Делители

[wpoms.]

Пусть `a_0 = 4`, а последующие члены последовательности вычисляются по формуле `a_n = a_{n - 1}^2 - a_{n - 1}` для всех натуральных чисел `n`. а) Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, которые являются делителем хотя бы одного члена последовательности; б) Существует ли бесконечно много простых чисел, которые не являются делителем ни одного члена последовательности?

@темы: Теория чисел

---

[polinapolin]

Добрый день
Подскажите, пожалуйста, что неправильно в решении

Среди покупателей магазина 60% женщин, 30% мужчин, 10% детей. Найти вероятность того, что среди 4 случайно выбранных покупателей найдется хотя бы один мужчина и хотя бы один ребенок

Мое решение:
`1-0,6^4-4*0,1*0,6^3-4*0,3*0,6^3`

Заранее благодарю!

@темы: Математическая статистика

---

Интегралы с параметром

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Не могу понять, как идет доказательство одной из теорем. Конкретно - т.2, гл. 14 "Интегралы, зависящие от параметра", параграф 1, пункт 508 "Интегрирование под знаком интеграла", теорема 4.
"Если функция `f(x, y)` непрерывна (по обеим переменным) в прямоугольнике `[a, b; c, d]`, то имеет место формула
`int_{c}^{d} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} dx int_{c}^{d} f(x, y) dy`"
Доказательство:
"Докажем более общее равенство
`int_{c}^{\eta} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} dx int_{c}^{\eta} f(x, y) dy`, `c <= \eta <= d`
Вычислим производные по `\eta`. Внешний интеграл имеет подинтегральную функцию `f(x, y)` непрерывную по `y`. Поэтому его производная, по переменному верхнему пределу, будет равна подинтегральной функции, вычисленной при `y = \eta`:
`int_{a}^{b} f(x, \eta) dx`... "
Вот тут я не понял, почему так? Если расписывать, то тогда получается
`D_{\eta} int_{c}^{\eta} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} f(x, \eta) dx`
Каким образом этот переход был осуществлен? Ну если чисто интуитивно рассуждать, что я не люблю, если мы находим производную, то один из внешних интегралов, в повторном интеграле, должен исчезать. Кроме того, если этот внешний интеграл был по `y`, то и `\eta` становится параметром вместо `y`. Но это все просто, как говорится, "разговоры на лавочке".

@темы: Математический анализ

---

Параллелепипед

[wpoms.]

Докажите, что не существует прямоугольный параллелепипед, у которого объем, площадь поверхности и периметр численно равны. Периметр прямоугольного параллелепипеда равен сумме длин всех двенадцати ребер.

@темы: Стереометрия

---

Иррациональный заяц

[MestnyBomzh]

Говорят, эту задачу решают еще в школах. Но я услышал её только недавно и так и не понял как её решать. Итак, есть тригонометрический круг . Заяц прыгает по окружности с целочисленной скоростью. Докажите, что он не окажется ни в какой точке более одного раза

@темы: Математический анализ

---

[polinapolin]

Добрый день,

Помогите, пожалуйста, вычислить такую сумму
`1/2*1+1/2^2*2+1/2^3*3+1/2^4*4+...`

Пыталась записать через предел, посчитать только первую сумму, а остальную устремить к нулю, но к ответу, полученному при помощи матлаб так и не пришла...

Заранее спасибо!

@темы: Математический анализ

---

Лемма Римана. Равномерная сходимость рядов Фурье

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Я почему-то вообще не могу понять доказательство из Фихтенгольца.
"Пусть f(x) определена и абсолютно интегрируема на `[A, B]`. Тогда пределы `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) sin(pt) dt` и `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) cos(pt) dt`
равномерно стремятся к нулю относительно переменных `a` и `b`, которые принимают произвольные значения в промежутке `[A, B]`"
"Доказательство. Достаточно рассмотреть первый из интегралов. Ввиду равномерной непрерывности функций
`int_{A}^{t} |g(t)| dt`
(тут не понял что это за вид интеграла такой. куда-то делся синус, и верхний предел теперь переменный...)
можно разбить по заданному `\epsilon > 0` промежуток `[A, B]` точками
`A = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_i < \tau_{i + 1} < \dots < \tau_n = B` (...и как это приводит сюда)
на столь мелки части, чтобы было
`int_{\tau_i}^{\tau_{i + 1}}|g(t)| dt < \epsilon`
Для интегралов вида
`int_{\tau_i}^{\tau_j}g(t)*sin(pt) dt` (1)
так как их конечное число можно установить общее `\Delta > 0`, такое, что для `p > \Delta` все они по абсолютной величине уже будут `< \epsilon`.
Но, как легко видеть (но я не вижу), интеграл
`int_a^b g(t) sin(pt) dt`,
каковы бы ни были `a` и `b`, разнится (при любом `p`) меньше, чем на `2\epsilon`, от одного из интегралов вида (1) (объясните, как это видно). Следовательно, при `p > \Delta` он независимо от `a` и `b` по абсолютной величине будет `< 3\epsilon`, что и требовалось доказать."
То есть в общем-то я не понял, зачем изначально такой интеграл рассматривается, без синуса. И все эти манипуляции с 2 и 3 эпсилон. Просто охота не тупо вызубрить и рассказать преподавателю. Охота понять действительно ли это так.
Пока что предположения такие. Рассматривается этот интеграл выше, так как просто тупо фиксируется нижняя граница, а верхняя, как и описано в теореме, может изменяться на `(A, B]`.

@темы: Математический анализ

---

Раскраска

[wpoms.]

Каждая диагональ правильного `2014`-тиугольника окрашена в один из `n` цветов. Любые две диагонали, пересекающиеся внутри многоугольника, окрашены в разные цвета. При каком минимальном значении `n` это возможно?

@темы: Комбинаторика

---

Примечание

[pemac]

Привет!
В этой книге нет ни одной иллюстрации. Очень трудно для понимания.
Архипов, Садовничий и др.: Лекции по математическому анализу.

От издателя
"Книга является учебником по курсу математического анализа, посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных и соответствует программе для высших учебных заведений, рекомендованной Министерством образования РФ. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова.
В учебнике предложен новый подход к изложению ряда понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.

Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики."

Так и должно быть????

@темы: Математический анализ

---

Углы и стороны

[wpoms.]

Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.

@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

---

Правила записи тензоров

[IWannaBeTheVeryBest]

Довольно часто натыкался на то, что при переходе от матричной записи к суммам, меняются местами множители. Вот один пример из тензоров
"Линейное преобразование пространства $L$ является тензором типа (1, 1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой $A' = S^{-1}AS$ :
`(\alpha_{j}^{i})' = \tau_{k}^{i}\sigma_{j}^{l}\alpha_{l}^{k}`"
(тау - компоненты матрицы `S^{-1}`, сигма - компоненты матрицы `S`)
Это схожий с суммами пример, так как, если не ошибаюсь, по одинаковым индексам ведется суммирование. То есть в данном случае по `k` и `l`. Ну `i` и `j` просто тут будут константами.
Меня интересует, почему не
`\tau_{k}^{i}\alpha_{l}^{k}\sigma_{j}^{l}`
? Ведь по-сути порядок матриц именно таков.
Есть какая-то принципиальная разница? Или просто в первом случае что-то вроде "правила хорошего тона". Просто наткнулся где-то в другом учебнике, что, вообще говоря, произведение тензоров не является коммутативным. В таком случае должна быть разница не только в записи.
Если брать другой пример, то, вроде как в скалярном произведении через матрицу Грама тоже такое есть. В матричной записи матрица Грама стоит между вектором-строчкой и вектором столбцом, а в "покомпонентной" записи, через сумму, компоненты матрицы Грама стоят в конце, а компоненты векторов - вначале.
Каким образом можно так свободно переходить от одной записи к другой? Надеюсь вы меня поняли))

@темы: Линейная алгебра

---

Простенькие программы для трехмерных рисунков

[Груша Вильямс]

Надо нарисовать несколько трёхмерных фигур. Они вроде бы простые в воображении, но как это всё реализовать не знаю.
Например, такая ситуация - сфера, через внутреннюю точку которой проходит двойной конус типа песочных часов, причем этот конус на поверхности сферы вырезает замкнутую кривую (вроде бы это окружность будет). И надо чтоб я мог оставить эту фигуру двойной конус + колпаки (ограничивающие поверхности-основания от сферы) либо оставить всю конструкцию, либо нарисовать ещё сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось + ко всему этому можно добавить ещё сечение проходящее через эту замкнутую кривую. То есть рисунок довольно крупный должен быть. Также хотелось бы чтобы на всём этом можно было отметить углы, стороны. Это вообще возможно довольно просто и быстро сделать? И в какой программе?

@темы: Стереометрия

---

Про перпендикуляры

[wpoms.]

Из внутренней точки `P` равностороннего треугольника `ABC` на стороны `BC`,`CA` и `AB` опустили перпендикуляры `PD`, `PE` и `PF` соответственно. Докажите что a) `AF + BD + CE = AE + BF + CD` и b) `[APF] + [BPD] + [CPE] = [APE] + [BPF] + [CPD]`. `[XYZ]` обозначает площадь треугольника `XYZ`.

@темы: Планиметрия

---

Сопряженное линейное пространство.

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Сейчас читаю раздел Линейной алгебры. Про сопряженное пространство. Определение такое
"Линейное пространство $L^*$ всех линейных функций на линейном пространстве `L` называется сопряженным для `L`."
Если я правильно понимаю, линейная функция ставит в соответствие вектору `x` пространства `L` некоторое число `f(x)` из поля `k`. Это получается отображение `f : L -> k`.
Но ведь множество "всех линейных функций" - это же просто множество чисел получается? То есть $L^*$ - просто поле `k`? Ну или скорее так - $L^*$ является подмножеством поля `k`.

@темы: Линейная алгебра

---

[wpoms]

ТУЙМААДА-2016 (15-22 июля, Якутск)

Старшая лига

Первый день

1. Последовательность `(a_n)` задана условиями `a_1=0`, `a_{n+1}={a_1+a_2+\dots+a_n\over n}+1.`
Докажите, что `a_{2016} > 1/2 + a_{1000}`.
%А. Голованов

2. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата `5 x 5`.
%А. Чухнов

3. Высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` остроугольного треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`.
Точки `A_0`, `B_0`, `C_0` -- середины сторон `BC`, `CA` и `AB` соответственно.
На отрезках `AH`, `BH` и `HC_1` отмечены точки `A_2`, `B_2`, `C_2` соответственно, такие что
`/_ A_0B_2A_2 = /_ B_0C_2B_2 = /_ C_0A_2C_2 =90^@`.
Докажите, что прямые `AC_2`, `BA_2` и `CB_2` пересекаются в одной точке.
%А. Пастор

4. При каждом натуральном `k` найдите число решений уравнения
`8^k = x^3+y^3+z^3-3xyz`
в неотрицательных целых числах `x`, `y`, `z`, причем `0 <= x <= y <= z`.
%В. Шевелёв

Второй день

5. Простые числа `p` и `q` отличаются не более чем в два раза.
Докажите, что найдутся такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен `p`, а у другого -- `q`.
%А. Голованов

6. Числа `a`, `b`, `c`, `d` таковы, что `0 < a <= b <= d <= c` и `a+c=b+d`.
Докажите, что для любой внутренней точки `P` отрезка длины `a` этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами `a`, `b`, `c`, `d`, вписанная окружность которого проходит через точку `P`.
%Л. Емельянов

7. Докажите, что при `x`, `y`, `z > 3/2` выполнено неравенство
`x^{24} + root 5 (y^{60}+z^{40}) >= (x^4 y^3 + 1/3 y^2 z^2 + 1/9 x^3 z^3 )^2`.
%К. Кохась

8. Дан связный граф. Докажите, что можно раскрасить все его вершины в синий и зелёный цвета и отметить в нём некоторые рёбра так, чтобы каждые две вершины были соединены путём из отмеченных рёбер, каждое отмеченное ребро соединяло вершины разных цветов и никакие две зелёные вершины не были соединены ребром исходного графа.
%В. Дольников

Младшая лига

Первый день

1. Перед Таней и Сережей лежит куча из 2016 конфет. Таня и Сережа делают ходы по очереди, начинает Таня. При своем ходе ребенок может съесть либо одну конфету, либо, если в куче в данный момент четное число конфет, ровно половину всей кучи. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?
%А. Голованов

2. На высоте `A A_1` остроугольного треугольника `ABC` отмечена точка `D` такая, что `/_ BDC=90^@`, и точка `H` - ортоцентр треугольника `ABC`. На отрезке `AH` как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из точки `B`, равна длине отрезка `BD`.
%Л. Емельянов

3. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырех направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в~направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата `5 x 5`.
%А. Чухнов

4. Неотрицательные числа `a`, `b` и `c` удовлетворяют условию `a^2+b^2+c^2 >= 3`. Докажите неравенство
`(a+b+c)^3 >= 9(ab+bc+ca)`.
%А. Храбров

Второй день

5. Во всех клетках таблицы `10 x 10` записаны положительные числа. На некоторых 5 клетках сидят лягушки, заслоняя числа в этих клетках. Костя посчитал сумму всех видимых чисел и получил `10`. Потом каждая лягушка перепрыгнула в соседнюю по стороне клетку, и Костя насчитал сумму `10^{2}`. Потом лягушки снова прыгнули, и у Кости получилась сумма `10^{3}`, и т.д. - каждая новая сумма оказывалась в 10 раз больше предыдущей.
Какую наибольшую сумму мог получить Костя?
%К. Кохась

6. Существует ли такое натуральное число, состоящее из нечётных цифр, причём цифр 1, 3, 5, 7, 9 в нём поровну, которое делится на любое 20-значное число, получаемое из него вычёркиванием цифр (ни вычеркиваемые, ни оставшиеся цифры не обязаны стоять подряд)?
%С. Берлов

7. Числа `a`, `b`, `c`, `d` таковы, что `0<a <= b <= d <= c` и `a+c=b+d`. Докажите, что для любой внутренней точки `P` отрезка длины `a` этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами `a`, `b`, `c`, `d`, вписанная окружность которого проходит через точку `P`.
%Л. Емельянов

8. На карте полетов авиакомпании `K_{r,r}` изображены несколько городов, некоторые пары городов связаны прямым (двусторонним) авиарейсом, причем всего имеется `m` авиарейсов.
Требуется выбрать две непересекающиеся группы по `r` городов в каждой такие, что каждый город одной группы связан авиарейсом с каждым из городов второй группы.
Докажите, что этот выбор можно осуществить не более чем `2 m^r` способами.
%D. Conlon

@темы: Олимпиадные задачи

---

[wpoms]

Очередная порция задач из Математики в школе. (vk.com/club1126038)

5463.
Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5464.
На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` выбраны точки `M` и `N,` соответственно. Известно, что `BM = BN` и `AO = OC,` где `O` --- точка пересечения отрезков `AN` и `CM.` Докажите, что треугольник `ABC` равнобедренный.
%Из задач олимпиады «Формула Единства/Третье Тысячелетие», 2015-2016

5465.
Существуют ли такие целые числа `m` и `n,` что:
а) уравнение `x^2 + mx + n = 0` не имеет корней, а уравнение `[x^2] + mx + n = 0` имеет?
б) уравнение `x^2 + mx + 2n = 0` не имеет корней, а уравнение `[x^2] + 2mх + n = 0` имеет?
(`[\alpha]` --- целая часть числа `\alpha.`)
%А.И. Храбров (С.-Петербург)

5466.
Пусть `l` --- общая внешняя касательная к окружностям `S_1` и `S_2,` касающимся друг друга внешним образом, а `C_1` --- окружность, вписанная в криволинейный треугольник, ограниченный `S_1,` `S_2` и `l.` Окружности `C_2,` ..., `C_n` построены так, что `C_{k+1}` касается внешним образом `S_1,` `S_2` и `C_k,` `k = 1, ..., п-1` (рис. 1).

Найдите отношение расстояния от центра окружности `C_n` до прямой `l` к радиусу этой окружности.
%А.Ю. Эвнин (Челябинск)

5467.
Имеется `n`-вершинный граф, про который мы должны выяснить, связный ли он. За один шаг можно про любую пару вершин узнать, соединены ли эти вершины ребром. Существует ли алгоритм, гарантирующий нам выполнение задачи быстрее, чем за `(n(n-1))/2` шагов?
%К.А. Кноп (С.-Петербург)

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Рассмотреть предельные случаи

[grandmix]

Всем привет! Давно не писал в сообщество, но недавно разбирали задачку с другом и получилось вот такое выражение.

` (elta \bar(R)^2 = 2\lambda|s|+2\lambda^2(e^(-(|s|)/(lambda))-1)`

нам необходимо рассмотреть 2 случая:

1) s много больше лямбды

2) лямбда много больше s

Мы решали просто : разложили экспоненту в ряд, и затем рассмотрели пределы. Но в итоге с ответом не сошлось. В ответе же функция на 1 случае линейна, а во 2ом перееходит в параболу. Кто нибудь может подсказать почему так?

Заранее спасибо !

@темы: Функции, Пределы

---

Мат. статистика. Байесовский подход

[FirstAID1]

Здравствуйте
Помогите, пожалуйста, решить задачу по мат.стату.
У меня есть монета.
Мне сказали, что монета неправильная и либо чаще выпадает решка ( H1: то есть p=0.75) , либо чаще выпадает орёл (H2: p=0.25). Я не знаю, какой из этих двух случаев верный, поэтому буду полагать априорным знанием, что p(H1)=p(H2)=0.5.
Эту монету бросили дважды и оба раза выпал орёл. Какова апостериорная вероятность того, что в следующий раз выпадет решка?
У меня получается ответ, которого нет в списке ответов.

Вот моё решение:

@темы: Математическая статистика

---

Планируем отдых

[wpoms.]

Исаак планирует девятидневные каникулы. Каждый день он собирается либо заниматься серфингом, либо кататься на водных лыжах, либо просто отдыхать. При этом в каждый из дней Исаак планирует заниматься чем-то одним. Он не планирует заниматься водными видами спорта два дня подряд. Какое количество расписаний каникул может составить Исаак?

@темы: Комбинаторика

---

[Дилетант]

С днем рождения, All_ex!

Счастья, здоровья, успехов, благополучия, хороших студентов!

Творческих успехов!

Чтобы работа приносила радость и дома было всё замечательно!

Мы Вас любим! )))

@темы: Праздники, Сообщество, Люди