Несколько заданий резервного дня 21 июня 2010 года

[Г ость]

Математика ЕГЭ-2010 (резервный день, 21 июня 2010)
Задания части С

C1 Решите систему уравнений `{(121^{cos x}-2*11^{cos x}+1=0),(7^{y+4}-sin x=0):}`

С2

С3 Решите неравенство `(log_9 (2-x)-log_15 (2-x))/(log_15 x - log_25 x) le log_25 9`

С4 В окружности, радиус которой равен `5`, проведена хорда `AB=8`. Точка `C` лежит на хорде `AB` так, что `AC:BC=1:2`. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся данной хорды в точке `C`.

С5 Найдите все значения `a`, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечетное число общих точек с графиком функции `f(x)=(2a-3)x-(x+3)|x-a|`.

С6 Найдите все тройки натуральных чисел `k, m, n`, удовлетворяющие уравнению `5*k! = m!-n!`.


C2 (другого варианта)
В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` известны ребра `AB=8`, `AD=6`,`C C_1=6`. найдите угол между плоскостями `CD_1B_1` и `AD_1B_1`

@темы: ЕГЭ

Comments

[noil]

С1 Решите систему уравнений:
`{(121^(cosx)-2*11^(cosx)+1=0),(7^(y+4)-sinx=0):}``iff``{((11^(cosx)-1)^2),(7^(y+4)=sinx):}``iff``{(cosx=0),(7^(y+4)=sinx),(sinx>0):}``iff``{(x=pi/2+2pin),(7^(y+4)=1),(sinx>0):}``iff``{(x=pi/2+2pin),(y=-4):}` `n in ZZ`
Ответ: `(pi/2+2pin;-4), n in ZZ`

C2 ?

С3 Решите неравенство:
`(log_(9)(2-x)-log_(15)(2-x))/(log_(15)(x)-log_(25)(x))<=log_(25)(9)`
Область определения:
`{(x>0),(2-x>0),(log_(15)(x)-log_(25)(x)!=0):}``iff``x in (0;1)uu(1;2)`
Метод рационализации:
`(8*14*(1-x)*6)/(14*24*(x-1)*10)<=log_(5)(3)`
`-1/5<=log_(5)(3)` - верно, значит нер-во выполняется на всём ОДЗ.
Ответ: `(0;1)uu(1;2)`

C4 В окружности, радиус которой равен `5`, Проведена хорда `AB=8`. Точка `C` лежит на хорде `AB` так, что `AC:BC=1:2`. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды `AB` в точке `C`.
Чертёж:

Решение:
Проведём `OH_|_AB`, тогда `OH nn AB=L`, откуда `AL=LB=1/2AB=4`
`AC:BC=1:2` `->` `AC=8/3`; `BC=16/3`
`DeltaAOL`:
`OL=sqrt(AO^2-AL^2)=sqrt(25-16)=3`
`CL=AL-AC=4-8/3=4/3`
1)
`O_2K=O_2C=R_2`
`OK=R=5`
`DeltaO_2OD`:
`OD=CL=4/3`
`O_2D=R_2-OL=R_2-3`
`O_2O=5-R_2`
Теорема Пифагора к `DeltaO_2OD`:
`O_2O^2=O_2D^2+DO^2`
`(5-R_2)^2=(R_2-3)^2+16/9`
`R_2=32/9`
2)
Проведём `O_1OM_|_OH`, тогда `O_1OM=CL=4/3`
`r=NO_1=O_1C`
`DeltaO_1OM`:
`O_1O=5-r`
`O_1M=4/3`
`LM=CO_1=r`
`OM=OL+LM=3+r`
Теорема Пифагора к `DeltaO_1OM`:
`O_1O^2=OM^2+O_1OM^2`
`(5-r)^2=(3+r)^2+16/9`
`r=8/9`
Ответ: `8/9` и `32/9`

[Trotill]

С6, наброски.

m!-n! = (m-n)! * (A_m^n-1)

1) m-n = k
5 = A_m^n-1
A_m^n = 6 = 2*3. Понятно, что есть варианты m=6, n=5 и m=3, n=1.

2) m-n > k

5 = (n-m)* (n-m-1) * ... * k * (A_m^n-1). (тут немного не так нужно записать)
Пять - простое число, поэтому очевидно, что решений тут нет.

3) m-n < k

5 * k * (k-1) * ... = (A_m^n -1 )

Самый интересный случай. Решение его вроде должно основываться на очевидном факте, что n!-1 не имеет делителей 2,3,... до n включительно, но расписывать сейчас нет времени...

[_ТошА_]

с6 сложновато как-то.
Вроде я проще решил

[noil]

Теперь получилось... Тут тоже самое, только чуть-чуть расписал ))
С5 Найдите все значения `a`, при каждом из которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет нечетное число общих точек с графиком функции `f(x)=(2a-3)x-(x+3)|x-a|`.
Попытка к решению:
`f(x)=(2a-3)x-(x+3)|x-a|``iff``{({(x>=a),(f(x)=-x^2+(3a-6)x+3a):}),({(x<=a),(f(x)=x^2+ax-3a):}):}`
1)
`{(x>=a),(f(x)=-x^2+(3a-6)x+3a):}`
`f(x)=-x^2+(3a-6)x+3a`
Чтобы было нечётное число решений (1 решение), необходимо, чтобы вершина параболы располагалась левее значения `a`, т.е.
`x_v=1,5a-3<=a``iff``a<=6`
2)
`{(x<=a),(f(x)=x^2+ax-3a):}`
`f(x)=x^2+ax-3a`
Аналогично пункту 1, только вершина теперь должна располагаться правее значения `a`, т.е.
`x_v=-a/2>=a``iff``a<=0`
3) Поскольку дело имеем с системой, то пересекая решения получим: `a<=0`
PS это только идея, вероятно, что она неверна.
PSS удалите пожалуйста кто-нибудь старый комментарий, заранее спасибо.

[Robot]

Г ость Спасибо большое за задания, я сейчас туда добавлю С2 из другого варианта для обзора
noil
Какой же ты молодец!
Я сегодня выпала из жизни, ты очень выручил с решениями...
Trotill
Да, что-то сложновато
_ТошА_ Если нетрудно, то напиши более простой способ

[_ТошА_]

Robot он такой же, как у aaalex

[Гость]

PS это только идея, вероятно, что она неверна.

Очень похоже на правду.

[Equilibrio.]

noil при разном раскрытии модуля одинаковые выражения?
У скобки потерялся х

[leurc]

Спасибо, noil

[noil]

Equilibrio., спасибо, опечатался, сейчас поправлю, просто формулы глючили (локальные проблемы), меня это изрядно достало ))

[Equilibrio.]

noil может быть три решения у парабол ветви в разные стороны

[noil]

Equilibrio., там сказано любая прямая, перпендикулярная оси ординат, поэтому найдётся такая прямая (и не одна), что будет чётное число решений.

[Equilibrio.]

noil возможно, я не дочитала, сейчас еще посмотрю

[Robot]

С6 Найдите все тройки натуральных чисел `k, m, n`, удовлетворяющие уравнению `5*k! = m!-n!`.

С форума Ларина alexlarin.com/
Пишет  aalleexx(А.Ларин):

21.06.2010 в 12:24

`5k! =m!-n!`
`5k! =n!((m!)/(n!)-1)`
`5=(n!)/(k!)*((m!)/(n!)-1)`
`{((n!)/(k!) =5),((m!)/(n!)-1=1):}` или `{((n!)/(k!) =1),((m!)/(n!)-1=5):}`
`{(n! =5k!),(m! =2n!):}` или `{(n! =k!),(m! =6n!):}`
`n=5; k=5; m=6`
`n=1; k=1; m=3`

URL комментария

[Гость]

С6.
А почему n!:k! - натуральное?

[noil]

C2
Тут намётки в качестве чертежа, но ещё немного и я умру, поэтому пойду отдыхать ))
Чертёж:

Опять же могу ошибаться )

[_ТошА_]

С другой стороны
`5k! = m! - n!`
`5 + (n!)/(k!) = (m!)/(k!)`

[aalleexx]

С6. А почему n!:k! - натуральное?

Если `m>k` , то `(m!)/(k!) in N` тогда `5=(m!)/(k!)-(n!)/(k!)` следовательно `(n!)/(k!) in N`
Если `m < k`, то т.к. `n < m`, то `n < k`, а значит равенство `5=(m!)/(k!)-(n!)/(k!)` невозможно.
Вот так

[_ТошА_]

aalleexx

[Robot]

Я бы в С2 искомый угол рассматривала как удвоенный угол между плоскостью `AB_1D_1` и плоскостью `BD D_1B_1`

Как находить угол между `AB_1D_1` и плоскостью `BD D_1B_1` можно прочитать вот здесь
eek.diary.ru/p112449326.htm#405178274

Ответ `2arctg(4/5)`

[к.черный]

noil
в С4 надо сказать перед вычислениями, что точка касания окружностей лежит на их линии центров

[noil]

к.черный, спасибо за поправку ))

[noil]

С2
В дополнение к решению Robot ))
Чертёж:

Решение: (я коротко)
После дополнительных построений (добавили к каждой наибольшей боковой грани по половинке того же параллелепипеда как показано на рисунке и провели перпендикуляры к `D_1B_1`, основание перпендикуляров точка `H`), искомый угол `/_AHC_2`
`DeltaAB_1D_1`:
`AB_1=B_1D_1=10`
`AD_1=6sqrt(2)`
Проведём `B_1K _|_ AD_1`, тогда `AK=KD_1=3sqrt(2)`
Тогда по теореме Пифагора `KB=sqrt(82)`
`S_(AB_1D_1)=6sqrt(41)`
С другой стороны `S_(AB_1D_1)=1/2*AH*D_1B_1`
Откуда `AH=HC_2=(6sqrt(41))/5`
`DeltaAHC_2`:
`AD=DC_2` `->` `AC_2=12`
Теорема косинусов:
`(AC_2)^2=AH^2+(HC_2)^2-2*AH*HC_2*cos(/_AHC_2)`
`/_AHC_2=arccos(9/41)=2arctg(4/5)`

[Robot]

noil
Спасибо!

[Гость]

В Москве вчера проводилась операция "Пририсуем палочку к нулю". А у вас?

[Оловянная ящерица]

Метод рационализации:
`(8*14*(1-x)*6)/(14*24*(x-1)*10)<=log_(5)(3)`

Скажите пожалуйста, что за метод рационализации такой?

[noil]

Токагэ, http://dwl2.alleng.ru/d_ar/math/math468.zip
Смотрите С3.

[Оловянная ящерица]

noil, ухты! *_* Спасибо Вам!