Планиметрия

[wpoms.]

Дан треугольник `ABC`. Точки `D, E, F` - середины сторон `BC`, `CA`, `AB`, соответственно. Докажите, что `/_DAC = /_ABE` тогда и только тогда, когда `/_AFC = /_ADB`.

@темы: Планиметрия

Comments

[Гость]

Указание к решению задачи:

Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма `AB_1CB`. Пусть `M` – точка пересечения медиан треугольника `ABC`. При гомотетии с центром `M` и коэффициентом `k=-3` четырёхугольник `DMFB` перейдёт в четырёхугольник `AMCB_1`.
Отсюда следует, что четырёхугольник `DMFB` является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда четырёхугольник `AMCB_1` является вписанным в окружность.
Далее воспользуйтесь признаками четырёхугольника, вписанного в окружность.

[Гость]

Перепутал. Коэффициент гомотетии `k=-2`.

[~ghost]

wpoms., и Гость, - и за задачу, и за решение )

пыталась придумать еще какое-нибудь "другое решение" - и так и не получилось