Стереометрия. С2. Углы между прямыми.

[infinity235]

Вообщем задания вот из этой книжки:

Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко)
Решил C2.4, C2.5, C2.6 (вроде сошлось с ответами). Дальше идут задания с шестиугольной призмой. С ними запарка. Подскажите как лучше их решать. Параллельный перенос прямых не даёт особых результатов. Вообщем нужна чёткая помощь.


С2.4 В правильной треугольной призме A...C1, все рёбра, которой равны 1, точки D, E - середины рёбер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BE.
С2.5 В правильной треугольной призме A...C1, все рёбра, которой равны 1, точка D - середины рёбра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BС1.
С2.6 В правильной четырёхугольной призме SABCD, все рёбра, которой равны 1, точки E и F - середины рёбер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.
С2.7 В правильной шестиугольной призме S...F1, все рёбра, которой равны 1, точки G и H - середины рёбер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BH.
С2.8 В правильной шестиугольной призме S...F1, все рёбра, которой равны 1, точка G - середины рёбра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BС1.
С2.9 В правильной шестиугольной призме S...F1, все рёбра, которой равны 1, точка G - середины рёбра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BD1.

@темы: Стереометрия, ЕГЭ

Comments

[Гость]

eek.diary.ru/p83765938.htm

[infinity235]

К сожалению, там нету этих задач, иначе бы я не стал создавать тему.

[Robot]

infinity235
Сроки укажите, а то как дело к ночи, так самые вопросы..

[infinity235]

Как бы сроки есть, но их какбы и нету, т.к. если у меня не получится сделать сегодня, то завра буду разбирать с преподавателем. Так что, можете особо не спешить. Возможно буду выкладывать сюда же другие решения из этого раздела этой книги.

[Robot]

infinity235
Новые задания - новым постом
И условия хорошо бы набирать текстом - для индексации (поиска) (то есть текст+картинка)

[Гость]

infinity235 8 задача легче всего через векторы
`A(0;0;0)` `G(0;1/2;1)` `B(0;1;0)` `C1(sqrt3/2;3/2;1)`
`vec(AG)={0;1/2;1}` `vec(BC_1)={sqrt3/2;1/2;1}`
`cos(AG;BC1)=(0* sqrt3/2+1/2*1/2+1*1)/(sqrt(5/4)*sqrt2)=(5/4)/(sqrt10/2)=sqrt10/4`

[Гость]

Вобщем все задачи через векторы надо, решения простые, только призмы расположить правильно надо

[Гость]

7 задача
`A(0;0;0)` `G(0;1/2;1)` `B(0;1;0)` `H(sqrt3/4;5/4;1)`
`vec(AG)={0;1/2;1}` `vec(BH)={sqrt3/4;1/4;1}`
`cos(AG;BH)=(9/8)/(5/4)=0,9`

[infinity235]

Вы бы хоть указывали как оси нужно направить. То что из A понятно. Предполагаю, что AB=y; AA1=x; AE=z; Или как-то подругому?

[Гость]

infinity235 АВ-у, АА1-z, а ось х, перпендикулярна к у, сейчас попробую нарисовать=)

[Гость]

Примерно так

[Гость]

в 9 задаче координаты точки `D(sqrt3;1;1)`
`vec(BD_1)={sqrt3;0;1}`
`cos=1/(sqrt(5/4)*2)=sqrt5/5`

[Гость]

infinity235 Вы разобрались?

[infinity235]

Спасибо. Да. Решение понятно. Довольно необычно видеть координатный метод для 6-и угольной призмы. Обычно для куба используется.

[Гость]

infinity235 В шестиугольной тоже удобно, ведь АЕDB прямоугольник

[Robot]

infinity235
Если нужно, то я завтра посмотрю обычным образом, но будет сложнее.
Из решенных посмотрела пока С2.4 - правильно
Спасибо, что набили условия. Я завтра проверю остальное, и помещу ссылки на этот топик в сводный топик по Универсальным материалам.
UPD
С2.5 правильно

[Гость]

Разместим призму в системе координат так, как показано на рисунке.
Найдем координаты точек
Задача 7 A;G;B;H
Задача 8 C1
Задача 9 D1

1) Координаты точки `A(0;0;0)` так как она совпадает с началом координат
2) Координаты точки `B(0;1;0)` т.к. она располагается на оси У
3) Координаты точки `G(0;1/2;1)` т.к. G середина A1B1
4) Координаты точки `H(sqrt3/4;5/4;1)`
Опустим перпендикуляр HS на прямую А1В1 `/_ A_1B_1C_1=120^@` - угол правильного шестиугольника
`/_ SB_1C_1=180^@-120^@=60^@`; `/_B_1HS=30^@` `=>` `B_1S=1/2B_1H`
`B_1H=1/2`-(Н-середина В1С1) `B_1S=1/4` ; по теореме Пифагора `HS=sqrt(1/4-1/16)=sqrt3/16=sqrt3/4`
`Y_H=A_1S=5/4`; `X_H=HS=sqrt3/4`
5) Координаты точки `C_1(sqrt3/2;3/2;1)`
Опустим перпендикуляр C1R на прямую А1В1 из треугольника В1А1С1 `/_ B_1A_1C_1=30^@` `=>`
`RC_1=1/2A_1C_1`
по теореме косинусов `A_1C_1=sqrt(A_1B_1^2+B_1C_1^2-2A_1B_1*B_1C_1*cosA_1B_1C_1)=sqrt3`
`C_1R=sqrt3/2`; по теореме Пифагора `A_1R=sqrt(3-3/4)=sqrt(9/4)=3/2`
`X_(C_1)=C_1R=sqrt3/2`; `Y_(C_1)=A_1R=3/2`
6) Координаты точки `D(sqrt3;1;1)`
`B_1D_1=A_1C_1=sqrt3`
`X_(D_1)=B_1D_1=sqrt3`

Координаты векторов:
`vec(AG)={0;1/2;1}`; `vec(BH)={sqrt3/4;1/4;1}`; `vec(BC_1)={sqrt3/2;1/2;1}` ; `vec(BD_1)={sqrt3;0;1}`

Косинус угла между векторами находится по формуле `cos(veca;vecb)=(x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b)/(sqrt(x_a^2+y_a^2+z_a^2)*sqrt(x_b^2+y_b^2+z_b^2))`
Задача 7 `cos( vec(AG); vec(BH))=(1/8+1)/(sqrt(5/4)*sqrt(5/4))=(9/8)/(5/4)=0,9`
Задача 8 `cos( vec(AG); vec(BC_1))=(1/4+1)/(sqrt(5/4)*sqrt2)=(5/4)/(sqrt10/2)=sqrt10/4`
Задача 9 `cos( vec(AG); vec(BD_1))=1/(sqrt(5/4)*sqrt4)=sqrt5/5`

[Robot]

Гость
Спасибо большое!
==
С2.6 правильно
==
С 2.7
Вот не векторное решение С2.7

оффтоп

Чтобы легче понималось, почему параллельный перенос именно такой, нужно заметить, что грань В1С1СВ параллельна АА1D1D, и потому прямая, параллельная ВН и проходящая через А, будет лежать именно в пл-ти АА1D1D. А учитывая, что В1С1СВ и АА1О1О равны, то дальнейший ход моет быть таким.
Пусть К - середина `A_1O_1`. Проведем АК и докажем, что АК параллельна ВН (..)(Можно АК провести параллельно ВН и доказать что К -середина А1О1)
Далее рассматривается треугольник АКG:
`AK=AG=sqrt(5)/2, KG=1/2`
Далее теорема косинусов

[Robot]

вот переносы для задач С2.8 и С2.9
С2.8

С2.9

[Robot]

Занесла условия задач и ссылку на это пост в Разбор и решения задач пособия «ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся»
Огромное спасибо всем за решения!

[Гость]

можете объяснить пож 2.4-2.6 а то я не понял что откуда

[Гость]

Объясните, как в C2.4 нашли EK ничего в голову не идет! (

[Robot]

Гость
По теореме синусов
угол ЕВ1К=180-60, треугольник ЕВ1К -равнобедренный, значит, остальные углы равны по 30

[Гость]

Только у меня немного не то, я не достраивал ничего, я просто перенес EB и назвал нову. прямую AK, у меня получился треугольник AKD в нем искомый угол KAD.
дальше я размышлял так:
1)рассматривал треугольник AA1D
Нашел AD=sqrt5 / 2
2) Рассматривал треугольник AKA1
AK= sqrt5 / 2

А дальше ступор, помогите выпутаться пожалуйста!

[Robot]

Фактически Вы делаете то же самое
Теперь надо найти KD и далее теорема косинусов
без чертежа очень трудно Вас понять
Но не очень понятно, как Вы там перенесли
АК не будет лежать в плоскости AA1C1C

[razraz]

вот рисунок rghost.ru/2916696
на сайт картинка не выкладывается, пишет: "Вы пытаетесь сделать что-то не вполне верно. Вот, точно: ошибка работы с изображением"

[Robot]

На дайри авария, поэтому и не выкладываются

Ну, вот как раз об этом я и писала Вам
Угол между скрещивающимися прямыми, это угол между параллельными им прямыми. проходящими через одну точку

infinity235 в пл-ти АА1В1В построил прямую ВК, параллельную AD
А ваша прямая АК прямой ВЕ не параллельна
И даже если вы через А и проведете прямую, параллельную ВЕ, там все будет очень сложно

[razraz]

Все, понял ошибку! Спасибо огромное за помощь.
Выходит, дополнительное построение сдесь необходимо.
Хотя, конечно есть и векторный способ, но он для треугольной призмы не очень приятный, на мой взгляд.

[Robot]

Да, векторный способ здесь неудобен, согласна

[Гость]

в С2.4 почему угол ЕВ1К=180-60? ведь возможно что равнобедренные углы ЕKB1 и B1EK равны не 30?