[Дилетант]

Математические соревнования в Германии

DeMO (Deutsche Mathematik-Olympiade / German Math Olympiad, www.mathematik-olympiaden.de)
BWM (Bundeswettbewerb Mathematik / Federal Math Competition, www.bundeswettbewerb-mathematik.de)

Математические соревнования в Германии проводились раздельно до объединения страны в 1989 году. Соревнования проводившиеся в Восточной Германии сейчас известны под именем Немецкая национальная математическая олимпиада. В Западной Германии основным соревнованием было Федеральное состязание (Bundeswettbewerb Mathematik, также известное как Западногерманская математическая олимпиада). Эти соревнования проводятся в объединенной Германии и в наше время. Национальная олимпиада проводится в 4 раунда, в финале участникам предлагают решить 6 заданий. Федеральное состязание проводится в три раунда.



В комментариях некоторые задачи олимпиад 2011-2012 годов.

Спасибо mpl за поиск информации, подбор задач и перевод значительной части условий))

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

Comments

[Дилетант]

51. Mathematik-Olympiade
4. Stufe (Bundesrunde)
Klasse 12–13
Aufgaben – 1. Tag

511341
Рассмотрим последовательность `a_0 = -4`, `a_1 = -7` и `a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n`. Докажите, что она содержит бесконечно много положительных членов.

511342
В округе "Крайсланд" есть n ≥ 3 деревень, некоторые из них соединены между собой дорогами. Каждая дорога соединяет ровно две деревни, при этом между ними нет пересечений или переходов, туннелей или мостов. Между двумя деревнями существует не более одной дороги.
Известно, что по этим дорогам можно добраться от каждой деревни до любой другой.
Но, кроме того, установлено, что стоит перекрыть любую из дорог для велогонки, это свойство перестает выполняться.
Определить максимально возможное количество дорог в округе "Крайсланд".


511343
Дан треугольник `ABC` и окружность `k`, для которых верно:
(1) окружность `k` проходит через вершины `A` и `B` треугольника `ABC` и касается прямой `AC`.
(2) касательная к окружности `k` в точке `B` пересекает прямую `AC` в точке `X`, отличной от `C`.
(3) окружность `u`, описанная около треугольника `BXC`, пересекает окружность `k` в точке `Q`, отличной от `B`.
(4) касательная к окружности `u` в точке `X` пересекает прямую `AB` в точке `Y`.
Докажите, что прямая `XY` — касательная к окружности `p`, описанной около треугольника `BQY`.

---

51. Mathematik-Olympiade
4. Stufe (Bundesrunde)
Klasse 12–13
Aufgaben – 2. Tag

511344
Пусть `a` и `b` положительные вещественные числа и `n` — целое число `n >= 2`. Докажите, что верно следующее утверждение:
Для всех положительных вещественных чисел `x`, удовлетворяющих неравенству
`x^n <= ax + b`
выполняется:
`x < root (n-1) (2a) + root (n) (2b)`.

511345
В тетраэдре `a` и `b` — длины двух ребер, не имеющих общих точек, `r` — радиус вписанного шара. Докажите неравенство `r < (ab)/(2(a + b))`.

511346
Даны положительные числа `a_0` и `a_1`, последовательность `(a_n)` продолжается следующим образом:
`a_{n+2} = 1 + a_{n+1}/a_n, n = 0, 1, . . .`
Докажите, что `|a_2012 - 2| < 10^{-200}`.

[Дилетант]

Bundeswettbewerb Mathematik
Die Aufgaben der 1. Runde 2011

Aufgabe 1
Десять чаш поставлены по кругу. Они - начиная с какой-то из них - заполняются, по часовой стрелке, шариками: 1, 2, 3, ..., 9 и 10 шариков. За один ход можно добавить по шарику в две соседние чаши или - если они обе не пустые - удалить по одному шарику из каждой чаши. Можно ли за конечное количество ходов добиться того, что в каждой чаше будет находиться по 2011 шариков?

Aufgabe 2
За круглым столом сидят 16 детей. После перерыва они снова сели за стол. Они заметили: каждый ребенок сидит или на своем старом месте или на одном из соседних с ним мест. Сколькими способами могли сесть дети в соответствии с этим правилом.

Aufgabe 3
Диагонали выпуклого пятиугольника делят каждый внутренний угол на три равные части. Можно ли утверждать, что это правильный пятиугольник?

Aufgabe 4
a и b - натуральные числа, q и r - частное и остаток от деления `a times b` на `a+b`, т.е. `a times b = q(a+b) + r` и `0 <= r < a + b`. Найдите все пары (a, b) для которых `q ^ 2 + r = 2011`.

[Дилетант]

Bundeswettbewerb Mathematik
Die Aufgaben der 2. Runde 2011

Aufgabe 1
Докажите, что квадрат нельзя разделить на конечное число шестиугольников, чьи внутренние углы меньше 180°.

Aufgabe 2
Докажите, что если для натурального n верно, что 3n +1 и 10n +1 являются квадратами натуральных чисел, то 29n +11 не является простым числом.

Aufgabe 3
В подготовке к соревнованиям принимают участие более двух команд, каждые две из которых играют друг против друга не более одного раза. Дополнительно выполняются такие условия
(1) Если две команды играют друг против друга, то нет ни одной другой команды, которая сыграла бы против каждой из них.
(2) Если две команды не играют друг против друга, то есть ровно две другие команды, которые играют против каждой из этих команд.
Докажите, что все команды играют равное количество игр.

Aufgabe 4
ABCD - тетраэдр, невырожденный и не обязательно правильный, AD = BC = a, BD = AC = b, AB = c1 и CD = c2. Сумма расстояний от точки P до вершин тетраэдра минимальна. Выразите эту сумму как фукцию от переменных a, b, c1 и c2.

[Гость]

Спасибо !

[VEk]

Спасибо!

[~ghost]

Спасибо))

[Гость]

02.07.2020 в 08:22

Пишет  wpoms.:

Mathematik-Olympiadeaufgaben
Небольшой (2400 страниц, 11 Мб) сборник, содержащий 3790 заданий и решений математической олимпиады ГДР, и другие интересные материалы находятся на сайте Mathematik alpha.