[~ekitchu]

1. Даны матрицы:
A=|(1,2,-1),(3,0,-2),(-1,1,0),(2,1,1)| и B=|(-1,0,2),(-1,1,0),(2,1,1),(0,-1,1).
Найти матрицу C=B*A' и выяснить, имеет ли она обратную.
Я не пойму, как можно найти обратную матрицу А, чтобы перемножить и найти С? Она ведь не квадратная. Что я упустила? Может, в задании ошибка и нужно умножать на А, а не А'?

2. Совместна ли система уравнений:
x_1+2x_2+4x_3+x_5=1,
2x_1+5x_2+11x_3-x_4+5x_5=2,
-x_1-4x_2-10x_3+3x_4-9x_5=-1,
-x_2-3x_3+x_4-3x_5=1.

По моему решению она получилась несовместной.
rA=3, n=4.
Немного сомневаюсь.

3. Точки А(-3;-1), В(1;3) и D(5;1) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найти уравнения сторон AB и AD и координаты четвертой вершины C, противолежащей вершине A. Сделать чертеж.
Совсем не понимаю это задание.
Попыталась найти уравнение AB = (y+1)/(3+1)=(x+3)/(1+3)=y=1x+4.
Ничего не понимаю.

@темы: Линейная алгебра

---

Полукольца идемпотентные по обеим операциям, но без свойства поглащения.

[waterlaz]

Существуют ли идемпотентные по обеим операциям полукольца, но для которых не выполняется свойство поглащения?
Иными словами, существует ли полукольцо (+, *) с
a + a = a
a * a = a
Но при этом в общем случае не выполняется
a * (a + b) = a

Неподходящие примеры:
Полукольцо (min, max) над множеством вещественных чисел. И min, и max идемпотентны, но max{a, min{a, b}} = a.
В булевой алгебре также имеет место поглащение.


Пока что ни придумать такое полукольцо, ни доказать, что такого не существует, не могу.


Рассматривал элементы a*(a+b) и b*(a+b) в идемпотентном по + и * полукольце. Они ведут себя похоже на a и b в том смысле, что
( a*(a+b) ) * ( b*(a+b) ) = a*b
( a*(a+b) ) + ( b*(a+b) ) = a+b

( a*(a+b) ) * b = a*b
( a*(a+b) ) + b = a+b

Дальше ничего не придумал.


Спасибо!

@темы: Высшая алгебра

---

[е в степени икс]

Исследовать ряд на абсолютную сходимость.
`sum_(n=1)^infty (-1)^n*ln(1+1/sqrt(n))`

`sum_(n=1)^infty (-1)^n*ln(1+1/sqrt(n)) = -ln(1+1/sqrt(1)) + ln(1+1/sqrt(2)) - ln(1+1/sqrt(3)) + ln(1+1/sqrt(4)) + ...`
Ряд является знакочередующимся.


`lim_(n->+infty) |ln(1+1/sqrt(n))| =0`
Члены ряда убывают по модулю, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит убывание монотонно. Вывод, ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей: `sum_(n=1)^infty ln(1+1/sqrt(n))`
`lim_(n->infty) ln(1+1/sqrt(n)) =0`

А теперь каким признаком можно исследовать полученный ряд? Даламбер и Коши дали мне единицу.

@темы: Ряды

---

[е в степени икс]

Задание: необходимо исследовать ряд на сходимость.
1) дан ряд `sum_(n=1)^infty 1/((n+3)*ln(2n))`
`lim_(n->infty) 1/((n+3)*ln(2n))=0`
Возникла загвоздка с подсчетом вот этого интеграла. Пробовал даже в вольфраме посчитать,но тот тоже не смог.
`int_1^infty dx/((x+3)*ln(2x))`
может быть здесь надо задействовать какой-то другой признак?

2) `sum_(n=1)^infty (2+(-1)^n)/ln(1+n)`
Аналогично не могу понять какой признак нужно использовать.

@темы: Ряды

---

[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Брянская область Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.,

@темы: Олимпиадные задачи

---

Математика

[mark_non]

Даны координаты вершин треугольника АВС
найти 1) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты. 2) тангенс угла B. 3) уравнение высоты CD и ее длину 4) уравнение медианы АЕ. 5)уравнение прямой проходящей через точку С параллельно стороне АВ .6) координаты точки p расположенной симметрично точки А относительно прямой CD 7) координаты точки М пересечения медиан треугольника АВС. А(-9:6) B(3;-3) С (7: 19)

@темы: Аналитическая геометрия

---

Наряды

[webmath]

Ряды.
Интерактивный практикум, основанный на попсе:
webmath.exponenta.ru/seq/sol.html
и ВА (полторы тыщенцей сэриезов):
webmath.exponenta.ru/sci/che26.html
Украткая теория:
webmath.exponenta.ru/seq/the.html
Для самообразия.
Идеальные программные пошаговые решения - пока не для нета, потому как в лицензионных пакетах.

@темы: Математический анализ, Ряды

---

[mkutubi]

Мишаненкова Е. Тесты для вашего кота. Измерь IQ домашнего любимца и пойми его психотип - АСТ, 2012, 150 стр. Ваша кошка очень умная и понимает вас с полуслова? Или наоборот, это глупое создание делает вид, будто не слышит, что вы ей говорите? Или вы вообще подозреваете, что у вас дома живет пушистый хвостатый инопланетянин, который общается с вами ровно настолько, насколько ему это нужно для каких-то его собственных целей? Помочь разобраться в собственной кошке вам помогут специальные тесты, разработанные заводчиками кошек, психологами и просто опытными кошатниками! Кроме того, в книге приведен краткий человеко-кошачий словарь и кошачий гороскоп. Скачать (doc, 10 Мб) mirknig || rghost

@темы: Про самолеты

---

[wpoms]

Всероссийская олимпиада школьников. Республика Дагестан Река Андийское Койсу Задания 2013/14, 2016/17 у.г., 2017/18 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Произведения

[wpoms.]

Даны `2n` действительных чисел `a_1, a_2, ... , a_n`, `b_1, b_2, ... , b_n`, где `a_1, a_2, ... , a_n` различны. Предположим, что существуют действительное число `alpha` для которого произведение `(a_i + b_1)(a_i + b_2) ... (a_i + b_n)` равно `alpha` для `i = 1, 2,..., n`. Докажите, что существует действительное число `beta` для которого произведение `(a_1 + b_j)(a_2 + b_j) ... (a_n + b_j)` равно `beta` для `j = 1 , 2, . . . , n`.

@темы: Теория чисел

---

Функциональный анализ

[yoggik_wow]

Здравствуйте.
Дан оператор `T : C[0,1] -> C[0,1]`
Нужно найти его норму, если `Tx(t)=int_0^t x(sqrt(s))*sin(10*s) ds`

Есть идея сначала сделать замену, чтобы у икса не было корня под интегралом. После всего получается, что
`||T||=sup_(x!=0) (2*||int_0^t x(p)*sin(10*p^2)*p dp||) / ||int_0^t x(s) ds||`

А дальше совсем не понимаю, что делать :с По идее, нужно же неравенство Гельдера применить и что-нибудь сократить, а потом синус интегрировать. Но как это грамотно сделать?

@темы: Функциональный анализ

---

Найти поток векторного поля через поверхность

[velani]

Дана система (x+y+z=1; x=0, y=0, z>0), вектор a=(2x+e^z, e^x, e^y), нормаль внешняя. Не могли бы вы сказать как это решаеться.

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Векторный анализ

---

..Здравствуйте!

[KARMELITAMARONE]

Объясните ,пожалуйста, в чем отличия поточечной, равномерной и среднеквадратичной сходимости(сходимости по норме)?
Определения я знаю, но не совсем понимаю. Можно привести примеры(как можно больше),что я видела отличия.

@темы: Функциональный анализ

---

[Scoun]

Здравствуйте, дана задача:
Сколько одинаковых членов находится среди первых 400 членов арифметических прогрессий 3, 7, 11, … и 1, 6, 11, …?
Решал так: Смотрел через сколько в каких прогрессиях повторяются цифры и делил число членов на большее количество повторений. Но в таком случае задача решается подозрительно легко. правильно ли? Стоит вычесть единицу?

@темы: Олимпиадные задачи, Прогрессии

---

[mkutubi]

Благодаря  d_a появились еще две хорошие версии этой замечательной книжки. Ранее книга выкладывалась  pemac.

Пишет  d_a:

06.01.2014 в 10:08

Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К., "Сборник задач по геометрии: 5000 задач с ответами", Москва, Издательство: "Астрель"; "АСТ", 2001, 400 стр. Книга содержит достаточно полную подборку учебных задач по всему курсу геометрии. В сборник, кроме учебных задач, включены конкурсные и олимпиадные задачи. Конкурсные задачи полезны учащимся, которые готовятся к поступлению в вуз, а задачи олимпиадного раздела помогут подготовиться у участию в школьных, районных, городских олимпиадах. Сборник можно использовать применительно к любому школьному учебнику. Скачать (DJVU, 5 Мб) rusfolder || (PDF, 16 Мб) rusfolder

URL комментария

@темы: Литература

---

Помогите, пожалуйста, разобраться с теоремой

[shailer1]

Помогите, пожалуйста, разобраться с теоремой о замкнутом графике (текст теоремы прилагается). Возник вопрос.
Почему вспомогательный оператор U биективен? Как это доказать?
Насколько я поняла, чтобы это доказать, нужно воспользоваться теоремой о ядре линейного оператора. То есть, если ядро линейного оператора состоит только из одного элемента (0), то оператор биективен. Но как это применить для этого случая?

@темы: Функциональный анализ

---

Выложена брошюра "Графы"

[ashap.info]

На моей страничке www.ashap.info в разделе "Книги/Школьные математические кружки" выложена демо-версия книги В.М.Гуровица и В.В.Ховриной "Графы". Кстати, Владимир Михайлович Гуровиц сегодня празднует своё 35-летие! Давайте его поздравим.
На этом же сайте вы найдёте полные или демонстрационные версии других книг, которые я написал или отредактировал, а также очень много авторских задач и подборок. Все копии совершенно законны. Рекламы нет. Добро пожаловать.
Александр Шаповалов

@темы: Методические материалы, Литература

---

[Katia9]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста. Несколько дней сижу с этим заданием. Написала уравнение касательной в общем виде и построила график. И все. Дальше не понимаю.
На графике функции y=sqrt (12,5|x|+3,5x) найти все точки с положительными абсциссами, так что площадь фигуры, ограниченная касательной к графику функции, проведенной через каждую из этих точек с самим графиком равна 4 целых 1/6.
До завтра нужно(((

@темы: Приложения определенного интеграла, Касательная

---

Видеолекции

[All_ex]

Machine Learning. Лекции от Школы анализа данных Яндекса
Современный анализ данных без "машинного обучения" представить невозможно. В рамках курса рассматриваются основные задачи обучения по прецедентам: классификация, кластеризация, регрессия, понижение размерности. Изучаются методы их решения, как классические, так и новые, созданные за последние 10–15 лет. Упор делается на глубокое понимание математических основ, взаимосвязей, достоинств и ограничений рассматриваемых методов. Отдельные теоремы приводятся с доказательствами.

Читает курс лекций Константин Вячеславович Воронцов ...

Читает курс лекций Константин Вячеславович Воронцов, старший научный сотрудник Вычислительного центра РАН. Заместитель директора по науке ЗАО «Форексис». Заместитель заведующего кафедрой «Интеллектуальные системы» ФУПМ МФТИ. Доцент кафедры «Математические методы прогнозирования» ВМиК МГУ. Эксперт компании «Яндекс». Доктор физико-математических наук.

Содержание лекций

Лекция 1. Основные понятия и примеры прикладных задач
Постановка задач обучения по прецедентам. Объекты и признаки. Типы шкал: бинарные, номинальные, порядковые, количественные.
Типы задач: классификация, регрессия, прогнозирование, кластеризация.
Основные понятия: модель алгоритмов, метод обучения, функция потерь и функционал качества, принцип минимизации эмпирического риска, обобщающая способность, скользящий контроль.
Примеры прикладных задач.

Лекция 2. Байесовские алгоритмы классификации, непараметрические методы
Вероятностная постановка задачи классификации. Основные понятия: априорная вероятность, апостериорная вероятность, функция правдоподобия класса.
Функционал среднего риска. Ошибки I и II рода.
Оптимальный байесовский классификатор.
Оценивание плотности распределения: три основных подхода.
Наивный байесовский классификатор.
Непараметрическое оценивание плотности распределения по Парзену-Розенблатту. Выбор функции ядра. Выбор ширины окна, переменная ширина окна. Метод парзеновского окна.
Непараметрический наивный байесовский классификатор.
Робастное оценивание плотности. Цензурирование выборки (отсев объектов-выбросов).

Лекция 3. Параметрические методы, нормальный дискриминантный анализ
Многомерное нормальное распределение: геометрическая интерпретация, выборочные оценки параметров: вектора математического ожидания и ковариационной матрицы.
Квадратичный дискриминант. Вид разделяющей поверхности. Подстановочный алгоритм, его недостатки и способы их устранения.
Линейный дискриминант Фишера.
Проблемы мультиколлинеарности и переобучения. Регуляризация ковариационной матрицы.
Метод редукции размерности.
Модель смеси распределений.
EM-алгоритм: основная идея, понятие скрытых переменных, Е-шаг, М-шаг. Конструктивный вывод формул М-шага (без обоснования сходимости).

Лекция 4. EM-алгоритм и сеть радиальных базисных функций
Критерий останова, выбор начального приближения, выбор числа компонент.
Стохастический EM-алгоритм.
Смесь многомерных нормальных распределений. Сеть радиальных базисных функций (RBF) и применение EM-алгоритма для её настройки.
Метод ближайших соседей (kNN) и его обобщения.
Подбор числа k по критерию скользящего контроля.

Лекция 5. Метрические алгоритмы классификации
Обобщённый метрический классификатор, понятие отступа.
Метод потенциальных функций, градиентный алгоритм.
Отбор эталонных объектов. Псевдокод: алгоритм СТОЛП.
Функция конкурентного сходства, алгоритм FRiS-СТОЛП.
Биологический нейрон, модель МакКаллока-Питтса.
Линейный классификатор, понятие отступа, непрерывные аппроксимации пороговой функции потерь.

Лекция 6. Линейные алгоритмы классификации
Квадратичная функция потерь, метод наименьших квадратов, связь с линейным дискриминантом Фишера.
Метод стохастического градиента и частные случаи: адаптивный линейный элемент ADALINE, перcептрон Розенблатта, правило Хэбба.
Недостатки метода стохастического градиента и способы их устранения. Ускорение сходимости, «выбивание» из локальных минимумов. Проблема переобучения, редукция весов (weight decay).
Гипотеза экспоненциальности функций правдоподобия классов.
Теорема о линейности байесовского оптимального классификатора.
Оценивание апостериорных вероятностей классов с помощью сигмоидной функции активации.
Логистическая регрессия. Принцип максимума правдоподобия и логарифмическая функция потерь.
Метод стохастического градиента, аналогия с правилом Хэбба.

Лекция 7. Метод опорных векторов (SVM)
Оптимальная разделяющая гиперплоскость. Понятие зазора между классами (margin). Случаи линейной разделимости и отсутствия линейной разделимости.
Связь с минимизацией регуляризованного эмпирического риска. Кусочно-линейная функция потерь.
Задача квадратичного программирования и двойственная задача. Понятие опорных векторов.
Рекомендации по выбору константы C.
Функция ядра (kernel functions), спрямляющее пространство, теорема Мерсера.
Способы конструктивного построения ядер. Примеры ядер.
Сопоставление SVM с гауссовским ядром и RBF-сети.

Лекция 8. Линейные методы классификации: обобщения и обзор
Теоретические обоснования различных непрерывных функций потерь и различных регуляризаторов.
Байесовский подход. Принцип максимума совместного правдоподобия данных и модели.
Некоторые разновидности регуляризаторов, применяемые на практике. Квадратичный (L2) регуляризатор. L1- и L0- регуляризаторы и их связь с отбором признаков.
Метод релевантных векторов.
Сложностный подход. Радемахеровская сложность и некоторые её свойства. Верхняя оценка вероятности ошибки для линейных классификаторов.

Лекция 9. Методы восстановления регрессии
Задача восстановления регрессии, метод наименьших квадратов.
Одномерная непараметрическая регрессия (сглаживание): оценка Надарая-Ватсона, выбор ядра и ширины окна сглаживания.
Многомерная линейная регрессия. Сингулярное разложение.
Регуляризация: гребневая регрессия и лассо Тибширани.
Метод главных компонент и декоррелирующее преобразование Карунена-Лоэва.
Робастная регрессия: простой алгоритм отсева выбросов LOWESS.

Лекция 10. Прогнозирование временных рядов
Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. Тренд, сезонность, календарные эффекты.
Адаптивные модели: экспоненциальное сглаживание, модели Хольта-Уинтерса и Тейла-Вейджа.
Скользящий контрольный сигнал и модель Тригга-Лича.
Адаптивная селекция и композиция моделей прогнозирования.
Примеры прикладных задач: прогнозирование трафика, числа посещений, объёмов продаж.

Лекция 11. Нейронные сети
Структура многослойной нейронной сети. Функции активации.
Проблема полноты. Задача исключающего или. Полнота двухслойных сетей в пространстве булевских функций.
Алгоритм обратного распространения ошибок. Формирование начального приближения. Проблема паралича сети.
Методы оптимизации структуры сети. Выбор числа слоёв и числа нейронов в скрытом слое. Постепенное усложнение сети. Оптимальное прореживание сети (optimal brain damage).

Лекция 12. Алгоритмы кластеризации
Постановка задачи кластеризации. Типы кластерных структур.
Графовые методы кластеризации: алгоритм выделения связных компонент, алгоритм ФОРЭЛ, функционалы качества кластеризации.
Иерархическая кластеризация (таксономия): агломеративная иерархическая кластеризация, дендрограмма и свойство монотонности, свойства сжатия, растяжения и редуктивности.
Статистические методы кластеризации: EM-алгоритм, метод k-средних.

Лекция 13. Методы частичного обучения
Простые эвристические методы: особенности задачи SSL, метод self-training, композиции алгоритмов классификации.
Модификация методов кластеризации: оптимизационный подход, кластеризация с ограничениями.
Модификация методов классификации: трансдуктивный SVM, логистическая регрессия, Expectation Regularization.

Лекции 14-15. Композиции классификаторов. Бустинг (часть 1, часть 2)
Композиция классификаторов: задачи обучения композиций, классический алгоритм AdaBoost, градиентный бустинг.
Бэггинг и комитетные методы: бэггинг и метод случайных подпространств, простое и взвешенное голосование, голосование по старшинству.
Смеси алгоритмов: идея областей компетентности, итерационный метод обучения смеси, последовательное наращивание смеси.

Лекция 16. Оценки обобщающей способности
Задачи и критерии выбора метода обучения: задачи выбора модели или метода обучения, эмпирические оценки скользящего контроля, аналитические оценки и критерии регуляризации.
Теория обобщающей способности: вероятность переобучения и VC-теория, бритва Оккама, комбинаторная теория переобучения.
Методы отбора признаков: полный перебор и жадные алгоритмы, поиск в глубину и в ширину, стохастический поиск.

Лекция 17. Методы отбора признаков. Отбор признаков
Сложность задачи отбора признаков. Полный перебор.
Метод добавления и удаления, шаговая регрессия.
Поиск в глубину, метод ветвей и границ.
Усечённый поиск в ширину, многорядный итерационный алгоритм МГУА.
Генетический алгоритм, его сходство с МГУА.
Случайный поиск и Случайный поиск с адаптацией (СПА).

Лекция 18. Логические алгоритмы классификации
Понятие закономерности и информативности: определения и обозначения, интерпретируемость, информативность.
Методы поиска информативных закономерностей: жадный алгоритм, алгоритм на основе отбора признаков, бинаризация данных.
Композиции закономерностей: решающий список, решающие деревья, голосование закономерносей, решающие леса.

Лекция 19. Логические алгоритмы классификации. Решающие деревья
Решающий список. Жадный алгоритм синтеза списка.
Решающее дерево. Псевдокод: жадный алгоритм ID3. Недостатки алгоритма и способы их устранения. Проблема переобучения.
Редукция решающих деревьев: предредукция и постредукция.
Преобразование решающего дерева в решающий список.
Алгоритм LISTBB.
Чередующиеся решающие деревья (alternating decision tree).
Невнимательные решающие деревья (oblivious decision tree).
Решающий лес и бустинг над решающими деревьями. Алгоритм TreeNet.

Лекция 20. Логические алгоритмы классификации. Взвешенное голосование
Методы синтеза конъюнктивных закономерностей. Псевдокод: алгоритм КОРА, алгоритм ТЭМП.
Эвристики, обеспечивающие различность и полезность закономерностей. Построение Парето-оптимальных закономерностей. Выравнивание распределения отступов.
Применение алгоритма бустинга AdaBoost к закономерностям. Критерий информативности в бустинге.
Примеры прикладных задач: кредитный скоринг, прогнозирование ухода клиентов.

Лекция 21. Поиск ассоциативных правил
Методы синтеза конъюнктивных закономерностей. Псевдокод: алгоритм КОРА, алгоритм ТЭМП.
Эвристики, обеспечивающие различность и полезность закономерностей. Построение Парето-оптимальных закономерностей. Выравнивание распределения отступов.
Применение алгоритма бустинга AdaBoost к закономерностям. Критерий информативности в бустинге.
Примеры прикладных задач: кредитный скоринг, прогнозирование ухода клиентов.

Лекция 22. Коллаборативные итерации
Постановка задачи и приложения.
Корреляционные модели, основанные на хранении данных, задача восстановления пропущенных значений функция близости.
Латентные модели: бикластеризация и матричные разложения, вероятностные латентные модели, эксперименты из данных Яндекса.

Лекции 23-24. Тематическое моделирование (часть 1, часть 2)
Задача тематического моделирования: вероятностная тематическая модель, униграммная модель.
Тематические модели PLSA и LDA: вероятностная латентная семантическая модель, латентное размещения Дирихле, эмпирические оценки качества тематических моделей.
Робастная вероятностная тематическая модель: модель с фоновой и шумовой компонентами, EM-алгоритм для робастной модели, разреженность робастной модели.

Лекция 25. Обучение с подкреплением
Многорукий бандит: простая постановка задачи, жадные и полужадные стратегии, адаптивные стратегии.
Динамическое программирование: полная постановка задачи, уравнение Беллмана.
Метод временных разностей.

Источник (ссылки на видеолекции. On-line просмотр)

@темы: Образование, Полезные и интересные ресурсы, Ссылки

---

Видеолекции

[All_ex]

Школа анализа данных Яндекса предлагает курса «Дискретный анализ и теория вероятностей». В рамках курса рассматриваются основные понятия и методы комбинаторного, дискретного и асимптотического анализа, теории вероятностей, статистики и на примере решения классических задач демонстрируется их применение.

Читает курс Андрей Райгородский.

Читает курс Андрей Райгородский. Доктор физико-математических наук. Профессор кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Заведующий кафедрой Дискретной математики ФИВТ МФТИ. Профессор и научный руководитель бакалавриата кафедры «Анализ данных» факультета инноваций и высоких технологий МФТИ. Руководитель отдела теоретических и прикладных исследований компании «Яндекс». (Ещё больше можно узнать в статье о нём на Википедии).

Содержание курса

Лекция 1. Основы перечислительной комбинаторики
Числа сочетания (с повторениями и без повторений), числа размещения (с повторениями и без повторений), перестановки. Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты. Полиномиальная формула и полиномиальные коэффициенты. Формула включений и исключений.

Лекция 2. Обобщенная функция Мёбиуса и асимптотики
Простейшие комбинаторные тождества. Знакопеременные тождества. Использование формулы включений и исключений для доказательства тождеств. Функция Мёбиуса и формула обращения Мёбиуса. Подсчет числа циклических последовательностей. Элементарные оценки факториалов, биномиальных коэффициентов и пр. Понятие об энтропии. Неравенство Чернова. Формула Стирлинга (б/д). Асимптотики для биномиальных коэффициентов и пр.

Лекция 3. Деревья и унициклические графы
Основные понятия теории графов. Перечисление деревьев на n вершинах (формула Кэли): подход с производящими функциями; подход с использованием биекции между множеством деревьев и множеством размещений с повторениями (коды Прюфера). Изоморфизмы и автоморфизмы графов. Сводка результатов по перечислению графов.

Лекция 4. Разбиение чисел на слагаемые
Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Рекуррентные соотношения для функций разбиения. Харди-Рамануджана (б/д).

Лекция 5. Производящие функции и линейные рекуррентные соотношения
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Степенные ряды и производящие функции. Применение степенных рядов и производящих функций для доказательства комбинаторных тождеств. Применение степенных рядов и производящих функций для решения рекуррентных соотношений. Числа Каталана, Стирлинга, Бернулли и др. Их применения.

Лекция 6. Хроматические числа графов и Кнезеровский граф
Хроматические числа графов. Гипотеза Кнезера. Теорема Ловаса.

Лекция 7. Классическое определение вероятности, схема Бернулли и их применение к числам Рамсея
Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Парадокс Бертрана. Условные вероятности. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Схема серий. Случайные блуждания. Понятие о случайном графе. Перколяция. Метод Монте-Карло.

Лекции 8-9. Локальная лемма Ловаса. Теория вероятностей (часть 1, часть 2)
Числа Рамсея. Раскраски гиперграфов. Покрытие графов линейными лесами.

Лекция 10. Распределения случайных величин
Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Основные виды распределений: биномиальное, геометрическое, пуассоновское, гипергеометрическое, равномерное, нормальное, показательное, гамма-распределение, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера и пр. Числовые характеристики распределений: математическое ожидание, дисперсия, моменты, факториальные моменты. Совместные распределения. Ковариация и корреляция. Независимость и некоррелированность случайных величин. Понятие о вариационном ряде. Распределения, математические ожидания, дисперсии и ковариации порядковых статистик.

Лекции 11-12. Предельные теоремы (часть 1, часть 2)
Неравенства Маркова и Чебышёва. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Закон больших чисел в форме Чебышёва. Закон больших чисел в форме Хинчина. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел. Предельные теоремы Муавра-Лапласа для схемы Бернулли (локальная и интегральная). Предельная теорема Пуассона для схемы серий. Производящие и характеристические функции. Центральная предельная теорема (различные формулировки; доказательство только для случая независимых одинаково распределенных случайных величин).

Лекция 13. Размерность Вапника-Червоненкиса
Понятие о выборке и выборочном пространстве. Точечное оценивание параметров. Несмещенность, состоятельность и пр. Методы моментов и максимального правдоподобия. Доверительное оценивание. Методы построения доверительных интервалов.

Источник (ссылки на видеолекции, On-line просмотр)


С 20 января 2014 года начинается обучение по курсу видеолекций Графы и комбинаторика: от жемчужин теории к современным приложениям того же автора в проекте «Универсариум».

План лекций

1 Основные понятия и классические задачи теории графов 7 лекций
2 Графы.Первые задачи 8 лекций
3 Вероятность и графы 9 лекций
4 Треугольники в случайном графе 6 лекций
5 Числа Рамсея и связность графа 7 лекций
6 Хроматическое число 6 лекций
7 Интернет-графы 6 лекций
8 Выходим на приложения 3 лекции

@темы: Образование, Полезные и интересные ресурсы, Ссылки