Южно-южно-американская математическая олимпиада

[wpoms.]

Южно-южно-американская математическая олимпиада

С 1989 года проводится олимпиада стран южной части Южной Америки (Олимпиада стран Южного Конуса - Olimpíada Matemática de Países del Cono Sur). В олимпиаде принимают участие сборные Аргентины, Боливии, Бразилии, Чили, Эквадора, Парагвая, Перу и Уругвая.
В состав сборной каждой страны входят не более четырёх участников и двух сопровождающих. Для решения предлагаются 6 задач, по три задачи в день.

1. Сайт олимпиады 2017 года
2. Задачи олимпиады на портале artofproblemsolving.com

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Задачи олимпиады-2016 1. Пусть $abcd$ обозначает одно из 9999 чисел $0001,$ $0002,$ $0003,$ \ldots, $9998,$ $9999$. Назовем число $abcd$ \textit{специальным}, если $ab-cd$ и $ab+cd$ являются квадратами целых чисел, $ab-cd$ делит $ab+cd$ и $ab+cd$ делит $abcd$. Например, $2016$ --- специальное число. Найдите все специальные $abcd$ числа. 2. Для всех $k=1,2,\ldots$ пусть $s_k$ обозначает количество решений $(x,y)$ уравнения $kx + (k+1)y = 1001-k,$ где $x,y$ --- неотрицательные целые числа. Вычислите $s_1+s_2+\ldots + s_{200}$. 3. На окружности отметили 2016 позиций и в одну из них поставили фишку. За один ход можно передвинуть фишку либо на соседнюю позицию, либо на четвертую от текущего положения при движении по часовой стрелке. Фишка не может занимать одну и ту же позицию более одного раза. Игроки $A$ и $B$, меняясь, делают ходы. $A$ ходит первым. Игрок, который не может сделать очередной ход, проигрывает. Определите, у кого из игроков есть выигрышная стратегия. 4. Пусть $S(n)$ обозначает сумму цифр положительного целого числа $n$. Найдите все $n$ такие, что $S(n) (S(n)-1) = n-1$.} 5. Пусть треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и соответственно $BC$, при этом $AD = DE = EC$. Пусть точка $X$ принадлежит биссектрисам углов $ADE$ и $DEC$. Пусть $X \neq O.$ Докажите, что прямые $OX$ и $DE$ перпендикулярны. 6. Назовем три различных целых числа \textit{дружественными}, если одно из них делит произведение двух других. Пусть $n$ обозначает целое положительное число. a) Докажите, что не существует трёх дружественных чисел в интервале $(n^2, n^2+n)$. b) Определите, найдутся ли для всех $n$ три дружественных числа в интервале $(n^2, n^2+n+3\sqrt{n})$.