Вписанная окружность прямоугольного треугольника $ABC$ касается гипотенузы $AB$ в точке $P,$ а катетов $AC$ и $BC$ --- в точках $Q$ и $R$ соответственно. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $PQ$ и $PR.$ Найдите градусную меру угла $C_1IC_2,$ где $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC.$ |  |
В клетки таблицы размера $2022 \times 2022$ записаны натуральные числа от 1 до $2022^2,$ в каждой клетке --- ровно одно число, все числа использованы по разу. Для каждой строки Влад выписал себе по одному числу, являющемуся вторым по убыванию в этой строке. А Дима проделал то же для каждого столбца. Оказалось, что мальчики выписали 4044 попарно различных числа и найдутся $k$ чисел, выписанных Владом, каждое из которых меньше любого числа, выписанного Димой. Найдите наибольшее возможное значение числа $k.$ | |
На плоскости даны три окружности $\omega_1,$ $\omega_2,$ и $\omega_3$ с центрами $O_1,$ $O_2,$ и $O_3$ соответственно, причём $\omega_1$ касается внешним образом $\omega_2$ и $\omega_3$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. На окружности $\omega_1$ выбирается произвольная точка $C.$ Прямая $CP$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $B,$ а прямая $CQ$ повторно пересекает $\omega_3$ в точке $A.$ Точка $O$ --- центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Докажите, что, если точка $C$ пробегает окружность $\omega_1,$ то геометрическое место точек $O$ --- окружность, центр которой лежит на описанной окружности треугольника $O_1O_2O_3.$ | |
На окружности отметили 2021 точку и провели 2021 отрезок с концами в отмеченных точках. После этого вычислили количество различных точек, в которых пересекаются проведённые отрезки (концы отрезков не считаются точками пересечения). Найдите наибольшее количество точек пересечения, которое могло получиться. | |
Через точку $F(1; 1)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Одна из прямых пересекает правую ветвь гиперболы $y = \frac{1}{2x}$ в точках $A$ и $C$ (у $C$ абсцисса больше, чем у $A$). А другая прямая пересекает левую ветвь этой гиперболы в точке $B,$ а правую --- в точке $D.$ Произведение проекций отрезков $AC$ и $BD$ на ось абсцисс равна $m.$ Найдите площадь невыпуклого четырёхугольника $ABCD.$ | |
| 1. Да | 7 | (87.5%) | |
| 2. Нет | 1 | (12.5%) | |
| Всего: | 8 | ||
Дана последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, ...,$ члены которой при каждом натуральном $i \ge 3$ удовлетворяют равенству \[ a_{i+1} = a_i + \text{НОД}(a_{i-1}, a_{i-2}). \] Докажите, что существуют такие натуральные числа $N$ и $M,$ для которых при всех $n \ge N$ верно равенство $a_{n+1} - a_n = M.$ | |
Дана последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ натуральных чисел. Для каждого $\ell$ от 1 до $n - 1$ нашли следующие наборы: $(\text{НОД}(a_1, a_{1+\ell}), \text{НОД}(a_2, a_{2+\ell}), ..., \text{НОД}(a_n, a_{n+\ell})),$ где все индексы берутся по модулю $n,$ т.е. если $s > n,$ то $a_s = a_{s-n}.$ Оказалось, что все найденные наборы состоят из одних и тех же $n$ попарно различных чисел и различаются, возможно, порядком их следования. Выясните, может ли $n$ быть равно а) 21; б) 2021. | |
Найдите все натуральные числа `a`, для которых найдётся многочлен `p(x)` с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам ` p(\sqrt2 + 1) = 2 - \sqrt2`, ` p(\sqrt2 + 2) = a.` | |
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $X$ и $Y.$ Через точку $Y$ проведены две прямые, одна из которых повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая --- в точках $C$ и $D$ соответственно. Прямая $AD$ повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $YP = YQ.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $BCY$ и $PQY$ касаются друг друга. | |
