Олимпиада стран Центральной Америки и Карибского моря

[wpoms.]

Олимпиада стран Центральной Америки и Карибского моря

С 1999 года проводится олимпиада стран Центральной Америки и Карибского моря (Olimpiada Matemática Centroamérica y el Caribe). В состав сборной каждой страны входят не более трёх участников и двух сопровождающих. Для решения предлагаются 6 задач, по три задачи в день. В олимпиаде 2017 года приняли участие сборные Колумбии, Коста-Рики, Кубы, Сальвадора, Гватемалы, Гаити, Гондураса, Ямайки, Мексики, Никарагуа, Панамы, Пуэрто-Рико, Доминиканы, Венесуэлы.

1. Сайт олимпиады 2017 года
2. Задачи олимпиады на портале artofproblemsolving.com

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Задачи олимпиады-2017 1. Показанная на рисунке фигура образована маленькими равносторонними треугольниками. Габриэль и Арнольд делают ходы играя в следующую игру. Во время своего хода игрок окрашивает один отрезков, включая его концы, соблюдая правила: (i) Концы отрезка должны совпадать с вершинами некоторого треугольника. (ii) Отрезок должен быть образован одной или несколькими сторонами треугольников. (iii) Орезок не может иметь общих точек с ранее окрашенными отрезками, включая их концы. Первый игрок, который не может сделать очередной ход, проигрывает. Пусть Габриэль ходит первым. Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, и опишите её. 2. Пара $(a, b)$ положительных целых чисел, $a < 391,$ называется \textit{pupusa}, если $\text{НОК}(a, b) > \text{НОК}(a, 391).$ Найдите наименьшее $b$ среди всех возможных pupusa пар $(a, b).$ 3. Дан треугольник $ABC.$ Пусть $D$ будет основанием высоты, проведенной из $A,$ а $\ell$ --- прямой, проходящей через середины $AC$ и $BC.$ Пусть $E$ будет симметрична точке $D$ относительно $\ell.$ Покажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на прямой $AE.$ 4. Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $B.$ Пусть $B'$ будет симметрична $B$ относительно прямой $AC,$ а $M$ --- середина $AC.$ На продолжении отрезка $BM$ за точку $M$ выбрана точка $D$ такая, что $BD = AC.$ Покажите, что $B'C$ является биссектрисой $\angle MB'D.$ 5. Сьюзан и Бренда играют в игру, выписывая многочлены, ходят они по очереди, игру начинает Сьюзан. -- В начале (0-й ход) Сьюзан выбирает положительное целое число $n_0$ и пишет многочлен $P_0(x) = n_0.$ -- На 1-м ходе Бренда выбирает положительное целое число $n_1,$ отличное от $n_0$ и пишет $P_1(x) = n_1x - P_0(x)$ или $P_1(x) = n_1x + P_0(x).$ -- На $k$-м ходе соответствующий игрок выбирает положительное целое число $n_k,$ отличное от $n_0, n_1, \ldots, n_{k-1},$ и пишет $P_k(x) = n_kx^k - P_{k-1}(x)$ или $P_k(x) = n_kx^k + P_{k-1}(x).$ Выигрывает тот игрок, который первым напишет многочлен имеющий целый корень. Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, и опишите её. 6. Пусть $k$ будет целым числом большим 1. Сначала лягушонок Тита сидит в точке $k$ на числовой прямой. В некоторый момент, если Тита сидит в точке $n,$ то она прыгает в точку $f(n)+g(n),$ где $f(n)$ и $g(n)$ --- наибольший и наименьший простые делители (оба положительные) $n,$ соответственно. Найдите все значения $k,$ при которых Тита сможет посетить бесконечно много различных точек на числовой прямой.