Тензор второго ранга (главные оси, главные значения)

[DialeR7]

Всем доброго вечера. Прошу помощи, чтобы разобраться в задаче на тензоры второго ранга.
Задача формулируется следующим образом:
Дано: `k_1`, `k_2`, `k_3`, `alpha`, `betta`
Получить: 1) Допустимый диапазон изменений `k_1`, `k_2`, `k_3`. (cоотношения на них)
2) Главные оси `k_(I)`,`k_(II)`, `phi`

3) Если даны главные оси `k_(I)`,`k_(II)`, то получить график `k(phi)` (ограничения на `k_1`, `k_2`, `k_3` в зависимости от `alpha`, `betta` )

Фото двух рисунков к задаче прилагаю.




Преподаватель сказал, что начать можно с (3) пункта, то есть с обратной задачи. Каким образом можно получить ограничения на `k_1`, `k_2`, `k_3` в зависимости от `alpha`, `betta` ? Помогите, пожалуйста, разобраться.

@темы: Векторный анализ, Уравнения мат. физики

---

Сетевая транспортная задача

[Pink-Panter]

Здравствуйте!

Посмотрите, пожалуйста мое решение задачи. Мне оно кажется подозрительно простым. Ищу подвох.

Задание:
Дана транспортная задача в сетевой постановке.
Для каждой дуги (i,j) поток ограничен снизу x_ij >= l_ij.
Проведём замену переменных y_ij = x_ij - l_ij и построим эквивалентную задачу для переменных y_ij.
Как при этом изменятся правые части ограничений-балансов (т.е. b_i)?

Мое решение прикреплено к теме.


Заранее благодарю за любую помощь!

@темы: Линейное программирование

---

[Rakimou]

Очень срочно!!!
Есть билет по Нелинейным задачам, "Теорема о единственности решения уравнения Навье-Стокса, N>= 3", подскажите книги или где можно почитать об этом? Конкретно об уравнении найдено в Википедии, а теорема о единственности гуглом вообще не показывается.
Очень прошу помочь!

Неактуально, спасибо.

@темы: Системы НЕлинейных уравнений

---

Леонид Канторович

[Alidoro]

Сегодня у него день рождения
politru.ocean3.polit.ru/news/2015/01/19/kantoro...

Цитата
"Много лет назад произошла, пожалуй, наиболее типичная - по непониманию - ситуация, которую сегодня часто вспоминают как анекдот. Но это - не анекдот. На вагоностроительном заводе имени Егорова в Ленинграде с помощью линейного программирования сделали раскрой металла. Это была пионерная работа и в мире, и у нас в стране. Делалось все в эпоху арифмометров, а не ЭВМ, вообще, вероятно, это было первое в мировой практике реальное применение методов линейного программирования. После того как были применены оптимальные методы и несколько сократился расход металла, оказалось, что резко уменьшилась возможность сдачи металлолома. В итоге был сорван план сдачи отходов металла, а раз один из показателей плана не выполнен, то предприятие не может быть премировано в полном размере. Тогда райком помог преодолеть эту трудность, и в виде исключения премия заводу была сохранена, несмотря на срыв одного из показателей. Второй казус этой ситуации: отраслевое начальство, получив рапорт о том, что завод на 4 процента увеличил использование металла при раскрое, предложило им не терять темпа и в следующем году опять подняло план использования металла на те же 4 процента. Выходило, что металл должен использоваться на 101 процент, и пришлось даже писать бумагу от академии, что больше 100 процентов не бывает."

@темы: Люди

---

решение тригонометрического уравнения

[And why to you this information?]

доброго времени суток.
в наличии имеется решение тригонометрического уравнения, в котором не ясен процесс получения одной строки (выделена жирным). насчёт остального никаких вопросов не возникает. не понятна только одна строка. фрагмент решения приведён, чтобы видеть общую картину.

часть решения уравнения

(sin4x/cos2x) = 2*sin x;
sin4x = 2*sin x*cos2x;
2*sin2x*cos2x = 2*sin x*cos2x;
sin2x = sin x;
2*sin x*cos x = sin x;
2*sin x*cos x = 0; sin x = 0;
2*cos x = 1; x = пn;
cos x = 0,5;

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

Особые точки. ТФКП

[blackhawkjkee]

Задание:
определить характер особой точки `z_0=0` функции:
`(1-cos5z)/(e^z-1-z)`

Провел две эквивалентности в зн-ле и числителе, и немного запутался:
`lim_(z->0)(5z^2)/(2z-2z)=(25z^2)/(2z-2z)`

Подскажите как правильно надо было эквивалентность применить, а то я сомневаюсь что тут надо и в зн-ле и в чис-ле сокращать через нее.

@темы: ТФКП

---

Помогиет разобраться с матаном

[NellPolanski]

1)каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F(0,2) и прямой y=6 .
2). Даны вершины треугольника : A(-6,2) ,B(8,10) ,C(-8,4) . Найти:
1) уравнение высоты, опущенной из вершины A ;
2) точку пересечения высоты, опущенной из вершины A , и стороны BC ;
3) точку пересечения медиан треугольника ABC .

@темы: Аналитическая геометрия

---

Математическая логика.

[AnnaHada]

Помогите пожалуйста.

1. Докажите, что имеет место следующая выводимость, построив соответствующий вывод из гипотез

¯G |-> ( F v G) -> F

2. Проделайте доказательство теоремы о дедукции в следующей частной формулировке

Если ¯G |-> (F v G) -> F, то |-> F -> (( ¯G -> F) -> (G -> F))

3. Используя теорему о дедукции, докажите, что справедливы следующие выводимости

|-> (F -> G) -> (( ¯F -> G) -> G)

@темы: Математическая логика

---

Определить тангенсы внутренних углов

[Tamriko1313]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться как дальше?

Дано:

Уравнение сторон треугольника ABC записаны в виде уравнений прямых с угловыми коэффициентами.
Требуется найти внутренние углы треугольника ABC^

(AC): y=(2/9)*x + (5/9)

kAC=(2/9)

(AB): x= (сторона AB параллельна оси OY, т.е. kAB -> 00 (не существует).

(BC): y= (- 6/9)*x + 93/9

kBC = (-6/9)

определить тангенсы внутренних углов треугольника ABC

tg угла ABC = 72/69, угол ABC = arctg 72/69

Как найти углы BAC и ABC? если для их нахождения нужно значение kAB?

Заранее спасибо!

@темы: Аналитическая геометрия

---

Разложить в ряд Маклорена функцию

[alligator76]

Требуется разложить в ряд функцию
`y=(x-1) sin (5x)`

Я раскладываю:
`sin (5x)=5x-(5^3*x^3)/(3!)+(5^5*x^5)/(5!)-(5^7*x^7)/(7!)+...=sum_(n=1)^(infty) (((-1)^(n+1)*5^(2n-1)*x^(2n-1))/((2n-1)!))`

Тогда получим:
`(x-1)sin (5x)=(x-1)(5x-(5^3*x^3)/(3!)+(5^5*x^5)/(5!)-(5^7*x^7)/(7!)+...)=-5x+5x^2+(5^3*x^3)/(3!)-(5^3*x^4)/(3!)-(5^5*x^5)/(5!)+(5^5*x^6)/(5!)-(5^7*x^7)/(7!)+(5^7*x^8)/(7!)-...=sum_(n=1)^(infty) (((-1)^(n+1)*5^(2n-1)*(x-1)*x^(2n-1))/((2n-1)!))`

Общую формулу в таком виде преподаватель не принимает. Говорит, что в формуле должны присутствовать лишь степени `x`, записи вида `(x-1)` не допускаются.

У меня загвоздка с написанием общей формулы разложения. Со степенями икса вроде все понятно, т.к. в каждом члене стоит икс в нарастающей степени. Но как быть с тем, что, например, в первом и втором члене стоит 5, в третьем и четвертом члене стоит 5 в кубе, а знаки чередуются через два, а не через один, как обычно?

Прошу помощи.

@темы: Ряды

---

Производная функции по направлению вектора. Проверить.

[Tamriko1313]

Здравствуйте!

Дан пример:

Вычислить производную ф-ции v= a0+a1x+b1y+c1z+d1(x^k1)+d2x(y^k2)+d3x(z^k3) в точке М (x0; y0; z0) понаправлению вектора MM1.

a0=9; a1=0; b1=6; c1=7; d1= -5; d2=3; d3=2; k1=3; k2=2; k3= -5

M (0, -5, -3); M1 (3, 5, -1)


Получилось вот это:







Проверьте, пожалуйста, на ошибки. Заранее спасибо!

@темы: Производная

---

Неравенства

[wpoms.]

Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` выполняются неравенства (a) `9/(a + b + c) <= 2(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a))`, и (b) `1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) <= 1/2 (1/a + 1/b + 1/c)`.

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

---

Геометрия. Углубленный курс

[abit]

Всем привет!

Нашел замечательную книку
"Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями"
Авторы: Б.А. Будак, Н.Д. Золотарева, М.В. Федотов; под редакцией М.В. Фдотова

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена (ЕГЭ). Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач

Ссылка удалена

abit, посмотрите топик с правилами публикации информации о книжных новинках.
eek.diary.ru/p200538173.htm
mpl

@темы: Полезные и интересные ресурсы, Задачник, Планиметрия, Стереометрия, ЕГЭ, Литература

---

Метод Монте-Карло

[iprovokator]

Помогите вычислить такой интеграл с помощью метода Монте-Карло. Проблема в том, что теории вероятностей еще не было, поэтому абсолютно не понимаю, как это сделать.
Интеграл такой: `int_0^(+oo) int_0^(+oo) e^(-a*sqrt(x^2+y^2))*cos(xi*x)*cos(y*eta) dx dy`

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Теория вероятностей

---

Двумерные CВ

[MestnyBomzh]

Дан случайный вектор `(xi, eta)`. Плотность его распределения: `f(x, y)= 1/(2 pi) exp(-2x^2+12x-18-2xy+6y-y^2)`. Нужно найти `E( eta | xi = x), D( eta | xi=x)`. Вычислить `P( zeta > 10)`, если `zeta = 4 xi - 2 eta`.
Первый пункт я решил, получилось: `E( eta | xi = x) = 3 - x, D(eta | xi)=1/2`. Со второй частью проблемы. Если интегрировать функцию плотности по области, то получится неберущийся интеграл. Было бы еще неплохо, если бы `zeta` была распределена нормально, но `xi` уже нормально не распределена, так что это тоже не поможет. Подскажите, как быть

@темы: Теория вероятностей

---

[Amicus Plato]

Великодушный человек должен иметь несколько недостатков, чтобы не расстраивать своих друзей. Опыт — это дорогая школа, но что делать, если для дураков нет другой школы? Людям, не слушающим советов, нельзя помочь. Бенджамин Франклин

Наверное, немногие знают Бенджамина Франклина как математика... И знаменит он, конечно, не как математик. Но топик в сообществе — не только дань уважения тому Франклину которого мы знаем Это всё же немного большее.
Сегодня исполняется 309 лет со дня его рождения.

Википедия
Бенджамин Франклин (англ. Benjamin Franklin; 17 января 1706 — 17 апреля 1790) — политический деятель, дипломат, учёный, изобретатель, журналист, издатель, масон. Один из лидеров войны за независимость США. Один из разработчиков дизайна Большой Государственной Печати США (Великой печати). Первый американец, ставший иностранным членом Российской академии наук.
Бенджамин Франклин — единственный из отцов-основателей, скрепивший своей подписью все три важнейших исторических документа, что лежат в основе образования Соединенных Штатов Америки как независимого государства: Декларацию независимости США, Конституцию США и Версальский мирный договор 1783 года (Второй Парижский мирный договор), формально завершивший войну за независимость тринадцати британских колоний в Северной Америке от Великобритании. Портрет Бенджамина Франклина находится на стодолларовой купюре федеральной резервной системы США с 1914 года.

Биография
Бенджамин Франклин родился 17 января 1706 года в Бостоне. Был 15-м ребёнком в семье (всего 17 детей) эмигранта из Англии Джозайи Франклина (1652—1745) — ремесленника, занимающегося изготовлением мыла и свечей. Образование получил самостоятельно. Джозайя хотел, чтобы сын ходил в школу, но денег у него хватило только на два года обучения. С 12 лет Бенджамин начал работать подмастерьем в типографии своего брата Джеймса, а печатное дело стало его основной специальностью на многие годы.
В 1727 году основал в Филадельфии собственную типографию. Издавал (1729—1748) «Пенсильванскую газету», в 1732—1758 — ежегодник «Альманах бедного Ричарда».
В 1728 году Бенджамин Франклин основал Филадельфийский дискуссионный кружок ремесленников и торговцев «Клуб кожаных фартуков» («Джунто»), превратившийся в 1743 году в Американское философское общество, членами которого с 1770-х и до 1860-х было избрано 24 русских учёных, в том числе Т. И. фон Клингштет (1773), Е. Р. Дашкова (1789), П. С. Паллас (1791), Ф. П. Аделунг (1818), И. Ф. Крузенштерн (1824), В. Я. Струве (1853).
Основал в 1731 первую в Америке публичную библиотеку, в 1743 — Американское философское общество, в 1751 Филадельфийскую академию, ставшую основой Пенсильванского университета. С 1737 по 1753 г. исполнял должность почтмейстера Пенсильвании, с 1753 по 1774 — ту же должность в масштабе всех североамериканских колоний.
В 1776 году был направлен в качестве посла во Францию с целью добиться союза с нею против Англии, а также займа. Был избран членом академий многих стран, в том числе и Российской академии наук (1789 год, первый американский член Петербургской АН).
Он был масоном, и входил в величайшую масонскую ложу «Девять Сестёр».
Один из авторов американской Конституции (1787 г.). Автор афоризма «Время — деньги» (из «Советов молодому купцу», 1748).
Франклин скончался 17 апреля 1790 года. На его похороны в Филадельфии собралось около 20 тыс. человек.

Портрет Бенджамина Франклина кисти Дэвида Мартина (англ.), 1767 год, хранится в Белом доме, Вашингтон.

Оценки

• Из письма Робеспьера, адресованного Б. Франклину: «Вы знаменитейший учёный мира…».
• Дейл Карнеги: «Если вы хотите получить превосходные советы о том, как обращаться с людьми, управлять самим собой и совершенствовать свои личные качества, прочтите автобиографию Бенджамина Франклина — одну из самых увлекательных историй жизни».
• Решением Всемирного Совета Мира имя Франклина включено в список наиболее выдающихся представителей Человечества.

Научная и изобретательская деятельность

• Ввёл общепринятое теперь обозначение электрически заряженных состояний «+» и «−»;
• установил тождество атмосферного и получаемого с помощью трения электричества и привел доказательство электрической природы молнии;
• установил, что металлические острия, соединённые с землёй, снимают электрические заряды с заряженных тел даже без соприкосновения с ними и предложил в 1752 году проект молниеотвода;
• изобрёл бифокальные очки (1784);
• получил патент на конструкцию кресла-качалки;
• изобрёл экономичную малогабаритную печь для дома (1742) (названия: Franklin stove — печь Франклина, или Pennsylvania fireplace — пенсильванский камин);
• выдвинул идею электрического двигателя и продемонстрировал «электрическое колесо», вращающееся под действием электростатических сил;
• впервые применил электрическую искру для взрыва пороха;
• объяснил принцип действия лейденской банки, установив, что главную роль в ней играет диэлектрик, разделяющий проводящие обкладки;
• усовершенствовал стеклянную гармонику;
• разработал собственную систему управления временем;
• собрал обширные данные о штормовых ветрах (норд-остах) и предложил теорию, объяснявшую их происхождение;
• при его участии были проведены измерения скорости, ширины и глубины Гольфстрима, и это течение, название которому дал Бенджамин Франклин, было нанесено на карту (1770).

Портрет Франклина кисти Ж. Дюплесси, около 1785 года.

Изучение Гольфстрима
Будучи директором почтовых колоний, он обратил внимание на жалобы, что почтовые пакетботы, отправлявшиеся из английского порта Фалмут в Нью-Йорк, шли на две недели дольше, чем обыкновенные торговые суда из Лондона в Нью-Порт (город несколько восточнее Нью-Йорка). Оказалось, что виной тому был Гольфстрим. Почтовыми судами командовали английские моряки, незнакомые с этим течением, а торговыми судами — американские моряки, которые смолоду принимали участие в морских промыслах у берегов Америки. По настоянию Франклина моряки стали наносить свои наблюдения на карты, результатом чего стала первая карта Гольфстрима.

Изучение атмосферного электричества
Широко известен опыт Франклина по выяснению электрической природы молнии. В 1750 он опубликовал работу, в которой предложил провести эксперимент с использованием воздушного змея, запущенного в грозу. Такой опыт был проведён 10 мая 1752 французским учёным Томасом-Франсуа Далибардом (фр. Thomas-François Dalibard). Не зная об опыте Далибарда, Франклин провёл свой собственный эксперимент с воздушным змеем 15 июня в Филадельфии. Опыт Франклина был описан в работе Джозефа Пристли (англ. Joseph Priestley) «История и теперешнее состояние электричества» (англ. History and Present Status of Electricity) 1767 года. Пристли говорит о том, что Франклин был изолирован в процессе эксперимента, чтобы избежать создания смертельно опасного контура протекания тока (некоторые исследователи погибли во время проведения подобных экспериментов: в 1753 году при исследовании атмосферного электричества незаземлённым прибором погиб российский учёный Георг Рихман). В своих записях Франклин говорит о том, что знал об опасности и нашёл альтернативный путь демонстрации электрической природы молнии, о чём говорит использование им заземления. Распространённая версия проведения опыта гласит о том, что Франклин не стал дожидаться, когда молния ударит в запущенного змея (это было бы смертельно опасно). Вместо этого он запустил змея в грозовое облако и обнаружил, что змей собирает электрический заряд.

---

Магические квадраты Франклина

В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты. Бенджамин Франклин

Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка:

Судя по интернету, в нашей стране большим подвижником и исследователем квадратов Франклина является Наталия Макарова.
Вот несколько ссылок на всякие тексты на эту тему:
1. www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm
2. www.natalimak1.narod.ru/komplfr.htm
3. desyatbukv.blogspot.ru/2010/03/16.html
4. nataly-magique.livejournal.com/20081.html

В моем сообществе про магические квадраты писал Trotil:
organon.diary.ru/p43986820.htm

@темы: История математики, Люди

---

Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности, используя формулу Пуассона

[karol_tiggs]

`(partial u)/(partial t)=a^2(partial^2 u)/(partial x^2)`, `t>0`, `x in (-infty; infty)` Н. у. `u|_{t=0}=0.`

Помогите, пожалуйста, найти ошибку. Спросить не у кого. Ну никак не похоже на ответ... Ниже прилагаются 3 файла с попытками решения. Буду очень признательна за объяснение.

@темы: Уравнения мат. физики

---

Вычислить площади поверхности

[DarthSidious]

Фигура ограничена поверхностями z^2=2xy, sqrt(x/a)+sqrt(y/b)<1, x>=0, y>=0, z=0, x^2+y^2!=0, a>0, b>0

Не представляю что и как ...

@темы: Высшая геометрия

---

Метод Карацубы

[Med-ved]

Доброго времени суток! Прошу вашей помощи. Пытаюсь разобраться в методе Карацубы и терплю поражение.
Призвал в помощь гугл, но опять-таки ничего не понял.
Прошу объяснить метод, за привязанный к объяснению пример умножения буду вдвойне благодарен

@темы: Теория чисел

---

Частные производные. Проверить на ошибки

[Tamriko1313]

Здравствуйте! И снова я ))

Проверьте пожалуста нахождения частных производных и производных второго порядка от функции:

z= (x*e^y ) + (y*e^x)


Вот что вышло:




Заранее, большое спасибо!

@темы: Производная