[_ТошА_]

Попалась сегодня интересная задачка, и сразу как-то не поддалась. Может вы что скажете?
Существуют ли такие `m, n, u, v in ZZ`, что `m*n = 2010!` и `m*u^2 - n*v^2 = 2011`?

@темы: Теория чисел

---

Задачка по топологии

[gevorg]

Доброго времени суток . Возможно вопрос покажется очевидным , но тем не менее нужно решить вот такую задачу : дано множество вещественных чисел R с такой топологией:
интервалы вида (x;+infinity) . Вопрос : является ли R компактом в такой топологии ?
Вот что я смог сообразить по этому поводу :
любой интервал вида (x;+infinity) можно представить в виде объединения по всем натуральным n интервалов (x;x+n) . Это покрытие , по идее , не допускает конечного подпокрытия . Значит , и все R не допускает конечного подпокрытия , следовательно R не компакт .
Я прав или все-таки где-то ошибаюсь ? Если кто знает , как правильно , поделитесь , пожалуйста , своими знаниями )

@темы: Аналитическая геометрия, Высшая геометрия

---

помогите, пожалуйста, нужно очень срочно

[kimbessendzher]

1) cos (45+а)

2) sin^2 2(п+1) + cos^2 2(п-1)

3) sin(п+1) = -sin1 ?? если да, то почему?

пожалуйста помогите

@темы: Тригонометрия

---

Здравствуйте ) Помогите пожалуйста с задачами по геометрии)

[Luba_tender]

1. стороны АВ,ВС,СD вписанного четырёхугольника АВСD стягивают дуги,градусные меры которых относятся как 4:7:5.Найдите углы четырёхугольника,если сторона AD стягивает дугу в 40 градусов

2. Разность между медианой и высотой,проведенными к гипотенузе прямоугольного треугольника,равно 1см. Основание данной высоты отстоит от центра окружности,описанной около треугольника, на 7 см.Найдите периметр треугольника


Заранее спасибо!

@темы: Планиметрия

---

[Haou Airen]

Какой угол образуют одинаковой длины вектооры a и b, если известно, что векторы s=a=2b и q=5a-4b взаимно-перпендикулярны?

@темы: Векторная алгебра

---

200 лет со дня рождения Эвариста Галуа

[Felix_Holt]

Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и Гаусс. Но бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения математиков. Эварист Галуа (1811—1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса

Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.

Здесь ему впервые улыбается счастье — он встречает учителя, который смог оценить его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара о Эваристе просты: «Он работает лишь в высших областях математики».

И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты. В 1829 году была опубликована его заметка «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.

Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.

В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на «конкурс Парижской академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии — Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.

В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к республиканцам, вступил в «Общество друзей народа» и записался в артиллерию Национальной гвардии. За выступление против руководства его исключили из Нормальной школы.

14 июля 1831 года, в ознаменование очередной годовщины взятия Бастилии, состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала многих манифестантов, среди них был и Галуа. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 года. Его осудили на 9 месяцев заключения. Галуа продолжал свои исследования и в тюрьме.

Утром 30 мая 1832 года на дуэли в местечке Шантийи Галуа был смертельно ранен пулей в живот. Через день он скончался.

Математические работы Галуа, по крайней мере, те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.

В 1832 году Галуа, сидя в тюрьме, составляет программу, которую опубликовали лишь спустя семьдесят лет после его смерти. Но и в начале двадцатого века она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только математики нового времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа.

«Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц», — так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Однако идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.

«…Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам, — вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.

Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций».

Здесь надо обязательно обратить внимание на слова «сгруппировать математические операции». Галуа, несомненно, подразумевает под этим теорию групп.

В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию «установлением определенного остова понятий». Но какое бы название за ней не укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.

«В математике, как в любой другой науке, — писал Галуа, — есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания».

Одна из проблем, над которой работал Эварист Галуа, — решение алгебраических уравнений. Что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за признак?

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

«Группа, — пишет А. Дальма, — это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве «предметов» могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве «предметов» выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, — все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе».

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп — это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики — появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.
- фрагмент конного портрета Галуа работы  Aihito

@темы: История математики, Люди, Новости

---

Прогрессия

[yonkis]

Найти арифметическую прогрессию, если сумма её `n` членов равна `2n^2-3n`

@темы: Прогрессии

---

[lipa.ff]

Подскажите пожалуйста, как построить точку М (4;-Пи)
получилось,что х=-4, а как найти У

@темы: Линии в полярной системе координат

---

То ли условие неправильное, то ли я.... плохо соображаю.

[DrCooper]

Дорогие друзья, помогите составить каноническое уравнение параболы, которая симметрична y=3 и проходящая через точки пересечения прямой x+y=0 с кривой x^2+y^2+8y=0.

1) Всё делаю по правилам : находим точки пересечения, через уравнения, получаем М1 (0;0) и М2 (4;-4).
2) Уравнение параболы вида : (y-3)^2=2px
3) Подставляем M2 : имеем (-4-3)^2=2*4p имеем p=49/8
4) Уравнение параболы имеет вид (y-3)^2=49x/4

Теперь вопрос - почему точка M1 не принадлежит параболе? Да она в принципе и не может ей принадлежать, если у параболы вершина в X=0 и точка с координатой X=0.

Тогда как составить уравнение этой параболы правильно? Получается её вершина смещается по X влево...

Непонятно....

@темы: Аналитическая геометрия

---

[olka3]

А можете ещё с вот этим заданием помочь? Я вроде сделала но чувствую что совсем не правильно....
Найдите длину вектора |a ⃗ |, если |b ⃗ |=5, |a ⃗+b ⃗ |=6, |a ⃗-b ⃗ |=8
ответы:
1) 6
2) 7
3) 4
4) 5
Заранее огромное спасибо!

@темы: Векторная алгебра

---

[Haou Airen]

Помогите пожалуйста с вышкой. Засела на задаче не представляю даже что с ней делать.

В четырехугольникe ABCD AB=m, BC=n, CD=p. Найдите разложение вектора EF, где E и F - середины диагоналей AC и BD по векторам m, n, p.

@темы: Векторная алгебра

---

Линейная Алгебра 1 курс

[4eJIoBeK]

Помогите пожалуйста с решением, не знаю с какой стороны к заданию подстапиться даже.

Х - множество, G = (G , o) группа. Операция с G на Х это отображение G x X -> X, (g,x) -> g*x со следующими свойствами:
Для всех х принадлежащих Х и всех g,h принадлежащих G выполняется: e*x=x и g*(h*x)=(g o h)*x

Показать:
а) если p: G -> P(Перестановка)(X), g -> p(g) это групповой гомоморфизм, тогда операция из G на Х определена через g*x:=p(x)

б) Между Hom(G,P(X)) и множеством операций из G на Х мы получаем биективность.

в) Пусть операция из G на Х фиксирована. Определим x из Х, так что х образуют путь(множ-во, линию), при G * x:={g*x | g из G}. Показать что Х это дизъюнктное объединение всех путей(множ-в, линий).

Спасибо.

@темы: Теория групп

---

[olka3]

Помогите пожалуйста с этим заданием у меня почему то не получается(((.
Найдите угол между прямыми AB и CD, если заданы координаты точек А(-2;4;1), В(3;2;8), С(2;2;0), D(4;7;5)
Ответы:
1) 60 градусов
2) 30 градусов
3) 90 градусов
4) 45 градусов

@темы: Векторная алгебра

---

[lipa.ff]

Надо найти длинну вектора АВ А(-3;-2) В (о;3)
Нашла ,что длинной вектора называют длину соответствующего направленного отрезка т.е

длинна вектора АВ= корень квадратный из (х2-х1)^2+(у2-у1)^2

но из всего этого получается корень из 34 -какой-то некрасивый ответ, может я все неправельно сделала, и кстате координаты Вектора АВ(-3;3) ??? или я вообще полная дура? вы скажите я не обижусь.

@темы: Векторная алгебра

---

Здравствуйте, очень рассчитываю на вашу помощь!

[K40]

2sin x - 4cos x - tg x = ctg x - 2cos x*ctg x - 2

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

Помогите пожалуйста решить задания по векторной алгебре

[AdamSmith]

№1. Даны вершины треугольника А(1;3), B(5;1), C(-3;-1)
Найти уравнение средней линии треугольника (MN // BC) и расстояние от вершины A до этой линии MN.

№2. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(1;2), B(-4;3), C(5;-2)
Требуется:
1) вычислить сторону BC
2) составить уравнение стороны BC;
3) найти внутренний угол треугольника при вершине B
4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;
5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его меридиан)
6) сделать чертеж в системе координат

№3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку Р(3;-1;3) параллельно вектору a = 2i + j - k

№4. Найти координаты точек - вершин пирамиды ABCD: A(1;1;0), B(2;0;3), C(0;-1;2), D(2,3,0)
Требуется:
1) Вычислить длину ребра АВ
2) Найти уравнение плоскости грани
3) Найти угол а (альфа) между гранями АВС и ВСD

Ребят, подскажите пожалуйста!

@темы: Аналитическая геометрия

---

Помогите найти пределы, вообще не шарю

[skylark36484]

1) X стремится к бесконечности
(x^3+1)/(2*x^2+3*x+3)
2) X стремится к бесконечности
(tg*2*x)/x
3) Х стремится к бесконечности
((x+1)^x)/(x-1)
Очень прошу, завтра сдавать контрольную!

@темы: Пределы

---

построить плоскость в декартовой прямоугольной системе координат

[Norrell]

построить плоскость в декартовой прямоугольной системе координат

по заданным уравнениям
3х-4у+5z+16=0
2x-3y+6z=0
x+z-7=0
3x-5y=0
2x-5=0

заранее спасибо

это 5 разных графиков .

@темы: Аналитическая геометрия, Высшая алгебра, Высшая геометрия

---

Не прошу решить, прошу просто натолкнуть на решение.

[yoggik_wow]

1)Даны уравнения сторон треугольника 3х+у-3=0, 3х+4у=0 и уравнение х-у+5=0 биссектрисы одного из внутренних углов этого треугольника. Составить уравнение третьей стороны.

2)Найти общие касательные к двум окружностям, центры которых находятся в точках (1,1) и (2,3), а радиусы соответственно равны 2 и 4.

3)Найти центр С и радиус r круга, вписанного в треугольник со сторонами х+у+12=0, 7х+у=0, 7х-у+28=0

4)Составить уравнение биссектрисы острого угла между двумя прямыми х-3у=0, 3х-у+5=0

@темы: Аналитическая геометрия

---

помогите пожалуйста очень срочно мне завтра сдавать

[Norrell]

я сама не одупляю уже вызубрила методичку и ни хрена понять не могу .
уравнения кривых в полярных координатах
подробно надо решить :p=2(1-sina) p=-3cosa p=-5sin2a

потом не получается кривая второго порядка у=-\/1-х
\/-эт типо корень

потом надо определить вид кривых и построить их в декартовой прямоугольной системе координат
х=2cos^3t
y=4sin^3t объединенные фигурной скобкой

х=2сost
y=5sint объединенные фигурной скобкой

надо не просто их решить еще и графики ко всем. я проболела 2 недели и пропустила много . помогите пожалуйста . очень прошу

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка, Линии в полярной системе координат