Конкурс Georg Mohr (Дания)

[mpl]

Конкурс Georg Mohr (Дания)
www.georgmohr.dk

Конкурс имени Georg Mohr проводится для учащихся средних школ.

Целью конкурса является стимулирование интереса к математике. Кроме того, конкурс является частью процедуры отбора участников для участия в IMO.

Конкурс проводится в два раунда. Первый раунд проходит в середине осени, второй тур в январе. Принять участие в первом раунде может любой желающий. Лучшие по результатам первого раунда получают право на участие во втором раунде.

В комментариях можно посмотреть задания конкурса 2012 года

@темы: Олимпиадные задачи, Люди, Новости

Comments

[mpl]

GEORG MOHR-KONKURRENCEN 2012
Første runde
15. november 2011
Varighed: 60 minutter

1. Найти значение выражения
(77 + 7777 + 777777 + 77777777) − (7 + 777 + 77777 + 7777777) ?
A) 14071407 B) 70707070 C) 700000 D) 7 E) 0

2. Традиционный алфавит Mohristan состоит из следующих шести основных символов и всех символов, которые могут быть получены из них зеркальным отражением и поворотом их с ног на голову. Сколько всего символов в алфавите?

A) 18 B) 24 C) 12 D) 15 E) 20

3. Эмма собирает палочки от мороженного, пробки от пивных бутылок и наклейки. При оценке коллекции она обычно считает, что четыре палочки от мороженного равны семи пробкам от пивных бутылок и десять наклеек равны трем пробкам от бутылок. Какое количество наклеек равно шести палочкам от мороженного?
A) 35 B) 42 C) 14 D) 32 E) 18

4. Девять шаров должны быть расставлены в порядке возрастания номеров за наименьшее количество ходов. За один ход любой шар может быть переложен справа от всех других шаров. Чему равно наименьшее количество ходов?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

5. Оле выбирает пять из шести чисел 2, 3, 5, 7, 11 и 13 и вычисляет их произведение. Какое второй по величине результат может он получить?
A) 10010 B) 13013 C) 10110 D) 2310 E) 2735

6. Исследователи счастья выясняли сколько счастья приносит владение различными вещами. Они измеряли счастье по шкале от 0.00 до 1.00. Они обнаружили, что если одна вещь приносит x счастья и другая приносит y счастья, то вместе они приносят x+y-xy счастья одному владельцу. Насколько счастлив будет владелец двух вещей, одна из которых приносит ему 0.30 счастья, а другая - 0.50 счастья?
A) 0,08 B) 0,80 C) 0,65 D) 0,70 E) 1,50

7. Квадрат рассечен прямой линией на две части. Какие из указанных вариантов невозможны?
A) треугольник и пятиугольник B) два четырехугольника C) два треугольника D) треугольник и четырехугольник E) пятиугольник и четырехугольник

8. Какую самую длинную прогулку можно совершить по местности, план которой приведен на рисунке, если по одному и тому же участку нельзя идти дважды и начинаться и заканчиваться прогулка должна в одном и том же месте?

A) 41 B) 44 C) 50 D) 52 E) 58

9. Пусть a, b, c и d - натуральные числа, 0 < a < b < c < d и `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 50`. Чему равно число c?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) это невозможно определить

[mpl]

10. Мари и Луиза придумали секретный код. Каждая буква в алфавите соответствует одно или двузначному числу. Сообщение skatten er skjult i haven кодируется так

213427777176 1726 21338768977 96 824237176

Какое число соответствует букве u?
A) 6 B) 68 C) 76 D) 87 E) 7

11. Snif всегда проигрывает Snaf и Snuf в прыжках в длину. Snyf всегда выигрывает у Snuf. Snøf проигрывает Snaf, но выигрывает у Snuf. Кто из них дальше всех прыгает в длину?
A) Snuf B) Snaf C) Snyf D) Snøf E) это нельзя выяснить

12. Бисквиты “Great-Grandmother’s Biscuits” продаются упаковками по 9 штук. Характерный цветочный образ бисквитов образован полуокружностями радиуса 1. На картинке справа показано как бисквиты располагаются в упаковке. Чему равно наименьшее расстояние между двумя бисквитами?

A)√2 − 1 B) 2√3 − 2 C)√5 − 2 D) 3 − √3 E) 2π − 6

13. На рисунке показано начальное размещение игровых фишек двух типов, × и o. Ежеминутно все фишки в верхнем ряду перемещаются на один квадрат направо, а фишки в нижним ряду - налево. Две фишки образуют счастливую пару, если они расположены вертикально друг под другом и они имеют один и тот же тип. Количество счастливых пар зависит от взаимного расположения фишек в верхнем и нижнем ряду и сначала оно равно нулю. Какое наибольшее количество счастливых пар может получиться?

A) 2 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8

14. Семь равных длинных спичек сложенны в показанную на рисунке фигуру. Спички только касаются друг друга. Какую величину имеет отмеченный знаком вопрос угол?

A) 100◦ B) 96◦ C) 108◦ D) 80◦ E) 120◦

15. Какое из чисел больше?
A) √408 B) 20 C) √100 + √308 D) √816 / 2 E) 2 √204

16. Прямоугольник со сторонами 4 и 6 разбит на десять частей (см. рисунок). Чему равна сумма площадей областей I и II?

A) 4 B) 5 C) 4 2/3 D) 10 E) 4 1/3

17. Сколькими способами можно представить число 55 в виде по крайней мере двух последовательных целых чисел? (Могут использоваться отрицательные числа и ноль)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 7

18. Куб с длиной ребра 2n+1 просверлен в трех направлениях параллельно его сторонам. На каждой грани куба видны `n^2` квадратных отверстий с длиной стороны 1. Расстояние между отверстиями равно 1. Чему равен объем оставшейся части куба?

На рисунке показан куб для n=3.
A) `4n^3 + 9n^2 + 6n + 1` B) `4n^3 + 7n^2 + 4n + 1` C) `6n^3 + 7n^2 + 4n + 3` D) `13n^2 + 6n + 1` E) `n((2n + 1)^2 - n^2)`

19. Числа x, y, z и w удовлетворяют равенствам x+2y = 3z+w и z+2w = 3x+y. Какое из следующих утверждений не обязательно верно?
A) y + w = 2(z + x) B) x − 3z = w − 2y C) 4x + 3y = 4z + 3w D) z + 2w = 3(3z + w − 2y) + y E) z + 3x = y + 2w

20. Маленькие круги имеют радиус один, радиус большого равен трем. Окружности касаются друг друга и двух прямых так, как это показано на рисунке. Чему равно расстояние между точками P и Q?

A) 2√12 B) 8 C) 2√20 D) 10 E) 2√21

[mpl]

The Georg Mohr Contest
Second Round
Tuesday 10 January 2012 at 9-13

Problem 1.Внутри круга радиуса 6 расположены четыре меньших круга с центрами A, B, C и D. Круги касаются друг друга так, как это показано на рисунке. Круги A и C касаются в центре большого круга. Вычислите площадь ABCD.


Problem 2. О прямоугольнике известно, что он может быть разделен на девять квадратов (см. рисунок). Длина стороны черного квадрата равна 1. Есть ли более одного варианта для длин сторон прямоугольника?


Problem 3. Георг поместил в новый альбом 250 марок. На первой странице он поместил 1 марку и на каждой следующей странице он помещал столько же или в два раза больше марок, чем на предыдущей странице. Какое наименьшее количество страниц могло быть в альбоме?

Problem 4. Даны два двузначных числа a и b. Произведение a · b делит четырехзначное число, образованное записанными подряд цифрами чисел a и b, без остатка. Определите все возможные значения a и b.

Problem 5. В шестиугольнике ABCDEF все углы равны. Длины сторон AB = CD = EF = 3 и BC = DE = FA = 2. Диагонали AD и CF пересекаются в точке G. Точка H лежит на стороне CD, DH=1. Докажите, что треугольник EGH равносторонний.

[VEk]

Спасибо!

[к.черный]

5. Оле выбрал пять из шести чисел 2, 3, 5, 7, 11 и 13 и вычислил их произведение. Какое наибольшее число мог он получить?

Не понимаю задание. Ну, С6 - не моё

[mpl]

Не понимаю задание. Ну, С6 - не моё

Спасибо, поправил

[Дилетант]

Я как визуал получаю просто наслаждение от созерцания таких задач (про решение не знаю))
Второй топик после португальского, приводящий меня в восторг.
Пожалуй, надо заняться культурологическими исследованиями на этот счет. Неплохая тема для диссертации.

[~ghost]

Спасибо))

[wpoms.]

2017, 2 round

1. На листе бумаги написана система уравнений $x^2\ ?\ z^2 = -8, y^2\ ?\ z^2 = 7,$ но два символа размыты. Известно, что система имеет хотя бы одно решение и вместо знаков вопроса были написаны или + или -. Что было написано на листке?
обсуждение

2. У Георга есть доска, на которой написаны числа от 1 до 50. Георг может вычеркнуть число, если оно может получено из числа 2 с помощью нескольких операций, каждая из которых есть либо умножение на 10 либо вычитание 3. Какие числа может вычеркнуть Георг?
Пример: Георг может вычеркнуть 26 так как оно может быть получено из 2 умножением на 10, вычитанием 3 три раза, умножением на 10 и вычитанием 3 двадцать восемь раз.

обсуждение

3. На рисунках показаны дуга $l$ единичной окружности и две области $A$ и $B.$
Докажите, что сумма площадей $A$ и $B$ численно равна длине $l.$

обсуждение

4. Пусть $A, B, C$ и $D$ обозначают цифры четырёхзначного числа $n = ABCD.$ Найдите наименьшее $n$ большее 2017 такое, что существует целое число $x$ равное $\sqrt{A + \sqrt{B + \sqrt{C + \sqrt{D + x}}}}.$
обсуждение

5. В шахматном турнире каждая пара игроков сыграла одну игру друг против друга. За поражение очков не давали, за выигрыш победитель получал одно очко, ничья приносила `1/2` очка. После завершения турнира оказалось, что в любой группе из трёх участников есть хотя бы один, набравший `1+1/2` очка в играх против двух других.
Какое наибольшее количество игроков могло принимать участие в турнире?
обсуждение