[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Санкт-Петербург Санкт-Петербургская олимпиада по математике Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

6 класс

1. Разрежьте клетчатый прямоугольник размерами 9 × 10 клеток на несколько квадратов так, чтобы среди них было ровно два квадрата с нечетной стороной. Разрезы должны идти по сторонам клеток.

2. Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?

3. В ящике у Гарри Поттера 20 шариков — красных, белых и зеленых. Три из них — волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех). Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше, чем белых, а белых больше, чем зеленых. Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз? Не забудьте обосновать свой ответ.

4. Джентльмены всегда говорят правду знакомым и лгут незнакомым. Собрались как-то 50 джентльменов и каждый сказал каждому из остальных какую-то из фраз: У меня чётное число знакомых в этой компании или У меня нечётное число знакомых в этой компании. Может ли так быть, что первая фраза была произнесена ровно 2013 раз?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Закрасьте несколько клеток таблицы 6 × 6 так, чтобы в каждой строке было ровно три закрашенных клетки, а в каждом столбце либо одна, либо четыре.

2. Дана дробь 2/3. За одну операцию можно либо прибавить 2013 к числителю имеющийся дроби, либо прибавить 2014 к знаменателю, либо сократить дробь на общий делитель числителя и знаменателя. Можно ли такими операциями получить дробь 3/5?

3. В ящике у Гарри Поттера 100 шариков  красных, белых и зеленых. Три из них  волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех). Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых, а белых больше, чем зеленых. Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз?

4. Клетчатый прямоугольник размерами 19 × 20 клеток разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по сторонам клеток). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться среди них?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?

2. Клетчатый прямоугольник 629×630 разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться в таком разбиении? Не забудьте объяснить, почему в разбиении не может получиться меньшее число квадратов с нечетной стороной.

3. Сумасшедший конструктор создал часы с 150 стрелками. Первая стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в час, . . . , 150-я стрелка делает 150 оборотов в час. Часы запустили из положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе работы часов встречаются две или более стрелки, эти стрелки немедленно отваливаются. Через какое время после запуска отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 74 оборота в час?

4. На выборах в Солнечном Городе можно было проголосовать за Винтика, Шпунтика или Кнопочку. После оглашения результатов оказалось, что все кандидаты набрали в сумме 146% голосов. Считавший голоса Незнайка объяснил, что по ошибке подсчитал процент голосов за Винтика не от общего числа проголосовавших, а лишь от числа голосовавших за Винтика или Шпунтика (остальные проценты он подсчитал правильно). Известно, что за Шпунтика проголосовало больше 1 000 избирателей. Докажите, что Винтик набрал больше 850 голосов.

5. Диагонали AD и BE выпуклого пятиугольника ABCDE пересекаются в точке P. Известно, что AC = CE = AE, /_APB = /_ACE и AB + BC = CD + DE. Докажите, что AD = BE.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. В ящике у Васи 400 шариков  красных, белых и зеленых. Три из них  волшебные и могут в любой момент поменять цвет на любой из трех перечисленных выше. Вася заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых, а белых больше, чем зеленых. Через минуту Вася еще раз заглянул в ящик и оказалось, что теперь красных шариков меньше чем белых, а белых меньше, чем зеленых. Сколько белых шариков он увидел в первый раз?

2. Даны числа a1, . . . , a10. Известно, что у каждого из десяти квадратных трехчленов
`x^2 - a_1x + a_2`, `x^2 - a_2x + a_3`, ..., `x^2 - a_9x + a_10`, `x^2 - a_10x + a_1`
не больше одного корня. Докажите, что все числа ai не превосходят 4.

3. Клетчатый прямоугольник 2013×2014 разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться среди них?

4. Дан вписанный пятиугольник ABCDE. Известно, что AC = CD. Докажите, что если ABCE - трапеция, то и BCDE - трапеция или прямоугольник.

5. Квадрат натурального числа даёт при делении на n остаток 8, а куб того же числа даёт при делении на n остаток 25. Чему может быть равно n?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. В ящике у Васи 100 шариков  красных, белых и зеленых. Три из них  волшебные и могут в любой момент поменять цвет на любой из трех перечисленных выше. Вася заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых, а белых больше, чем зеленых. Через минуту Вася еще раз заглянул в ящик и оказалось, что теперь красных шариков меньше чем белых, а белых меньше, чем зеленых. Сколько белых шариков он увидел в первый раз?

2. Натуральные числа от 1 до 2014 выписаны по кругу в некотором порядке. Отличница Маша вычислила наибольшие общие делители у всех пар стоящих рядом чисел и заявила, что среди полученных НОДов ровно 1007 четных. Докажите, что она ошиблась.

3. Дан квадратный трехчлен `x^2-ax+b`, имеющий два ненулевых корня. Известно, что |b+1| < a, и один из его корней по модулю меньше 1. Докажите, что другой корень по модулю больше 1.

4. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, для которой AC = CD. На дуге BC описанной окружности треугольника BCD (не содержащей точки D) выбрана точка E, для которой /_ACB = /_ABE. На продолжении отрезка BC за точку C отмечена точка F, такая что CE = CF. Докажите, что AB = AF.

5. Клетчатый прямоугольник n × (n + 3), где n > 10, разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться в таком разбиении? (Ответ может зависеть от n.)

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Двоечнику Косте накануне ЕГЭ приснилось правило:
`lg (a/b) = (lg a)/(lg b)`.
При каких a > 1 это правило не работает ни при каком положительном b?

2. Саша отметил несколько клеток таблицы 8 × 13 так, что в любом квадратике 2×2 оказалось нечетное число отмеченных клеток. Затем он отметил еще несколько клеток, в результате чего в каждом квадрате 2×2 стало четное число отмеченных клеток. Какое наименьшее суммарное число клеток могло быть отмечено Сашей?

3. Дан квадратный трехчлен `f(x)`, старший коэффициент которого равен `−1`. Известно, что существует такая пара различных чисел `u` и `v`, что `f(u) = −v^2` и `f(v) = −u^2`. Докажите, что существует бесконечно много пар чисел с таким свойством.

4. Все грани тетраэдра `ABCD`  остроугольные треугольники. Точка `I`  центр его вписанной сферы, а точка `O`  центр описанной сферы. Известно, что `I` лежит в плоскости `ABO`. Кроме того, известно, что `/_ABC = 50^@` и `/_BAC = 60^@`. Найдите угол `ADB`.

5. Докажите, что для всех натуральных m и n выполнено неравенство
`[n*sqrt(2) ] * [m*sqrt(7)] < [mn*sqrt(14)].
Квадратные скобки обозначают целую часть числа.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

[Гость]

[Гость]

Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2015 года
gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=441CBF81EEFCC...

Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2016 года
gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E68B11241EF9B...

Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2017 года
olimpiada.ru/activity/246/tasks/2017?class=11&y...

[wpoms.]

2018

Решения: olimpiada.ru/activity/246/tasks/2018?class=11&y...

[Гость]

Пишет Гость:

27.11.2019 в 09:24

Разбор задач муниципального этапа этого года.

drive.google.com/file/d/1kWeGpO32QpTAmztAppjFrq...

URL комментария

[Гость]

Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2018 года
libgen.st/book/index.php?md5=2C64801F2E32566C64...

Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2019 года
libgen.st/book/index.php?md5=C88AF035B245D44D01...

Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2020 года
libgen.st/book/index.php?md5=019B43E4419E170CBC...