Математическая олимпиада Аргентины для учащихся средней школы. В 2012 году проводится 29 математическая олимпиада Аргентины - OMA. Участие добровольное, участник должен соблюдать правила проведения олимпиады и осуществить платеж в размере 35 долларов. Это стоимость участия одного ученика предусмотренная в 2012 году. Олимпиада проводится Фондом математической олимпиады Аргентины - F.O.M.A Целью проведения математических олимпиад Аргентины является повышение активности молодежи и развитие способностей к решению математических задач основанное на следующих принципах: 1. Свобода участия: эта деятельность является полностью добровольной. 2. Образовательные и культурные цели: поддержка математики в образовании, предоставление школьникам возможности продемонстрировать соответствующие навыки, способствовать обмену опытом между преподавателями и исследователями. 3. Равные возможности: обеспечение равных возможностей для участия и личного развития в школах, независимо от социального статуса и места жительства. 4. Социальная интеграция: вклад в развитие личности в ответ на текущие требования мирового технологического развития. 5. Постепенное участие: участие осуществляется в зависимости от возраста, уровня знаний, чтобы избежать разочарования школьниками, не добившимися больших успехов. 6. Академический ответственность: OMA несет полную ответственность за академическую активность и только. Но оставляет за собой право прекратить участие любого школьника, если это, по мнению оргкомитета конкурса, необходимо для достижения целей олимпиады. OMA - соревнование школьников школ второй ступени и подразделяется на три уровня в зависимости от следующих критериев: · Первый уровень: учащиеся от 8 до 9 лет обучения в школе · Второй уровень: учащиеся 10 и 11 лет обучения · Третий уровень: студенты 12 лет обучения Олимпиада проводится в пять этапов: апрель - школьный этап май - межшкольный этап июнь - зональный этап сентябрь - региональный этап ноябрь - финальный этап Продолжительность каждого этапа не должна превышать четырех часов. В школьном этапе принять участие может любой школьник, в последующих только те, кто прошли отбор. К участию в следующем этапе допускается любой школьник решивший по крайней мере две задачи из трех предложенных. В финале национального конкурса для трех финалистов в каждой возрастной группе проводится, помимо письменного, устное тестирование. Во время этого тестирование проводится обсуждение уже решенных участниками задач, с возможными небольшими изменениями. Целью этого тестирования является определение победителя. Условия OMA 2011 г. Условия OMA 2011 г. oma.org.ar/enunciados/index.htm Межшкольный этап Первый уровень 1. Франко сдавал тест из трех частей, в первой было 40 вопросов, во второй - 30, а в третьей - 90 вопросов. В первой части он правильно ответил на 50% вопросов из 40, во второй - на 60% из 30, и в последней правильно ответил на 80% вопросов из 90. Рассчитайте, какой процент правильных ответов был дан Франко на протяжении всего испытания. 2. В коробке находятся 250 бусинок синего и 220 бусинок красного цвета. Вне коробки есть много бусинок тех же двух цветов. Каждый раз, когда мы удаляем бусинку из коробки или добавляем бусинку в коробку, считаем за один ход. Определить наименьшее количество ходов, за которое отношение между количеством синих и красных бусинок в коробке станет равным 4/3. Сколько бусинок каждого цвета осталось в коробке? 3. ABCD - трапеция с основаниями AB и CD, AB > CD, стороны AD, DC и CB равны, сторона AB равна диагонали АС. Найдите углы трапеции. Второй уровень 1. Гастон хочет пронумеровать страницы записной книжки. Для этого у него есть много наклеек с цифрами 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, но только 22 с цифрой 2. Определить, до какой страницы он сможет дойти. 2. Учитель провел тест, в котором приняли участие 36 студентов, набравшие в среднем 13 баллов. Первые по списку 15 студентов набрали в среднем 11 баллов, 18 последних по списку набрали в среднем 15 баллов. Три оставшихся студента набрали баллы, которые выражаются последовательными целыми числами. Найдите эти числа. 3. AB, BC, CD и DA - стороны квадрата ABCD. Прямые r и s проведены вне квадрата и параллельно друг другу, через точки А и С, соответственно. Прямая p, перпендикулярная r и s, проходит через точку B и пересекает эти прямые в точках E и F соответственно. Найти площадь квадрата ABCD, если BE = 5 и BF = 7. Третий уровень 1. Различные буквы представляют собой различные цифры (от 0 до 9). t.o.r.r.e r e t o + e r r o r t o r o o t r o ----------- 4 5 8 7 5 Известно, что нет переноса, т.е. сумма в каждой из пяти колонок составляет менее 10, помимо этого, допустимо, что первая слева цифра может быть равна нулю. Замените каждую букву на соответствующую цифру. 2. Найдите основание системы счисления, при котором верно равенство `15^2=312`. Запишите 2011 в этой системе счисления. 3. В квадрате ABCD со стороной 3 отмечены точки `A_1`, `B_1`, `C_1` и `D_1` на сторонах `AB`, `BC`, `CD` и `DA` соответственно, так что `A A_1 = B B_1 = C C_1 = D D_1 = 1` и точки `A_2`, `B_2`, `C_2` и `D_2` на сторонах `DA`, `AB`, `BC` и `CD` соответственно, так что `A_2A = B_2B = C_2C = D_2D = 1`. Квадрат KLMN образован прямыми `A_1A_2`, `B_1B_2`, `C_1C_2` и `D_1D_2`. Вычислить отношение площадей `(S_{ABCD})/(S_{KLMN})`. Зональный этап Первый уровень 1. В одной из школ 25 студентов выполнили тест из 4 упражнений. Каждое верно выполненное упражнение оценивается в 2,50 балла. 22 студента правильно выполнили упражнение 1, упражнение 2 правильно выполнили 20 студентов, число учащихся, которые правильно выполнили упражнение 3, равно 18, а число студентов, которые правильно выполнили упражнение 4 равно 15. Возможно ли, что ни один из студентов не набрал 10 баллов? 2. Франко выбрал три разные цифры, все отличные от нуля. Из этих трех цифр он образовал шесть возможных чисел, сложил их и получил в результате 2886. Узнайте, какие три цифры мог выбрать Франко. В ответе укажите все возможные варианты. 3. ABCD - трапеция с основаниями AB и CD, AB меньше, чем CD, и непараллельными сторонами BC и DA. Сторона BC перпендикулярна диагонали BD. Через точку A проведена прямая, перпендикулярная диагонали BD и пересекающая сторону CD в точке E. BD = DE, BC = 27 и BD = 36. Найдите длины AB и CD. Второй уровень 1. Леонардо перемножил два числа, но при этом заменил 7 в разряде сотен первого числа на 4. Он получил 3079944 вместо 3250044. Найти два числа умноженные Леонардо. 2. На заводе имеются четыре бочки. Первая вмещает 2 канистры с водой, вторая - 4, третья - 5 и четвертая - 7 канистр с водой. Шестая часть воды, находившейся во всех бочках, была использована, а остаток распределен поровну по всем четырем бочкам. Определить, какое количество воды было в каждой бочке, если в одной из них количество воды увеличилось на 14 литров по сравнению с первоначальным. 3. ABC - треугольник, такой, что `/_ABC = 15 ^ @`. `D` - точка, принадлежащая стороне `AB`. Вычислить углы треугольника ABC при условии, что `AD = AC` и `/_BDC = /_ACB`. Третий уровень 1. Даны пять членов арифметической прогрессии 8, a, b, c, 3a. Найти седьмой член прогрессии. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: арифметической прогрессией является последовательность такая, что каждый член получается путем сложения предыдущего с фиксированным числом, называемым разностью прогрессии. 2. Чему равно количество натуральных чисел, больших 9, таких, что в них каждая цифра больше, чем следующая (считая слева направо)? 3. ABC - треугольник с прямым углом В. Возьмем точку D на AC и точку E на BC так, что `/_ABD = 45^@` и DE перпендикулярно BC. BE = 24, EC = 36. Вычислить площадь треугольника ABD. Региональный этап Первый уровень 1. Назовем ясным целое положительное число, состоящее из 10 или менее цифр, в котором первая цифра слева равна количеству нулей в десятичной записи числа, вторая цифра - количеству единиц, третья - количеству двоек, et cetera. Например, число 42101000 является ясным. Найти три наименьших ясных числа и обосновать, что они являются наименьшими. 2. Вершины правильного многоугольника с 2000 сторон пронумерованы последовательно от 1 до 2000 по часовой стрелке. Сверчок прыгает с одной вершины многоугольника на другую по таким правилам: если номер вершины не является степенью тройки, то он прыгает по часовой стрелке и пропуская четыре последовательные вершины и попадает на пятую (например, с вершины 53 он попадает на вершину 58), если номер вершины, на которой он находится, является степенью тройки, то он прыгает против часовой стрелки, пропускает две вершины и опускается на третью (например, с вершины `27=3^3` он попадает на вершину 24). Может ли сверчок, стоящий на вершине с номером 4, попасть на вершину с номером: a) `nu = 1000`, b) `nu = 201`. Если сверчок может попасть на вершину с номером `nu`, то нужно указать количество прыжков необходимое для этого, в противном случае нужно обосновать невозможность добиться желаемого. Примечание: Степени тройки `3^0=1`, `3^1=3`, `3^2=9`, `3^3=27`, т.д. 3. Внутри равностороннего треугольнике ABC выбрана точка P такая, что `/_PAC = 2/_PBA` и `/_PCB = 3/_PBA`. Вычислить величины углов `/_PAB` и `/_PCB`. Второй уровень 1. Непустое множество, состоящее из натуральных чисел, назовем маленьким, если количество элементов в нем меньше чем его наименьший элемент. Рассмотрим такие множества M: наименьший элемент M - положительное целое m меньшее или равное 100, наибольший элемент M - кратное числа m, меньшее или равное 100, обозначим его km. Множество M состоит из всех кратных числа m от m до km. Т.е. `M={m, 2m, ... , km}`, где `km <= 100`. Вычислить количество маленьких множеств M. 2. Поезд движется с постоянной скоростью. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он прибудет в пункт назначения на 45 минут раньше, а если его скорость уменьшить на 10 км/ч, то он опоздает на 1 час. Найти расстояние до пункта назначения. 3. ABCD - прямоугольник со сторонами AB, BC, CD и DA, AB > BC. Точка E - середина AB, точка F принадлежит диагонали AC, BF перпендикулярен AC, FE перпендикулярен BD. Вычислить AB / BC. Третий уровень 1. Пусть M - число, образованное 2011 записанными последовательно восьмерками, и N - число, образованное 2011 записанными последовательно пятерками. Вычислить сумму цифр числа `A = 9*M*N` (произведение чисел 9, M и N). 2. В сумке имеется 100 кошек, белых, черных и серых. Известно, что черных более чем в два раза больше чем белых, что утроенное количество белых больше чем учетверенное количество серых и утроенное количество серых больше чем количество черных. Подсчитайте, сколько кошек каждого цвета находится в сумке. 3. Дан треугольник ABC, `/_ABC = 120^@`, `BC = 2AB`. Точки M и N - середины BC и AC соответственно. Найти угол между AM и BN. Финальный (национальный) этап Первый уровень 1. Сесилия составила список из 5-значных натуральных чисел, делящихся на 37 и сумма цифр которых равна 37. Определить количество чисел в списке Сесилии. 2. Дан треугольник ABC, в котором `/_C=90^@`. Точки P и Q принадлежат сторонам AB и BC соответственно. PC=BC, `/_BAQ=6/_CAQ`. Отрезок CP проходит через середину отрезка AQ. Найти углы треугольника ABC. 3. Есть 7 ящиков с 5 игрушками в каждом. Каждая игрушка должна быть окрашена так, что: (i) В каждой коробке нет игрушек одного цвета (ii) Каждая пара цветов встречается только в одной коробке Какое минимальное количество цветов было использовано? 4. В сетке, образованной 15 горизонтальными и 15 вертикальными линиями, каждая точка пересечения вертикальных и горизонтальных линий окрашена синим или красным цветом. Отрезки, соединяющие соседние точки сетки (по горизонтали или вертикали) окрашены в синий, красный или черный цвет следующим образом. Отрезок, соединяющий две красные точки покрашен красным цветом, отрезок, соединяющий две синие точки покрашен в синий цвет, отрезок, соединяющий две точки разных цветов - черного цвета. Количество синих точек составляет 71, из которых 20 являются расположены на краю сетки и включают в себя только одну из четырех угловых точек. Есть 205 черных отрезков. Сколько отрезков окрашено в красный цвет? 5. В одном ряду стоят 30 детей пронумерованные числами 1, 2, ..., 30 слева направо. Каждый ребенок с номером i, находящимся в промежутке от 2 до 15 включительно, имеет 1 друга с номером большим i плюс друзей с номерами меньшими x. Каждый ребенок с номером i, находящимся в промежутке от 16 до 29 включительно, имеет 2 друзей с номером меньшим i плюс друзей с номерами большими x. Ребенок 1 имеет 19 друзей. Сколько друзей имеет ребенок номер 30? 6. Среди всех дробей a/b, где a и b - натуральные числа меньшие или равные 100, найти ближайшую к 60/101. Второй уровень 1. Выписали первые k натуральных чисел, после чего стерли одно из них. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно 25.25. Какое число стерли? 2. С двумя натуральными числами a и b можно выполнять следующие операции: (i) Увеличивать оба числа на единицу; (ii) Заменять точный куб на корень кубический из него. Целью является получение двух равных чисел. Найти все начальные пары (a; b) для которых это возможно. 3. ABC - треугольник. BC = 13, CA = 14, AB = 15. I - точка пересечения биссектрис, M - середина AB. Прямая IM пересекает высоту CP. найдите длину отрезка CP. 4. Грани правильного тетраэдра, длина стороны которого равна 2011, разбиты линиями, параллельными сторонам грани, на правильные треугольники с длиной стороны равной 1. Бруно и Мариано играют в такую игру: они по очереди ставят пометки в маленьких треугольниках, первым ходит Бруно. Каждый отмечаемый треугольник, кроме первого, должен иметь по крайней мере одну общую точку с треугольником, помеченным противником во время его предыдущего хода. Треугольники не могут помечаться более одного раза. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Определите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию и опишите ее. 5. `a` и `b` - натуральные числа. Остаток от деления `a` на 17 равен остатку от деления `b` на 19 и остаток от деления `a` на 19 равен остатку от деления `b` на 17. Найдите все возможные остатки от деления `a` и `b` на 323. 6. Прямоугольник разделен на несколько подобных равнобедренных треугольников. Определить величины углов одного из таких треугольников. Рассмотрите все возможные варианты. Третий уровень 1. `S_k = 1/k + 1/(k+1) + ... + 1/2011`, где k = 1, 2, …, 2011. Вычислить `S_1 + S_1^2 + S_2^2 + ... + S_2011^2`. 2. Три игрока, A, B и C, играют в игру забирая камни из кучи, в которой находятся N камней. Ходят они по очереди A, B, C, A, B, C, ... Проигрывает тот, кто забирает последний камень. Игроки A и C объединились против игрока B, они договорились о совместной стратегии. Игрок B может забирать за один ход 1, 2, 3, 4 или 5 камней, игроки A и C, каждый, могут забирать 1, 2 или 3 камня за один ход. Определить для каких N существует выигрышная стратегия для команды A и C и для каких N существует выигрышная стратегия для игрока B. 3. Дан треугольник ABC, `/_A=90^@`, `/_B=75^@` и AB = 2. Точки P и Q лежат на AC и BC соответственно так, что `/_APB=/_CPQ` и `/_BQA=/_CQP`. Вычислить длину отрезка QA. 4. Пусть S - множество натуральных чисел, таких что, если x, y принадлежат S и `x<y`, то `xy < 111y - 148x`. Из какого наибольшего количества элементов может состоять множество S? 5. Найти все целые n такие, что `1 < n < 10^6` и `n^3-1` делится на `10^6n-1`. 6. Дан квадрат со стороной 1 и число `l`, `0 < l < sqrt(2)`. Игроки A и B, по очереди, рисуют в квадрате открытый отрезок (без концов) длины `l`, начинает A. Каждый новый отрезок не может иметь общих точек с нарисованными ранее отрезками. Проигрывает тот, кто не может сделать свой ход. Определить, может ли кто-то из игроков иметь выигрышную стратегию. Благодарю за помощь при переводе части условий Диану Шипилову и Дилетант. Если ошибки в условиях задач и остались, то только в тех, в которых я постарался обойтись без их помощи. Благодарю Дилетант и за помощь в оформлении топика. Спасибо.