Сумма положительных действительных чисел `a`, `b`, `c` и `d` равна `1`. Докажите, что `(a^2)/(a + b) + (b^2)/(b + c) + (c^2)/(c + d) + (d^2)/(d + a) >= 1/2`, и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `a = b = c = d = 1//4`. |  |
Пусть `x_1 x_2 cdots x_n` – выборка случайной величины X.
Является ли статистика `Z=1/2*x_1+1/(2n-2)*sum_(k=2)^n x_k` асимптотически несмещенной оценкой EX ?
Первый раз вижу такую задачу и понятия не имею, что такое асимптотически несмещенная оценка. Подскажите, как решать и может есть у вас пара подобных задач для тренировочки?
Функция `f : NN -> NN` (где `NN` обозначает множество натуральных чисел) удовлетворяет условиям (a) `f(a*b) = f (a)*f(b)` если наибольший общий делитель `a` и `b` равен `1`, (b) `f(p + q) = f(p) + f(q)` для всех простых чисел `p` и `q`. Докажите, что `f(2) = 2`, `f(3) = 3` и `f(1999) = 1999`. | |
Решите систему уравнений `{( y^2 = (x + 8)*(x^2 + 2) ), ( y^2 = (8 + 4*x)*y + 5*x^2 - 16*x - 16 ):}` | |
Три действительных числа `a`, `b`, `c` (`a < b < c`) являются членами арифметической прогрессии, если `c - b = b - a`. Последовательность `u_n`, `n = 0,1, 2, 3,...` задается так: `u_0 =0`, `u_1 = 1` и, для всех `n >= 1`, `u_{n+1}` равно наименьшему натуральному числу, удовлетворяющему условиям `u_{n+1} > u_n` и `{u_0, u_1,..., u_n, u_{n+1}}` не содержит трех элементов, являющихся членами арифметической прогрессии. Найдите `u_100`. | |
На мой взгляд, математику, в той степени, в которой он математик, нет нужды заниматься философией — более того, этого мнения придерживаются и многие философы. Анри Лебег. Scientific American 211 (September 1964) |
