Пусть $\mathbb{R}^+$ обозначает множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такие, что $f(x + f(y)) = yf(xy + 1),$ для всех $x, y > 0.$ |  |
Пусть $a$ и $b$ --- положительные целые взаимно простые числа. Положительное целое число $n$ назовём неподходящим, если его нельзя представить в виде $n = ax + by,$ где $x$ и $y$ --- неотрицательные целые числа. Докажите, что если число $n$ неподходящее и $n < \frac{ab}{6},$ то существует целое число $k \ge 2$ такое, что $kn$ является неподходящим. | |
Все точки сферы радиуса 4 окрашены в один из четырёх разных цветов. Докажите, что на сфере найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно $4\sqrt{3}$ или $2\sqrt{6}. Примечание: Под расстоянием между точками сферы в данном случае понимается длина соединяющего их отрезка. | |
Пусть $2n+1$ фишек, белых и черных, выложили в ряд ($n\ge 1$). Назовём фишку сбалансированной, если сумма количества белых фишек слева от неё и количества чёрных фишек справа от неё равна $n.$ Определите, является ли количество сбалансированных фишек чётным или нечётным. Ответ обоснуйте. | |
Найдите все положительные числа $x$ такие, что $2x+1$ является квадратом целого числа, а ни одно из чисел $2x+2,$ $2x+3,$ ..., $3x+2,$ таким квадратом не является. | |
Треугольник разделили на девять маленьких треугольников и написали в каждой из десяти вершин число 0. За один ход можно выбрать один из девяти треугольников и либо увеличить все числа в его вершинах на 1, либо уменьшить их на 1. На рисунке показана ситуация после возможного первого хода.  Число $n$ назовем доминантным, если возможно из начального положения, выполняя описанные ранее шаги, получить конфигурацию, в которой в вершинах написаны последовательные числа и большее из них равно $n.$ Найдите все доминантные числа. |  |
Сколькими способами можно покрасить клетки шахматной доски размером `m xx n,` так, что каждая клетка покрашена в один из четырёх цветов и в каждом квадрате `2xx2` есть клетки четырёх разных цветов? | |
Директор музея распорядился выставить около наиболее ценного экспоната постоянную охрану. Известно, что каждый стражник охраняет экспонат в течении 7 часов, после этого уходит и возвращается на службу в то же время, что и накануне, и снова 7 часов дежурит около экспоната и так далее. Стражник называется незаменимым, если какое-то время он охраняет экспонат один. Найдите все возможные значения количества стражников, если все они являются незаменимыми. | |
