В этом топике приводятся указания к решению задач С2 из издания: "ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика. 2011", изд-во "Интеллект-Центр", 2011. ISBN 978-5-89730-710-6.
Задачи C2.1-C2.22 аналогичны задачам из прошлогоднего выпуска указанной книги.

UM(2011)-C2.23. В правильной шестиугольной призме AB...F1, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки D до прямой А1С1.
Рисунок
Расстояние от D до прямой `A_1C_1` равно длине перпендикуляра, опущенного из D на эту прямую и одновременно высоте треугольника, опущенной из вершины D на сторону `A_1C_1` в треугольнике `DA_1C_1`. Стороны этого треугольника легко находятся из прямоугольных треугольников `A_1DA`, `C_1DC` и по теореме косинусов из треугольника `A_1B_1C_1`: `A_1D=2*sqrt(5)`, `C_1D=2*sqrt(2)` и `A_1C_1=2*sqrt(3)`. Обнаруживаем, что `A_1D^2=C_1D^2+A_1C^2`, а значит, угол `A_1C_1D` прямой. Поэтому `C_1D` перпендикуляр к `A_1C_1` и искомое расстояние равно `C_1D=2*sqrt(2)`
Ответ: `2*sqrt(2)`
UM(2011)-С2.24. В правильной шестиугольной призме AB...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой С1Е1.
Опустим перпендикуляр AK из точки A на прямую `E_1C_1`. Одновременно AK - высота треугольника, опущенная из вершины A на сторону `C_1E_1` в треугольнике `AC_1E_1`.
Стороны этого треугольника легко находятся из прямоугольных треугольников `EAE_1`, `C_1AC` и из треугольника `E_1D_1C_1` по теореме косинусов: `AE_1=AC_1=2`, `C_1E_1=sqrt(3)`.Так как треугольник `AC_1E_1`равнобедренный, то АК является одновременно высотой и медианой, а потому точка К- середина `C_1E_1`. Из прямоугольного треугольника `AKE_1` получаем, что `AK=sqrt(13)/2`
Ответ: `sqrt(13)/2`
Рисунок
UM(2011)-С2.25. В правильной шестиугольной призме AB...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки F1 до прямой BE.
1 способ. Соединим точки F и D. Так как шестиугольник ABCDEF правильный, то FD⊥ВЕ. Пусть точка К - точка пересечения FD и ВЕ (заметим, что К-середина FD), тогда по теореме о трех перпендикулярах `F_1K_|_BE`. Так как `FK=sqrt(3)/2`и `F F_1=1`, то из прямоугольного треугольника `F F_1K` `F_1K=sqrt(7)/2`
2 способ. Как и в предыдущих заданиях будем искать расстояние от `F_1` до `BE` как длину высоты, опущенной из `F_1` на `BE` в треугольнике `F_1BE`. Стороны этого треугольника легко находятся: `F_1E=sqrt(2)`, `BE=2`, `F1B=2`. Длину нужного нам отрезка можно найти или с помощью метода площадей, или найдя косинус, а затем и синус угла `F_1EK`, а далее тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике `F_1EK`.
Рассмотрим решение с помощью метода площадей: вычислим двумя способами площадь треугольника `F_1BE`. С одной стороны, она равна `1/2*F_1E*BP`, где `BP`-высота, она же медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника. С другой стороны, площадь треугольника равна `1/2*F_1K*BE`. Вычисляя по т. Пифагора `BP`, из равенства `F_1K=(BP*F_1E)/(BE)` находим искомую величину.
Рисунок
Ответ: `sqrt(7)/2`

UM(2011)-С2.26. Длина ребра куба AB...D1 равна 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости BDC1
Введем систему координат так, как изображено на рисунке. Легко определяются координаты точек, задействованных в задаче: А(1,0,0), В(0,0,0), D(0,1,1), C1(0,1,1)
Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки B, D, C1 nuru.ru/mat/alg/a009.htm
Получаем, что уравнение плоскости (BDC1): `x-y+z=0`
Воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости www.math.ru/dic/570 , тогда искомое расстояние равно `d=|1-0+0|/sqrt(3)=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3`
Рисунок
Ответ: `sqrt(3)/3`
UM(2011)-С2.27. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDE.
1 способ. Так как прямая АВ параллельна прямой DE, лежащей в плоскости (SDE), то АВ параллельна и самой плоскости. Это означает, что все точки этой прямой равноудалены от плоскости (SDE). Пусть Р- середина отрезка АВ. найдем расстояние от Р до (SDE). Пусть О- центр основания (правильного шестиугольника), продолжим РО до пересечения с DE в точке Н. Легко показать, что Н- середина DE. Рассмотрим сечение SPH. Так как DE ⊥РН и DE ⊥ SO, то DE перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (SPH), а значит, и самой плоскости. Плоскость (SDE), проходящая через DE, будет перпендикулярна (SPH). Проведем в плоскости (SPH) перпендикуляр РК к линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей (PK⊥SH), тогда PK⊥ (SDE) и, следовательно, РК - искомое расстояние. Найдем его с помощью метода площадей, вычислив двумя способами площадь треугольника SPH: `1/2* SO*PH=1/2*PK*SH`. Так как `OP=sqrt(3)/2`, то `PH=sqrt(3)`, `SH=sqrt(15)/2`, `SO=sqrt(3)`. Отсюда `PK=(SO*PH)/(SH)=6/sqrt(15)=(2*sqrt(15))/5`
Рисунок
2 способ.
Найдем двумя способами объем пирамиды SADE: сначала как пирамиды с вершиной S, высотой SO и основанием AED; затем как пирамиды с вершиной в точке А, основанием SDE и неизвестной нам высотой (длина которой равна искомому расстоянию от А до плоскости SDE)
Длины всех вышеназванных в первом способе отрезков все равно придется находить
Так как `AE=sqrt(3)`, `ED=1`, угол AED - прямой, то плошадь треугольника ADE равна `sqrt(3)/2`, а тогда объем пирамиды SADE равен `1/2`. Площадь же треугольника SED равна `sqrt(15)/4`, поэтому с другой стороны объем той же пирамиды равен `1/3*h*(sqrt(15)/4)`, где h - искомое расстояние. Приравнивая объемы и выражая h, получаем `h=6/sqrt(15)`
Ответ: `(2*sqrt(15))/5`
UM(2011)-С2.28. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА1В1.
Рисунок
Так как прямая АВ параллельна прямой A1B1, лежащей в плоскости (СА1В1), то АВ параллельна и самой плоскости. Это означает, что все точки этой прямой равноудалены от плоскости (СА1В1). Пусть Е- середина отрезка АВ. Найдем расстояние от Е до (СА1В1).
Проведем EF||BB1 до пересечения с А1В1 в точке F, соединим С с точкой F и пусть ЕК⊥CF. Так как А1В1⊥CE, A1B1⊥EF. то А1В1 ⊥(CEF), а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и ЕК. Кроме того, ЕК⊥CF. Таким образом, ЕК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости (CA1B1), значит, и самой плоскости. Длина ЕК - искомое расстояние.
Найдем ЕК c помощью метода площадей: площадь треугольника СЕК равна `1/2*EK*CF`, а кроме того, `1/2*CE*EF`, откуда `EK=(CE*EF)/(CF)`. Длины всех нужных отрезков легко находятся; подставив их в формулу, получаем: `EK=sqrt(3/7)`
Ответ: `sqrt(3/7)`
UM(2011)-С2.29. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.
Рисунок
Метод решения этого задания аналогичен предыдущему, поэтому решение предоставляется читателю.
UM(2011)-С2.30. Тело получено вращением параллелограмма ABCD вокруг прямой AD. Острый угол параллелограмма 45°, `AB = sqrt(2)`, а диагональ BD перпендикулярна стороне ВС. Найдите объем полученного тела вращения.
Рисунок
Так как диагональ BD перпендикулярна ВС, то угол ВСD - острый, а значит, угол С и угол А равны 45 градусам.
Так как треугольник ABD прямоугольный равнобедренный, а `AB=sqrt(2)`, то BD=AD=1.
Искомое тело вращения состоит из конуса с высотой AD и радиусом основания BD и цилиндра, из которого вырезан точно такой же конус. Поэтому объем тела вращения будет равен объему собственно цилиндра высота которого равна ВС=1, а радиус основания равен BD=1. Поэтому объем цилиндра равен `pi`
Ответ: `pi`
UM(2011)-С2.31. Тело получено вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания. Боковая сторона трапеции и меньшее основание трапеции равны 1, а острый угол равен 30°. Найдите объем полученного тела вращения.
Опустим из вершин меньшего основания трапеции высоты ВЕ и CF на основание AD. Тогда `BE=1/2, FE=1, AE=FD=sqrt(3)/2`
Рисунок
Тело вращения состоит из цилиндра, высота которого равна ВС, а радиус основания равен ВЕ, и двух равных конусов, радиусы оснований которых те же, что и у цилиндра, а высоты равны DF и AE.
Находя сумму объемов этих тел, получаем `(3+sqrt(3))*pi/(12)`
Ответ: `(3+sqrt(3))*pi/(12)`
UM(2011)-С2.32. Ромб с диагональю 8 и стороной 5 вращается вокруг прямой, содержащей его большую диагональ. Найдите площадь поверхности получившегося тела вращения.
Легко доказать, что большая диагональ - это та, длина которой равна 8. Учитывая, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, устно находится длина другой диагонали. Тело вращения представляет собой два равных конуса с общим основанием, радиус которого равен половине меньшей диагонали, а образующая равна 5. Тогда площадь поверхности получившегося тела вращения равна `2*pi*3*5=30*pi`
Ответ: `30*pi`
Рисунок
UM(2011)-C2.Tr1 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: `AB=12*sqrt(3)`, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.
Задача соответствует экзаменационной задаче 2010 года (вариант Запад): eek.diary.ru/p112234481.htm
UM(2011)-C2.Tr2 Три сферы, попарно касаясь друг друга, касаются плоскости треугольника в его вершинах. Найти радиусы сфер, если стороны треугольника равны а, b и с.
Задача соответствует UM(2010)-C2.Tr1 eek.diary.ru/p111447737.htm
UM(2011)-C2.Tr3 Найти угол при вершине в осевом сечении конуса, если на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.
Задача соответствует UM(2010)-C2.Tr2 eek.diary.ru/p97080734.htm

Примечание
Ответы в задачах UM(2011)-С2.24., UM(2011)-С2.27. и UM(2011)-С2.32. не совпадают с ответами в книге.

Разбор и решения задач С5 пособия "ЕГЭ 2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся"
Разбор и решения задач пособия "ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания"