Шведские математические соревнования

[mpl]

Шведские математические соревнования
www.mattetavling.se/

Шведские математические соревнования проводятся с 1961 года. Сейчас соревнование проводится в два раунда, в каждый из них предлагают решить шесть задач. Первый раунд проводится в сентябре, второй - в ноябре.

В комментариях условия 2011 года

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[mpl]

SKOLORNAS MATEMATIKTAVLING
Svenska matematikersamfundet
Kvalificeringstavling den 27 september 2011

1. Средневековый город окружен высокой стеной. Стена состоит из прямых участков соединенных под прямым углом. Верхняя часть стены регулярно патрулируется стражниками, которые ходят по непересекающемуся маршруту. Стражник начинает и заканчивает обход городских стен в одной и той же точке, находящейся в середине прямого участка стены, обходя город по часовой стрелке он поворачивает направо 30 раз. Сколько раз он поворачивает налево?

2. В средней школе учатся 1300 учеников. Некоторые школьники поют в школьном хоре, некоторые занимаются спортом. Четвертая часть спортсменов поет в хоре. Доля спортсменов среди певцов в четыре раза больше чем доля спортсменов среди тех, кто не поет в хоре. Сколько школьников поют в хоре?

3. Найдите все действительные решения системы

`{(x+y-z=2),(x^2+y^2-z^2=0),(xyz=60):}`

4. В четырехугольнике ABCD |AC| = 2|BC|, /_ABD = /_DBC = /_DAC, /_ADC = 90^@. Найдите величины углов четырехугольника.

5. Назовем семьей натурального числа N все числа полученные перестановкой цифр числа N, за исключением тех, первой цифрой которых является ноль. (Например, {101, 110} - семья числа 101.) Скажем, что натуральное число p нравится семье числа N, если N или любой другой член семьи делится на p. (Семье {101, 110} нравятся числа 1,2,5,10,11,22,55,101,110.) Найдите все трехзначные числа семьям которых нравятся все нечетные натуральные числа меньшие 12.

6. Можно ли разделить множество натуральных чисел на два бесконечных непересекающихся подмножества A и B таких, что сумма любых 2011 различных чисел из A принадлежит A и сумма любых 2011 различных чисел из B принадлежит B? Каким будет ответ, если в вопросе заменить 2011 на 2012?

[mpl]

SKOLORNAS MATEMATIKTAVLING
Svenska matematikersamfundet
Finaltavling i Linkoping den 19 november 2011

1. Найдите все натуральные решения уравнения

`1/(k!)+1/(l!)+1/(m!)=1/(n!)`.

2. Дан треугольник ABC и точка P внутри его, |BP| > |AP|, |BP| > |CP|. Докажите, что /_ABC < 90^@.

3. Найдите все положительные действительные числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению

`x - 1/y^2 = y - 1/z^2 = z - 1/x^2`.

4. Города A, B и C соединены телекоммуникационными кабелями. Сообщение отправленное из A в B может быть доставлено по кабелю соединяющему A и B или через C. Между A и B существуют 43 линии связи (включая идущие через C), между B и C - 29 линий (включая те, которые проходят через A). Сколько линий соединяют A и C (включая те, которые проходят через B)?

5. Arne и Bertil играют в игру на шахматной доске 11 × 11 клеток. Arne ходит первым, его фишка находится в центре доски и каждым своим ходом он может перемещать ее на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Bertil каждым своим ходом ставит свою очередную фишку на краю доски, строя стены, которые мешают Arne сбежать. Arne не может перепрыгнуть через стену. Arne выигрывает, если ему удается сбежать с доски, Bertil - если ему удается предотвратить побег Arne. Кто из них выигрывает, если в начале игры на доске находится только фишка Arne и каждый из них играет оптимально?

6. Найдите количество функций f, определенных на множестве неотрицательных целых чисел и принимающих неотрицательные целые значения, удовлетворяющие условиям f(0) = 2011, f (1) = 111,

f (max {x + y + 2, xy}) = min {f (x + y), f (xy + 2)},

для всех неотрицательных целых x, y.

[All_ex]

Замечательный ролик... Надеюсь нас такое не ждёт...

[к.черный]

Спасибо!
Сюжет о шведском образовании понравился

Сколько школьников поют в хоре?

100?

[VEk]

Спасибо!

[mpl]

100?

Да

Удаляя оригинальный текст удалил и ссылку в первом сообщении (

[molostov92]

Мда... будем думать что нам это не грозит...

[wpoms.]

2016/17, final

1. В саду имеется изображенный на рисунке L-образный участок забора. Дополнительно у хозяина есть для прямых фрагмента забора длиной 13 и 14 метров. Он хочет отгородить со всех сторон участок сада, начиная от точки A, площадью не менее `200 m^2`. Сможет ли он это сделать?

обсуждение

2. Проверьте выполнение неравенства `|sqrt(x^2 + 2x + 5) - sqrt(x^2 - 4x + 8)| < 3` для всех действительных значений $x.$
обсуждение

3. Трапеция $ABCD$ с `AB||CD` вписана в окружность радиуса $R,$ центр которой лежит на $AB.$ Точка $E$ выбрана на описанной окружности так, что $\angle DAE = 90^\circ.$ Известно, что `(AE)/(AB) = 3/4.` Найдите длины сторон трапеции.
обсуждение

4. Для каких простых чисел $p$ число $p+1$ равно произведению всех простых чисел меньших $p?$
обсуждение

5. Питер решил разработать новую таблицу умножения для чисел 1, 2, 3, 4 так, чтобы произведение любых двух из них было также одним из них. Так же он хочет, чтобы выполнялось `(a * b) * c = a * (b * c)` и чтобы `ab != ac` и `ba != ca` если `b != c.` У него все получилось. В этой новой таблице `1 * 3 = 2` и `2 * 2 = 4.` Чему равно `3 * 1` согласно таблице Питера?
обсуждение

6. Имеется доска $13 \times 13$ клеток, каждая клетка которой окрашена в чёрный или нечёрный цвет. За один ход можно выбрать квадрат размером $2 \times 2$ или $9 \times 9$ клеток и сделать в нём все чёрные клетки нечёрными и все нечёрные клетки чёрными.
Всегда ли возможно с помощью некоторой последовательности таких операций сделать так, чтобы все клетки доски стали чёрными?
обсуждение