Новые задания из ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания

[Г ость]

Разбор и решения задач пособия ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания - ISBN 978-5-377-03752-1

Первый сборник ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, B.C. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2011. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2011. Типовые тестовые задания») ISBN 978-5-377-03752-1 Скачать (divu/rar, 600dpi+OCR, 1.80 Мб) onlinedisk или ifolder.ru

Новые задания (по сравнению с изданием 2010 года) из ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания

С1

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2011)-1.1.C1	Решите уравнение `(sqrt((x-5)(x+8)))/(sqrt((x+5)(x-8)))=0`.
TTZ(2011)-1.2.C1.	Решите уравнение `(tgx - 3)/(sqrt(-sinx))=0`
TTZ(2011)-1.3.C1	Решите уравнение `(17^(y^2-10y+24)-15^(y^2-10y+24))/(y-6)=0`.
TTZ(2011)-1.4.C1	Решите уравнение `((y-19)(y+14))/(log_11(y-15))=0`.
TTZ(2011)-1.5.C1	Решите уравнение `(sin 7y)/(cos 7y + 1)=0`.
TTZ(2011)-1.7.C1.	Решите уравнение `(6^(z^2-8)-6)/(sqrt(7+z)-2)=0`.
TTZ(2011)-1.8.C1	Решите уравнение `((x+9)(x-4)(x-12))/(sqrt(x+4)-4)=0`.
TTZ(2011)-1.9.C1	Решите уравнение `(2sinx+sqrt(3))/(sqrt(tg x)) = 0`.
TTZ(2011)-1.10.C1	Решите уравнение `((5y-8pi)(8y-5pi))/(sqrt(sin y))=0`.

Разбор и решения задач пособия ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания - ISBN 978-5-377-03855-9

Второй сборник ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, B.C. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. A.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М: Издательство «Экзамен», 2011. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2011. Типовые тестовые задания») ISBN 978-5-377-03855-9 Скачать (divu/rar, 600dpi+OCR, 2.09 Мб) onlinedisk или ifolder.ru

Код пособия внутри сообщества TTZ.

Новые задания (по сравнению с изданием 2010 года) из ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания

С1

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2011)-2.1.C1	Решите уравнение `(6 cos^2 x - 5 cos x - 4)*sqrt(-43sin x) = 0`.
TTZ(2011)-2.2.C1.	Решите уравнение `(log_2^2 (cos x) + log_2 (cos x))/(sin x) = 0
TTZ(2011)-2.3.C1	Решите уравнение `(2sin x + sqrt(3))log_3(tgx) = 0`.
TTZ(2011)-2.4.C1	Решите уравнение `(4cos^2 x - 3cos x)/(3tg x + 4) = 0`.
TTZ(2011)-2.5.C1	Решите уравнение `(6 cos^2 x - 11 cos x + 4) sqrt(-tgx) = 0`.
TTZ(2011)-2.7.C1.	Решите уравнение `(sqrt(2) cos^2 x + cos x)sqrt(-21tg x) =0`.
TTZ(2011)-2.8.C1	Решите уравнение `(9^(sin^2x)-3^(sqrt(3)sinx))/(sqrt(-2cosx)-1) = 0`.	eek.diary.ru
TTZ(2011)-2.9.C1	Решите уравнение `(sqrt(3)*tg^2 x + tg x)/(sqrt(-19sin x))=0`.

C5 - задача с параметром

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2011)-2.1.C5	Найти все значения параметра a, при которых система `{(log_a(x+y-1)=x-3),(2x+y=4):}` имеет единственное решение.	eek.diary.ru
TTZ(2011)-2.2.C5	Найдите все значения параметра a, при которых система `{(log_a sqrt(y+1)=(x^2-6x)^2),(x^2+y=6x):}` имеет ровно два решения.
TTZ(2011)-2.3.C5	Найдите все значения a, при каждом из которых система `{(|a|^(x-y)=log_2 x - 6),(x - log_2 x = y - 6):}` имеет ровно два решения.	diary.ru/~eek
TTZ(2011)-2.5.C5.	Найдите все значения параметра a, при которых система `{(log_a y = (x^2-2x)^2),(x^2+y=2x):}` имеет ровно два решения.	eek.diary.ru
TTZ(2011)-2.6.C5	Найдите все значения параметра a, при которых система `{(log_(a^2) y = (x^2+3x+2)^4),(-x^2+y=3x+2):}` имеет ровно два решения.	diary.ru/~eek
TTZ(2011)-2.7.C5	Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система `{(a^(2x-y-1) = x+3y-7),(4y-x=6):}` имеет ровно два решения.	eek.diary.ru
TTZ(2011)-2.9.C5	Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система `{(a^(y^2)= root 9 (-0.125-3x-2x^2)),(16x^2+1=8y-24x):}` имеет ровно два решения.	eek.diary.ru
TTZ(2011)-2.10.C5	Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение `3x^2-12x+3a+9 = 4sin((4x-x^2-a-3)/2)*cos((x^2-2x-a-1)/2)` имеет ровно два различных решения.	Форум А.А. Ларина

Соответствие между номерами заданий в пособиях 2011 и 2010 годов

= ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания ISBN 978-5-377-03752-1 =

* Тренировочная работа 1: TTZ(2011)-1.1.C1 TTZ(2010).7.C2 TTZ(2010).4.C3 TTZ(2010).9.C4 TTZ(2011)-2.1.C5 TTZ(2010).8.C6

* Тренировочная работа 2: TTZ(2011)-1.2.C1 TTZ(2010).9.C2 TTZ(2010).8.C3 TTZ(2010).3.C4 TTZ(2011)-2.2.C5 TTZ(2010).5.C6

* Тренировочная работа 3: TTZ(2011)-1.3.C1 TTZ(2010).10.C2 TTZ(2010).7.C3 TTZ(2010).8.C4 TTZ(2011)-2.3.C5 TTZ(2010).4.C6

* Тренировочная работа 4: TTZ(2011)-1.4.C1 TTZ(2010).8.C2 TTZ(2010).6.C3 TTZ(2010).10.C4 TTZ(2010).2.C5 TTZ(2010).3.C6

* Тренировочная работа 5: TTZ(2011)-1.5.C1 TTZ(2010).4.C2 TTZ(2010).5.C3 TTZ(2010).2.C4 TTZ(2011)-2.6.C5 TTZ(2010).2.C6

* Тренировочная работа 6: TTZ(2011)-2.5.C1 TTZ(2010).1.C2 TTZ(2010).1.C3 TTZ(2010).1.C4 TTZ(2011)-2.5.C5 TTZ(2010).1.C6

* Тренировочная работа 7: TTZ(2011)-1.7.C1 TTZ(2010).5.C2 TTZ(2010).10.C3 TTZ(2010).5.C4 TTZ(2011)-2.7.C5 TTZ(2010).6.C6

* Тренировочная работа 8: TTZ(2011)-1.8.C1 TTZ(2010).6.C2 TTZ(2010).9.C3 TTZ(2010).6.C4 TTZ(2010).5.C5 TTZ(2010).10.C6

* Тренировочная работа 9: TTZ(2011)-1.9.C1 TTZ(2010).2.C2 TTZ(2010).3.C3 TTZ(2010).4.C4 TTZ(2011)-2.9.C5 TTZ(2010).7.C6

* Тренировочная работа 10: TTZ(2011)-1.10.C1 TTZ(2010).3.C2 TTZ(2010).2.C3 TTZ(2010).7.C4 TTZ(2011)-2.10.C5 TTZ(2010).9.C6

= ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания ISBN 978-5-377-03855-9 =

* Тренировочная работа 1: TTZ(2011)-2.1.C1 TTZ(2010).8.C2 TTZ(2010).10.C3 TTZ(2010).7.C4 TTZ(2011)-2.1.C5 TTZ(2010).9.C6

* Тренировочная работа 2: TTZ(2011)-2.2.C1 TTZ(2010).5.C2 TTZ(2010).7.C3 TTZ(2010).9.C4 TTZ(2011)-2.2.C5 TTZ(2010).3.C6

* Тренировочная работа 3: TTZ(2011)-2.3.C1 TTZ(2010).4.C2 TTZ(2010).2.C3 TTZ(2010).10.C4 TTZ(2011)-2.3.C5 TTZ(2010).8.C6

* Тренировочная работа 4: TTZ(2011)-2.4.C1 TTZ(2010).3.C2 TTZ(2010).9.C3 TTZ(2010).8.C4 TTZ(2010).2.C5 TTZ(2010).10.C6

* Тренировочная работа 5: TTZ(2011)-2.5.C1 TTZ(2010).1.C2 TTZ(2010).1.C3 TTZ(2010).1.C4 TTZ(2011)-2.5.C5 TTZ(2010).1.C6

* Тренировочная работа 6: TTZ(2010).5.C1 TTZ(2010).2.C2 TTZ(2010).3.C3 TTZ(2010).4.C4 TTZ(2011)-2.6.C5 TTZ(2010).2.C6

* Тренировочная работа 7: TTZ(2011)-2.7.C1 TTZ(2010).6.C2 TTZ(2010).8.C3 TTZ(2010).5.C4 TTZ(2011)-2.7.C5 TTZ(2010).5.C6

* Тренировочная работа 8: TTZ(2011)-2.8.C1 TTZ(2010).10.C2 TTZ(2010).4.C3 TTZ(2010).6.C4 TTZ(2010).5.C5 TTZ(2010).6.C6

* Тренировочная работа 9: TTZ(2011)-2.9.C1 TTZ(2010).7.C2 TTZ(2010).6.C3 TTZ(2010).2.C4 TTZ(2011)-2.9.C5 TTZ(2010).4.C6

* Тренировочная работа 10: TTZ(2010).2.C1 TTZ(2010).9.C2 TTZ(2010).5.C3 TTZ(2010).3.C4 TTZ(2011)-2.10.C5 TTZ(2010).7.C6

Разбор и решения задач пособия ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания

ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, B.C. Панферов, СЕ. Посицельский, А.В. Семенов, А.Л. Семенов, М.А. Семенова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2010. — 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания») - ISBN 978-5-377-02942-7 Скачать (djvu, 2,12 Мб) Рапида или ifolder

.
Код пособия внутри сообщества TTZ.


В12- Текстовая задача

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).2.В12	Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей. (Знак процента в ответе не пишите.)	eek.diary.ru

С1

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).1.C1	Решить систему уравнений: `{(3^y + 2cosx=0),(2(sinx)^2 - 3sinx - 2 = 0):}`	eek.diary.ru
TTZ(2010).2.C1.	Решить систему уравнений: `{(3^x + 2siny=0),(2(cosy)^2 - 4cosy - 3 = 0):}`
TTZ(2010).3.C1	Решить систему уравнений: `{(x^2=8siny+1),(x+1=2siny):}`.	eek.diary.ru
TTZ(2010).4.C1	Решить систему уравнений: `{(y^2=4cosx+1),(y+1=2cosx):}`.
TTZ(2010).5.C1	Решить систему уравнений: `{(cosysqrt(sinx)=0),(2(sinx)^2=2(cosy)^2+1):}`.	eek.diary.ru
TTZ(2010).6.C1	Решить систему уравнений: `{(sinysqrt(cosx)=0),(2(sinx)^2+2(cosy)^2=3):}`.
TTZ(2010).7.C1.	Решить систему уравнений: `{(4(cosx)^2-4cosx-3=0),(sqrt(y^2-y-3)+2sinx=0):}`.	eek.diary.ru
TTZ(2010).8.C1	Решить систему уравнений: `{(cos2y=cosy),(sqrt(x^2-4)=2siny):}`.
TTZ(2010).9.C1	Решить систему уравнений: `{(xtgy=9),(xctgy=3):}`.	eek.diary.ru
TTZ(2010).10.C1	Решить систему уравнений: `{(y tg x = -2),(y ctg x = -6):}`.

С2 - стереометрическая задача

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).1.С2	В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и АС.	разобрано в книге
TTZ(2010).2.С2	Основание прямой четырехугольной призмы прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = v33 . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно v3	eek.diary.ru
TTZ(2010).3.С2	Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра	eek.diary.ru
TTZ(2010).4.С2	Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра	Решается аналогично
TTZ(2010).5.С2	Основание прямой четырехугольной призмы прямоугольник ABCD, в котором АВ = 12, AD = V31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра АВ перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 5.	eek.diary.ru
TTZ(2010).6.С2	В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.	eek.diary.ru
TTZ(2010).7.С2	В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AA1) и плоскостью (BC1D)	eek.diary.ru
TTZ(2010).8.С2	В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой (AC1) и плоскостью (BCC1)	diary.ru/~eek
TTZ(2010).9.С2	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD	eek.diary.ru
TTZ(2010).10.С2	В правильной 6-угольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а сторона основания 1, найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF	eek.diary.ru

С3 - логарифмическое неравенство

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).1.С3	Решить неравенство: `(log_(2x-3)^2 1/(3x-5) + log_(2x-3) (9x^2-30x+25) + 7)/(2log_(2x-3) (6x^2-19x+15)-1) le 3`	Решено в книге
TTZ(2010).2.С3	Решить неравенство: `(log_2(3x+2))/(log_3(2x+3)) le 0`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).3.С3	Решить неравенство: `(log_2(2x^2-13x+20)-1)/(log_3(x+7)) le 0`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).4.С3	Решить неравенство: `log_0.1(x^2+x-2) gt log_0.1 (x+3)`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).5.С3	Решить неравенство: `(1/2)^(log_2(x^2-1)) gt 1`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).6.С3	Решить неравенство: `(x^2-4)/(log_(1/2)(x^2-1)) lt 0`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).7.С3	Решить неравенство: `log_3 ((x+2)(x+4)) + log_(1/3) (x+2) lt 1/2 log_(sqrt(3)) 7`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).8.С3	Решить неравенство: `log_2 (3x-2)/(x-1) + 3log_8 ((x-1)^3)/(3x-2) lt 1`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).9.С3	Решить неравенство: `log_(2-x) (x+2) * log_(x+3) (3-x) le 0`	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).10.С3	Решить неравенство: `log_(x+2) (36+16x-x^2) - 1/16 log_(x+2)^2 (x-18)^2 ge 2`	Сайт Ларина А.А.

С4 - Планиметрия

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).1.С4	Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках А и В. Известно, что расстояние между центрами равно а, причем r < R и r + R < а . Найдите АВ.	Рассмотрена в книге
TTZ(2010).2.С4	Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.	eek.diary.ru
TTZ(2010).3.С4	Окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В. Известно, что ∠AO1B = 90°, ∠AO2B = 60°, O1O2=а. Найдите радиусы окружностей.	eek.diary.ru
TTZ(2010).4.С4.	Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.	eek.diary.ru
TTZ(2010).5.С4	Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что АВ = 6 и ВС = 4 . Найдите АС.	eek.diary.ru
TTZ(2010).6.С4	Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что СН = АВ. Найдите угол АСВ.	eek.diary.ru
TTZ(2010).7.С4	В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN. О — центр вписанной окружности. Известно, что ВС = 24, MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.	eek.diary.ru
TTZ(2010).8.С4	TTZ.С4.8. Точки А1,В1 и С1 — основания высот треугольника ABC. Углы треугольника А1В1С1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.	eek.diary.ru eek.diary.ru
TTZ(2010).9.С4	В трапеции ABCD известны боковые стороны АВ = 27, CD = 28 и верхнее основание ВС = 5. Известно, что cos < BCD =-2/7. Найдите АС.	eek.diary.ru
TTZ(2010).10.С4	Основания трапеции равны а и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.	eek.diary.ru

C5 - задача с параметром

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).1.С5	Найти все значения а, такие, что для любого x выполняется неравенство 2x + 2|x -a| +|x-1| > 3.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).2.С5	Найдите все значения а, при каждом из которых система `{((x-a)(ax-2a-3) ge 0),(ax ge 4):}` не имеет решений.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).3.С5	Найти все значения а, такие, что уравнение |x+3| -1 = |2x - a| имеет единственное решение.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).4.С5	Найти все значения а, при каждом из которых уравнение 1 = |x - 3| - |2x + а| имеет единственное решение.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).5.С5	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 4x - |3x - |x + a|| = 9|x - 3| имеет два корня.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).6.С5	Найти все такие а, что наименьшее значение функции `|x^2-(1+a)x+a|+(a-1)|x+1|` меньше 2.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).7.С5	Найдите все значения а, при каждом из которых из неравенств 0≤ х ≤ 1 следует неравенство (а^2 + а- 2)x^2 - (а + 5)x - 2 ≤ 0.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).8.С5	ННайдите все значения а, при каждом из которых уравнение `cos(sqrt(a^2 - x^2) )= 1` имеет ровно десять решений.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).9.С5	Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение `2 |2 |x| -a^2| = x-a` имеет три различных решения.	Сайт Ларина А.А.
TTZ(2010).10.С5	Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции `f(x) =(x^2-ax+1)/(x^2+x+1)` лежит на интервале (-3, 3).	Сайт Ларина А.А.

С6 - теория чисел

Номер	Условие	Ссылки
TTZ(2010).1.С6	Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9.	Решена в книге
TTZ(2010).2.С6	Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).	eek.diary.ru
TTZ(2010).3.С6	Решить уравнение 3^m+4^n=5^k в натуральных числах.	problems.ru
TTZ(2010).4.С6	Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные числа, упорядочили по возрастанию. Между какими двумя последовательно расположенными дробями находится число 5/8?	eek.diary.ru
TTZ(2010).5.С6	Решите в целых числах уравнение m*n^2=10^5*n+m	problems.ru
TTZ(2010).6.С6	Решите в целых числах уравнение 1+2^k+2^(2k+1)=n^2	problems.ru
TTZ(2010).7.С6	Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида p^2-1, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.	eek.diary.ru
TTZ(2010).8.С6	На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 или 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не попадая в точки с координатами, кратными 4?	eek.diary.ru
TTZ(2010).9.С6	Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей(включая единицу и само число).	eek.diary.ru
TTZ(2010).10.С6	TTZ.С6.10 При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являющихся последовательными членами одной геометрической прогрессии?	eek.diary.ru

Примечания.
1. Полнота и правильность решения по ссылкам не гарантируется. В большинстве случаев даны идеи или краткий план решения. Повторное обсуждение для отшлифовки решения и прояснения спорных вопросов только приветствуется. Ссылки будут добавляться по мере появления новых обсуждений.
2. Просьба обсуждение задач осуществлять не в данном топике, а создавать новую запись под соответствующую задачу.
3. По мере накопления фактического материала сюда будут добавляться и ссылки на другие задачи частей В и С.
Разбор и решения задач пособия Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ-2010. Математика
Разбор и решения задач пособия «Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся»
Разбор и решения задач пособия «Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания»
Разбор и решения задач пособия Клово А.Г. и др. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010

@темы: ЕГЭ

Comments

[Robot]

Г ость
Спасибо большое!!!

[Гость]

TTZ(2010).7.С6 Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида `p^2-1`, где p - простое число, большее 3, но меньшее 2010.

shevkin.ru/?action=Page&ID=752

Первый способ решения.

Обозначим буквой N искомый наибольший общий делитель. Так как наименьшее число `p^2-1`, о котором идет речь в условии задачи, равно 24, то N не может быть больше 24. Ограничение «но меньшее 2010» здесь лишнее (оно может спровоцировать лишнюю работу).

Так как простое число p больше 3, то число p нечетное, p = 2k + 1, где k натуральное число. Тогда число `p^2-1 = 2k(2k+2) = 4k(k+1)`. Так как одно из двух соседних натуральных чисел является чётным (надеемся, что это не попросят
доказать на экзамене), то число `p^2-1` делится на 8.

Остается выяснить, делится ли число k(k+1) на 3.

Натуральное число k при делении на 3 дает один из трёх остатков: 0, 1 или 2, то есть его можно записать в виде k = 3m, k = 3m+1 или k = 3m+2, где m натуральное число.

Если k = 3m, то число k(k+1) делится на 3.

Если k = 3m+1, то число p = 2k+1 = 6m+3 делится на 1, на 3, на 6m+3, то есть число p — не простое число. Такие числа k не удовлетворяют условиям задачи.

Если k = 3m+2, то число k(k+1) = (3m+2)(3m+3) делится на 3.

Итак, число `p^2-1`, отвечающее условию p > 3, делится и на 3, и на 8, следовательно, N = 8*3 = 24.

Ответ. 24.

Второй способ решения. (Романовский В.И.)

Все простые числа отвечают формулам: `p_1 = 6n+1` и `p_2 = 6n+5`, так как из шести непересекающихся классов чисел, задаваемых формулами 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5, простые числа, большие 3, не могут принадлежать первому, третьему, четвертому и пятому классам, так как кроме 1 и самого себя числа этих классов имеют делители 6, 2, 3 и
2 соответственно.

Совсем не обязательно, что, подставив в эти формулы любое число, большее 3, мы получим простое число (подставьте в первую формулу 4, а во вторую 5), но любое простое число задается одной из этих формул.

Тогда `p_1^2-1 = (6n+1)^2-1 = 6n(6n+2) = 12n(3n+1)`; `p_2^2-1 = (6n+5)^2-1 = (6n+4)(6n+6) = 12(3n+2)(n+1)`.

Заметим, что в каждом из двух полученных выражений сомножители, содержащие n, имеют разную четность. Поэтому общий делитель указанных чисел равен 12*2=24. Убедимся в том, что других общих делителей полученные выражения не имеют.

Увеличив втрое сомножители n и (n+1), получим 4 последовательных числа: 3n, 3n+1, 3n+2, 3n+3. Два из них имеют общий
делитель 2, другая пара, числа 3n и 3n+3 — общий делитель 3. Из двух последовательных чисел, кратных 3, одно содержит делитель 3 первой кратности.

Поэтому исходные числа n и n+1 общего делителя 3 не имеют (равно как и других делителей, последовательные числа взаимно просты. Итак, число 24 — искомый наибольший общий делитель.

Отметим, что ограничение сверху «меньшее 2010» в условии задачи лишнее.

[Гость]

TTZ(2010).7.С10 При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являющихся последовательными членами одной геометрической прогрессии?

www.fdp.fa.ru/doc/lektorii_M/otveti_2.pdf

Несложно указать 11 семизначных чисел, являющихся последовательными членами геометрической прогрессии: 4^10, 4^9⋅5, 4^8⋅5^2, 4^7⋅5^3, 4^6⋅5^4, 4^5⋅5^5, 4^4⋅5^6, 4^3⋅5^7, 4^2⋅5^8, 4⋅5^9, 5^10.

Покажем, что больше 11 семизначных чисел, являющихся последовательными членами геометрической прогрессии, указать нельзя. Пусть x, x^q, …, x^(q(n–1)) — семизначные числа. Не нарушая общности, можно считать, что q > 1. Если это не так, достаточно перенумеровать члены прогрессии в порядке возрастания. Представим знаменатель прогрессии в виде несократимой дроби: q = a/b. Тогда x = b^(n–1)y для некоторого целого y. Имеем: 10^7 ≤ b^(n−1)y < a^(n−1)y <10^8.

Если a > 5, то n – 1 < 10, поскольку 6^10 > 10^8.

Рассмотрим дроби с числителем a ≤ 5. Легко видеть, что для знаменателя прогрессии должно выполняться неравенство (a/b)^(n-1) < 10. Перечислим в порядке возрастания несократимые дроби a/b > 1 c a ≤ 5: 5/4;4/3; 3/2; 5/3; 2; 5/2; 3; 4; 5.

Дробь 5/4 дает нам прогрессию, приведенную в начале решения. Заметим еще, что 5^11 > 4^3*5^6*5^2 = 25*10^6, так что прогрессии из двенадцати семизначных чисел со знаменателем 5/4 не получится. Далее, (4/3)^10 > 10, так что для дробей, идущих за дробью 4/3, тем более выполняется соотношение (a/b)^10 > 10.

Следовательно, для всех соответствующих прогрессий имеем n – 1 < 10 и n < 11.

Ответ. 11.

[Гость]

TTZ(2011)-2.10.C5 Найти наибольшее целое значение `a`, при котором уравнение `3x^2-12x+3a+9=4sin((4x-x^2-a-3)/2)cos((x^2-2x-a-1)/2)` имеет ровно два решения.

Форум А.А. Ларина

Схема решения:

`3(x^2-4x+a+3)=-4sin((x^2-4x+a+3)/2)cos((x^2-2x-a-1)/2)`

`3(x^2-4x+a+3)=-2(sin(x^2-3x+1)+sin(-x+a+2))`

`alpha=x^2-3x+1; beta=-x+a+2`

`3(alpha+beta)=-2(sin(alpha)+sin(beta))`

`3alpha+2sin(alpha)=-3beta-2sin(beta)`

Какбэ рассмотрим функцию `f(x)=3x+2sin(x)` - по ходу заметим, что она нечетная (`f(-x)=-f(x)`) и монотонно возрастает. Из условия `f(alpha)=-f(beta)=f(-beta)` делаем вывод, что `alpha=-beta`

`x^2-4x+a+3=0` - должно иметь ровно 2 различных корня

`D=16-4a-12>0 -> a<1`

Наибольшее целое `a=0`

Однако, не учат такому в ГОУ СОШах

[Robot]

TTZ(2010).3.С2 Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра

Решение. Так как плоскости оснований цилиндра параллельны, то секущая плоскость пересекает основания по параллельным хордам IJ=12 и KL=16

Пусть NP - проекция хорды IJ на нижнее основание
Возможны два случая: NP и KL лежат по разные стороны от центра (см. рис. выше) или по одну сторону ( этот случай рассмотрите самостоятельно)
Проведем через точку О1 диаметр, перпендикулярный параллельным хордам NP и KL, он будет пересекать их в точках Т и U, которые делят указанные хорды пополам.
Легко показать, что U- проекция середины S хорды IJ, то есть SU - перпендикуляр к плоскости нижнего основания, SU=28
Так как TU _|_KL, то по теореме о трех перпендикулярах ST_|_KL, а тогда угол STU- линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания
tg(/_STU)=SU/TU
Найдем TU
Рассмотрим выносной чертеж
TU=TO1+O1U

Из прямоугольных треугольников O1NU и O1KT с помощью теоремы Пифагора находим O1T=6 и O1U=8, откуда TU=14
Отсюда
tg(/_STU)=SU/TU=28/14=2
Расссматривая аналогично второй случай, получаем еще один ответ: 14

Ответ: 2 или 14

[Гость]

Robot , спасибо

[VEk]

Однако, не учат такому в ГОУ СОШах

Аналогичные задачи были на московской диагностике от 13.05.10 (задача `C5`). (см. eek.diary.ru/p108639710.htm)

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
a) `sin(x-3a)+sin((x^2-6x+7a)/2)=4x-x^2-a` не имеет действительных решений. Ответ: `a in (4;+oo)`
б) `cos((10x-2x^2-a)/3)-cos(2x+a)=x^2-8x-a` имеет единственное решение. Ответ: `a=-16`
в) `9^(x+3a)-3^(x^2-4x+7a)=x^2-6x+a` имеет единственное решение. Ответ: `a=9`.
г) `64^(x+a)-4^(x^2-5x+4a) =x^2-8x+a` не имеет действительных решений. Ответ: `a in (16;+oo)`
Указания.
а) Обозначим `u=2x-6a`, `v=x^2-6x+7a`, тогда уравнение можно переписать в виде: `sin(u/2)+sin(v/2)=-u-v` или `u+sin(u/2)=-(v+sin(v/2)`. Рассмотрим функцию `f(x)=x+sin(x/2)`. Она монотонно возрастает и нечетна. Уравнение можно записать `f(u)=f(-v)` или `u=-v`. Переходя к переменной x, получаем `x^2-4x+a=0`
б) Решается аналогично, но надо предварительно поменять знак аргумента в первом косинусе, что учитывая четность `cosx` делается легко.
в) Перепишем уравнение в виде `3^(2x+6a)-3^(x^2-4x+7a)=x^2-6x+a` и обозначим `u=2x+6a`, `v=x^2-4x+7a`. Тогда уравнение можно записать в виде `3^u-3^v=v-u` или `3^u+u=3^v+v`. Значит, в силу монотонности функции `f=3^x+x`, получаем `u=v`, или `x^2-6x+a=0`. Квадратный трехчлен имеет единственное решение тогда и только тогда, когда `D/4=9-a=0`, откуда `a=9`
г) обозначения `u=3x+3a`, `v=x^2-5x+4a`, тогда уравнение записывается: `4^u-4^v=v-u`. Тогда в силу монотонности функции `f=4^x+x`, получаем `u=v`, или `x^2-8x+a=0`.

[Robot]

VEk спасибо большое

[VEk]

TTZ_2011 C5 варианты 1, 3, 7. Указания к решению

V1. Ответ: `a in {e^(-1/e) }uu(1;+oo)`
Указание. ОДЗ на параметр a: a>0,≠1. Переход к равносильной системе `{(log_a ( 3-x)=x-3),(y=4-2x):}`. Первое уравнение системы после замены `t=3-x`, `t>0` приводится к уравнению `log_a t=-t`. В силу монотонности функции y=4-2x для выполнения условий задачи необходимо и достаточно, чтобы первое уравнение системы имело единственное решение.
Пусть `a>1`. Тогда очевидно, что уравнение имеет единственное решение на участке `t in (0;1)` (это можно показать графически или обосновать с использованием монотонности различного характера).
Пусть `a in (0;1)`. В этом случае единственное решение будет тогда и только тогда, когда график функции `y_1=log_a t` будет касаться графика функции `y_2=-t`, (следует из сравнения скорости роста логарифмической и степенной функций), т.е. система `{(y_1=y_2),(y'_1=y'_2):}`, равносильная `{(log_a t=-t),(1/(tlna)=-1):}` должна иметь единственное решение. Последняя система равносильна следующей `{(lnt/lna=-t),(t=-1/lna):}`, откуда `t=e` и `a=e^(-1/e)`.

V3. Ответ: `|a| in (1;e^(1/e))`
Указание. ОДЗ системы: `{(a ne 0),(x>0):}`. Переход к равносильной системе `{(|a|^(x-y)=x-y),(x-log_2 x=y-6):}`. Первое уравнение системы после замены `t=x-y`, приводится к уравнению `|a|^t=t`. Таким образом систему можно переписать в виде `{(|a|^t=t),(y=x+6-log_2 x):}`. Заметим, что функция `y=x+6-log_2 x` монотонно убывает на `(0;1/ln2]` и монотонно возрастает на `[1/ln2;+oo)`. Так как область значений показательной функции суть `(0;+oo)`, то из первого уравнения получаем `x>64`, а на этом множестве второе уравнение – монотонно возрастающая функция. Значит, для существования двух решений исходной системы, первое ее уравнение должно иметь два решения. Дальнейшее рассмотрение проведем только для положительных a.
Пусть `a in (0;1)`, тогда уравнение `a^t=t` имеет единственное решение `t_1 in (0;1)` (обосновывается графически или с использованием монотонности функций). Значит, этот случай не удовлетворяет условию задачи.
Пусть `a>1`. В этом случае единственное решение будет тогда и только тогда, когда график функции `y_1=a^t` будет касаться графика функции `y_2=t`, (следует из сравнения скорости роста логарифмической и степенной функций), т.е. система `{(y_1=y_2),(y'_1=y'_2 ):}`равносильная `{(a^t=t),(a^t lna=1):}` должна иметь единственное решение. Последняя система равносильна следующей `{(a^t=t),(t=1/lna):}` или `{(t*lna=lnt),(t=1/lna):}`, откуда `t=e` и `a=e^(1/e)`. Легко видеть, что при `a>e^(1/e)` графики функций `y_1=a^t` и `y_2=t` не имеют общих точек (следует из свойств показательной функции), а при `1 < a < e^(1/e)`графики указанных функций пересекаются в 2 точках.

V7. Ответ: `a in (1;e^(1/e))`
Указание. ОДЗ на параметр a: `a>0`. Переход к равносильной системе `{(a^(7y-13)=7y-13),(x=4y-6):}`. Первое уравнение системы после замены `t=7y-13` приводится к уравнению `a^t=t`. Так функция `x=4y-6` монотонна, то для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы уравнение `a^t=t` имело ровно 2 решения.
Дальнейшее решение слово в слово повторяет решение задачи варианта V3.

[VEk]

TTZ_2011 C5 варианты 5, 6, 9. Указания к решению

V5. Ответ: `a in (0;1)`
Указание. ОДЗ системы: `{(a>0,!=1),(y>0):}`. Равносильная система `{(log_a y=y^2),(y=2x-x^2 ):}`. Из второго уравнения имеем `y <= 1`, графиком функции `y=2x-x^2` является парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому для всех решений первого уравнения, удовлетворяющих условию `0 < y <= 1`. В этом случае на множестве `(0;1)` функция `z_1=log_a y` отрицательна, а функция `z_2=y^2` положительна и в точке y=1 значения функций не совпадают. Значит, в этом случае решений нет.

Замечание. При `a>1` уравнение `log_a y=y^2` будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда график функции `z_1=log_a y` будет касаться графика функции `z_2=y^2`. А это имеет место в точке `y=sqrt(e)>1` при `a=e^(1/2e)`.

V6. Ответ: `|a| in (0;1) uuu {e^(1/(8e))}`
Указание. ОДЗ системы: `{(|a|>0, !=1),(y>0):}`. Равносильная система `{(log_(a^2 ) y=y^4),(y=x^2+3x+2):}`. Из второго уравнения `y >= -0.25`, графиком функции `y=x^2+3x+2` является парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому для всех положительных решений первого уравнения имеем 2 решения системы. Значит, первое уравнение системы должно иметь единственное решение. Далее рассматриваем случай положительных a.
Пусть `a in (0;1)`, тогда уравнение `log_(a^2 ) y=y^4` имеет единственное решение на (0;1) в силу разнонаправленной монотонности функций.
Пусть `a>1`. Тогда уравнение `log_(a^2 ) y=y^4` будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда график функции `z_1=log_(a^2 ) y` будет касаться графика функции `z_2=y^4`. А это имеет место в точке `y=root(4) e >1` при `a^2=e^(1/4e)`. Указанная точка находится из системы `{(z_1=z_2), (z'_1=z'_2 ):}` или `{(log_(a^2 ) y=y^4),(1/(ylna^2 )=4y^3 ):}`. Последняя система равносильна следующей `{(a^(2y^4 )=y),(y^4=1/(4lna^2 )):}` или `{(a^(2•1/4 log_(a^2 ) e)=y),(ln a^2=1/(4y^4 )):}`, откуда `y=e^(1/4)` и `a^2=e^(1/(4e))`. Легко видеть, что при `|a|>e^(1/(8e))` графики функций `z_1=a^(2y^4 )` и `z_2=y` не имеют общих точек (следует из свойств показательной функции), а при `1 < |a| < e^(1/(8e))` графики указанных функций пересекаются в 2-х точках.
Замечание. В книге в очередной раз неточный ответ.
Благодарности. Спасибо Гостю (25.11.2010, 19:43), указавшему на ошибку в приведенном ранее решении.

V9. Ответ: `a in (0;1)`
Указание. ОДЗ на параметр a: `a>0`. Равносильная система `{(a^(y^2 )=root(9)(-y)),(y=2x^2+3x+1/8):}` или `{(a^(9(y^2))=-y),(y=2x^2+3x+1/8):}`. Отсюда `y<0` и так как `y=2(x+3/4)^2-1`, получаем `y in [-1;0)`. Графиком функции `y=2x^2+3x+1/8` является парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому для каждого `y in [-1;0)` получаем два решения исходной системы. Значит, первое уравнение системы должно иметь единственное решение.
Пусть `a in (0;1)` тогда уравнение `a^(9(y^2))=-y` имеет единственное решение на `(-1;0)` в силу разнонаправленной монотонности функций.
Пусть `a>1`. В этом случае на множестве `(-1;0)` множество значений функции `z_1=a^(9y^2)` суть `(1;a^9)`. А множество значений функции `z_2=-y` – суть `(0;1)`. В точке `y=-1` значения функций не совпадают. Значит, в этом случае решений нет.

[Гость]

VEk , большое спасибо.

[Robot]

Ой, VEk, огромное спасибо!
Добавляю ссылки в таблицу

[Гость]

объясните, пожалуйста, номер TTZ(2011)-1.2.C1. Я приравняла числитель к нулю, нашла ОДЗ, а как сделать отбор корней уравнения для ответа не понимаю.. Если есть решение или примечания к этому заданию - выложите, пожалуйста... Без вашей помощи - никак (((

[Robot]

TTZ(2011)-1.2.C1 Решите уравнение `(tgx - 3)/(sqrt(-sinx))=0`
Уравнение равносильно системе
`{tgx=3,`
`{sinx < 0`
которая, в свою очередь, равносильна
`{x=arctg3+pi*n, n in Z`
`{sinx <0`
Далее отбор решений можно проводить аналитически или с помощь круга
Серия `x=arctg3+pi*n, n in Z` распадается на две: при четном `n=2k` имеем `x=arctg3+2pi*k, k in Z`, а при нечетном `n=2k+1` `x=arctg3+pi+2pi*k, k in Z`
Первая серия изображается точкой первой четверти, там синус положителен
Вторая серия изображается точкой третьей четверти, там синус отрицателен


Ответ: `x=arctg3+pi+2pi*k, k in Z`

[Гость]

спасибо большое, что объяснили!!! я теперь разобралась! ))))))
:-* чудесный сайт и чудесные люди здесь!

[Robot]

Пожалуйста=)

[Гость]

объясните поподробней пожалйуста TTZ_2011 C5

[Гость]

Гость , что непонятно?

[Гость]

объясните поподробнее пожалуйста TTZ_2011 C5 варианты 5, 6, 9.

[VEk]

А какие вопросы? Какой шаг, конкретно, Вам не понятен?

[Гость]

То есть TTZ_2011 C5 варианты 1, 3, 7.
НЕ ПОНЯТНО следующее:
В случае а в перелах от 0 до 1 что значат знаки "_" в уравнениях функций например "у_1=Log_a t" и как одна система равносильна другим тоже не могу понять(
Пусть `a in (0;1)`. В этом случае единственное решение будет тогда и только тогда, когда график функции `y_1=log_a t` будет касаться графика функции `y_2=-t`, (следует из сравнения скорости роста логарифмической и степенной функций), т.е. система `{(y_1=y_2),(y'_1=y'_2):}`, равносильная `{(log_a t=-t),(1/(tlna)=-1):}` должна иметь единственное решение. Последняя система равносильна следующей `{(lnt/lna=-t),(t=-1/lna):}`, откуда `t=e` и `a=e^(-1/e)`.

[VEk]

Указанные знаки - нижние индексы для применения скрипта. Если Вы его установите, будете видеть формулы так, как они записываются в учебниках.

[Гость]

Подскажите какой конкретно скрипт? (Java стоит уже)

[VEk]

В эпиграфе есть раздел - пользовательский скрипт и рядом хэлп по его использованию (последняя строка в эпиграфе).

[Гость]

К заданию TTZ_2011 C5 вариант 6. Уравнение `Log_(a^2) y=y^4` имеет решение и в том случае, когда `a^2>1`. Графики `y^4`
и `(Log_(a^2) y)` касаются, когда `a^2=e^(1/(4e))>1` в точке с абсциссой `y=e^(1/4)>0`. При таком значении "y" второе уравнение имеет ровно два решения. Так что закончить решение так же как в варианте 5 не получится. И ответ в пособии неверный

[VEk]

Гость Большое спасибо за указание на допущенную в решении ошибку. Решение исправил. К сожалению, опять надо говорить о проколах авторов сборников (опечатки в ответах).

[Elemantarial]

Помогите пжлста с решением задания TTZ(2011)-2.7.C5 Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система `{(a^(2x-y-1) = x+3y-7),(4y-x=6):}` имеет ровно два решения.

[Robot]

2010-09-05 в 09:07

- дано указание

[yura24]

Не знаю как решать.....препод сказла : "Потом подойдешь!" (наверно будет тоже у вас спрашивать...) TTZ(2011)-1.5.C1 Решите уравнение `(sin 7y)/(cos 7y + 1)=0`.

[VEk]

yura24 Создайте отдельный топик по этой задаче, в этом топике обсуждение задач не ведется