Планиметрия 2011.06.06

[eek]

Восток

С4. В треугольнике `PQR` угол `R` прямой, `RA` - высота, `QB` - медиана. Прямые `AB` и `QR` пересекаются в точке С, лежащей на луче `QR`. Окружность, проходящая через точки А и В, касается прямой `QR` в точке `D`. Найдите `DR`, если известно, что `BC=25` и `AB=11`
С4. В треугольнике `ABC` угол `C` прямой, `CH` - высота, `BD` - медиана. Прямые `DH` и `BC` пересекаются в точке E. Окружность, проходящая через точки D и H, касается прямой `BC` в точке `M`. Найдите `CM`, если известно, что `DE=9` и `DH=7` и точка `E` лежит на луче `BC`.
С4. В треугольнике `KLM` угол `L` - прямой, `LR` - высота, `MQ` - медиана. Прямые `QR` и `LM` пересекаются в точке Р, лежащей на луче `LM`. Окружность, проходящая через точки Q и R, касается прямой LM в точке N. найдите LN, если известно, что QR = 9 и Q = 16.

С4. В равнобедренную трапецию с периметром 20 вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону в отношении 1:4. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его площадь.
С4. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, делит боковую сторону на отрезки 1 и 4. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его площадь.

С4. Периметр равнобедренной трапеции равен 52. В трапецию вписана окружность радиуса 6. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
С4. Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении 9:25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
С4. Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 18. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
С4. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 24, а синус угла при большем основании равен `3/5`. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
С4. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
C4. Косинус одного из углов равнобедренной трапеции равен `-4/5`, а меньшее основание равно `8/3`. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отчсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.


Запад


C4. Прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 20, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно `13/10`.
C4. Прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно `5/6`.
C4. Прямая перпендикулярна боковой стороне равнобедренного треугольника,отсекает от него треугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24 ,а синус угла при основании равен `4/5`.
C4. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 10, 10, 12, отсекает от него четырехугольник, в которой можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырехугольника.
C4. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 13, 13, 10, отсекает от него четырехугольник, в которой можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырехугольника.

C4. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов равно `3/4`.
C4. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов равно `5/12`.
C4. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла `3/5`.
C4. Прямая перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырехугольника.
C4. Прямая перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырехугольника.
С4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Прямая, перпендикулярная гипотенузе, отсекает от треугольника четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырехугольника, если известно, что радиус окружности равен 2.


Если в перечнях нет каких либо вариантов, напишите их условие в комментариях

Подборка от webmath )

Окружность в трапеции

01 C4 В равнобедренную трапецию с периметром 20 вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону в отношении 1:4. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его площадь.

02 C4 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, делит боковую сторону на отрезки 1 и 4. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его площадь.

03 C4 Периметр равнобедренной трапеции равен 52. В трапецию вписана окружность радиуса 6. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

04 C4 Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 18. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

05 C4 Окружность вписана в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 24, а синус угла при большем основании равен 0.6. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

06 C4 Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Окружность в прямоугольном треугольнике

07 C4 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Прямая, перпендикулярная гипотенузе, отсекает от треугольника четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что радиус окружности равен 2.

08 C4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен 0.6.

09 C4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов треугольника равно 3/4.

10 C4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 5/12.

11 C4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника.

12 C4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника.

Окружность в равнобедренном треугольнике

13 C4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 10, 10, 12, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника.

14 C4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 13, 13, 10, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырёхугольника.

15 C4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 5/6.

16 C4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника с основанием, равным 12, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь четырёхугольника, если радиус окружности равен 3.

17 C4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен 4/5.

18 C4 Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключенный внутри треугольника, равен 20, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно 13/10.

Окружность в треугольнике

19 C4 В треугольнике KLM угол L - прямой, LR - высота, MQ - медиана. Прямые QR и LM пересекаются в точке P, лежащей на луче LM. Окружность, проходящая через точки Q и R, касается прямой LM в точке N. Найдите LN, если известно, что QR = 9 и PQ = 16.

20 C4 В треугольнике PQR угол R - прямой, RA - высота, QB - медиана. Прямые AB и PQ пересекаются в точке C, лежащей на луче QR. Окружность, проходящая через точки A и B, касается прямой QR в точке D. Найдите DR, если известно, что BC = 25 и AB = 11.