Найдите все натуральные числа `a`, для которых найдётся многочлен `p(x)` с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам ` p(\sqrt2 + 1) = 2 - \sqrt2`, ` p(\sqrt2 + 2) = a.` |  |
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $X$ и $Y.$ Через точку $Y$ проведены две прямые, одна из которых повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая --- в точках $C$ и $D$ соответственно. Прямая $AD$ повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $YP = YQ.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $BCY$ и $PQY$ касаются друг друга. | |
Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-a,$ где $a$ --- натуральное число. Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно наибольшему чётному числу, а количество чётных --- наибольшему нечётному числу. а) Найдите наименьшее возможное значение $n$ при всех $a.$ б) Для каждого $a \ge 2$ найдите наибольшее возможное значение $n.$ | |
На полуокружности с диаметром $AB$ и центром $O$ отмечена точка $D.$ Точки $E$ и $F$ --- середины меньших дуг $AD$ и $BD$ соответственно. Оказалось, что прямая, соединяющая точки пересечения высот треугольников $ADF$ и $BDE,$ проходит через точку $O.$ Найдите градусную меру угла $AOD.$ | |
Через точку $F(0; \frac14)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие параболу $y = x^2$ в точках $A,$ $B,$ $C$ и $D$ (точки названы в порядке возрастания их абсцисс). Разность проекций отрезков $AD$ и $BC$ на ось абсцисс равна $m.$ Найдите площадь четырёхугольника $ABCD.$ | |
Дано натуральное число $n.$ На отрезке $[0, n]$ числовой прямой отметили $m$ различных отрезков с целочисленными концами. Оказалось, что среди этих отрезков нельзя выбрать несколько отрезков суммарной длины $n,$ объединение которых совпадало бы со всем отрезком $[0, n].$ (Два отрезка считаются различными, если у них не совпадают пары концов. Смещать отрезки запрещено.) Найдите максимально возможное значение числа $m.$ | |
Докажите, что для любого натурального числа все его натуральные делители можно расположить по кругу так, чтобы среди любых двух соседних делителей один делился на другой. | |
