Вариант досрочного экзамена 24.04.2010 с Поступим.ру

[l Shift->stop->end l]

Как утверждается, данный вариант является реальным вариантом досрочного экзамена по математике от 24.04.2010 (первая волна)
К сожалению, фотографии были нечеткими.
В1.
Сырок стоит 7 рублей 10 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей
В2.
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 15 градусов Цельсия. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат температура двигателя в градусах Цельсия. Водитель может начинать движение, когда температура достигнет 40 градусов. Какое наименьшее количество минут потребуется , чтобы водитель мог начать движение?

В3.
Найдите корень уравнения `sqrt(6-3x)=3`
В4.
В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=18, `cosA=3/5`. Найдите высоту СН.
В5.
Семья из трех человек собралась поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно - на своей машине. Билет на поезд стоит 720 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 12 литров бензина на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина - 18 рублей за литр. Во сколько рублей обойдется самая дешевая поездка для всей семьи?
В6.
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 смх1см (см. рисунок) Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В7.
Найдите значение выражения (не уверена в степени корня)

В8
На рисунке изображен график производной функции f. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции `y=f(x)` параллельна прямой `y=-3x-2` или совпадает с ней.

В9.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые, длины ребер указаны на рисунке

В10.
В розетку электросети подключены электроприборы, общее сопротивление которых составляет Ro=60 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите в (в Омах) наименьшее возможное сопротивление R1 этого обогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление задается формулой R общ= (R1*R2)/(R1+R2), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 (?)Ом. (в цифрах не уверена)
Уточненное условие (или другой вариант) (спасибо Гостю)
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите ( в омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление задается формулой R=R1xR2/R1+R2, а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не менее 40 Ом.
В11.
Найдите наименьшее значение функции y=... на отрезке [ ...]
В12.
Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними равно 88(?) км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3(?) км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 3 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, что и на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
(в другом варианте формулировка такая:
Пристани А и В расположены на озере, расстояние между которыми 154 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день она отправилась обратно, со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 3 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В . Найдите скорость баржи из А в В. Ответ в км/ч. )
С1
Решить систему уравнений
`{81^(tgx)-8*9^(tgx)-9=0`
`{sqrt(y-6)+12*cosx=0`
С2.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и плоскостью AF1C1
C3.
Решить неравенство

С4
В окружность радиуса `sqrt(61)/2` вписана трапеция с основаниями 5 и 7. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.
С5.
Найдите все значения а, при каждом из которых ровно одно решение неравенства `x^2+(-3a+1)*x+2a^2<=2` удовлетворяет неравенству `ax(x-5+a)>=0`
C6.
Найдите все пары натуральных чисел k и n таких, что `k <n` и `(1/n)^k=(1/k)^n`
==
Фотографии варианта, а также решение задачи С6 (в формате pdf) можно скачать с сайта Ларина А.А. www.alexlarin.narod.ru/ege.html
Еще один способ решения задачи С6 http://www.problems.ru/

Решения остальных задач части С в комментах
UPD
Условия, ответы и критерии части С нескольких вариантов досрочного экзамена eek.diary.ru/p107048993.htm

@темы: ЕГЭ

Comments

[Гость]

Ммм... Можно пожалуйста по подробней??? Что это за такой досрочный экзамен??? Официально всё чтоли?

[Robot]

Гость
Для тех, кто не сможет сдавать вместе со всеми (спортсмены и т.д.)

[DExter384]

в В8 какой ответ? не вижу чтото

[hero_of_your_comics]

Вот просто в цитатник! Спасибо огромное, действительно нужная тема.

[Robot]

DExter384
А тут ответов вообще нет
А у тебя какой ответ?

[DExter384]

судя по рисунку касательную под тупым углом можно провести только через точку -1. но я как говорил не вижу КАК увидеть?

[к.черный]

DExter384
на рисунке изображен график производной, поэтому никакой касательной проводить не нужно.

По условию касательная параллельна прямой

y=-3x-2

, сл-но, ее угловой коэф-т равен -3
А угл. коэф-т касательной - это значение производной.
Находим точку графика производной, ордината которой равна -3.
В ответ пишем абсциссу этой точки (х)

[DExter384]

ну да. черт! спасибо

[Robot]

DExter384
Оказывается, ты совершенно не знаешь, как решать задачи этого типа
Литература по подготовке к ЕГЭ по математике
Рабочая тетрадь В8
И просмотри сообщество по тегу Касательная.
Найдите абсцису точки, в которой касательная к графику функции у=f(x) параллельна прямой у=-3х-2
Если касательная параллельна или совпадает с прямой y=-3x-2, то угловой коэффициент касательной совпадает с угловым коэффициентом этой прямой, то есть угловой коэффициент касательной равен -3.
Вспоминаем, что угловой коэффициент касательной равен ЗНАЧЕНИЮ ПРОИЗВОДНОЙ В ТОЧКЕ КАСАНИЯ. Таким образом, значение производной в точке касания должно равняться -3
На рисунке дан график ПРОИЗВОДНОЙ. Нам нужно найти абсциссу точки, значение ПРОИЗВОДНОЙ, в которой равно -3.
И какая же это точка?

[Robot]

Да, я тихоходна, как черепаха(((
Стирать уже не буду, труд жалко

[Гость]

С3 (-12: -3)U(-1:0)U(0:1)U(4:+.....) ??

[DExter384]

вау .да спасибо за хорошее объяснение. в следующий раз буду задание внимательнее читать, чтобы в такие вот ситуации не попадать

[к.черный]

Гость
вроде так

[Mariyagan]

А в С3 случайно не потеряли промежуток (1;2), ведь основание у логарифма не равно 1, х не равен 2?

[Robot]

С3

[Mariyagan]

Спасибо. Метод рационализации что-то мне не очень понятен, почему такой переход?

[Robot]

Метод рационализации.
О методе написано:
files.school-collection.edu.ru/dlrstore/c07f640...
это Квант №4, 2006 (Голубев В. Метод замены множителей)
Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену
Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания.
скачать здесь www.diary.ru/~eek/p62222263.htm
Хорошая методичка Корянова по С3 на сайте Ларина www.alexlarin.net/ege.html

[Mariyagan]

Большое спасибо. Буду разбираться. А Вы не могли бы мне подсказать в С2 какой это будет угол?

[Robot]

На Поступим.ру похожая задача (другие цифры) рассмотрена двумя способами.
Я постараюсь эту сделать, но не обещаю

[Mariyagan]

Еще раз спасибо.

[Robot]

С2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1 и плоскостью AF1C1

поскольку народ просит без ангема, то вот решение без всяких векторов-координат. Может есть и проще способ. В вычислениях могла и просчитаться, смотреть надо критически. Треугольник В1КF1 надо отчасти пунктиром (но тогда будет плохо видно)

Секущая плоскость AF1С1 ( в дальнейшем П) пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, поэтому искомой плоскостью является плоскость АВС1F1.
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Найдем проекцию точки В1 на плоскость П. Пусть B1D1 пересекает C1F1 в точке Р, проведем в плоскости ВВ1P В1K перпендикулярно ВP. Докажем, что B1К является перпендикуляром к плоскости сечения П. По построению В1К⊥BP, кроме того прямая С1F⊥ ВВ1 и прямая С1F⊥ B1D1. Значит, C1F1 перпендикулярна плоскости BB1P, а следовательно, любой прямой в этой пл-ти, то есть и B1K. Итак, В1К ⊥ВP, В1K ⊥С1F1, значит, В1K перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости П, следовательно, В1К ⊥П. А это означает, что F1K - ортогональная проекция F1B на плоскость П и искомый угол это угол В1F1K.
Найдем его из прямоугольного треугольника В1КF1
sin∠B1F1K =B1K/B1F1
Подсчет В1F1 труда не представляет: B1F1=3*sqrt(3)
Для нахождения В1K рассмотрим треугольник В1РВ. Он прямоугольный, ВВ1=1, В1Р=3*sqrt(3)/2, по теореме Пифагора ВР=sqrt(31)/2. Для нахождения B1K используем метод площадей: (1/2)В1К*ВР=(1/2)ВВ1*В1Р, откуда B1K=3*sqrt(3)/sqrt(31)
Тогда sin∠B1F1K =B1K/B1F1=1/sqrt(31)

[Robot]

С1

Заметим, что серия `x=-3*pi/4+2*pi*k` это то же самое, что то серия `x=5*pi/4+2*pi*k`, `k in Z`
Так что ответ может быть записан в виде
`(5*pi/4+2*pi*k;78), k in Z`

[Robot]

С4
В окружность радиуса `sqrt(61)/2` вписана трапеция с основаниями 5 и 7. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.
Без обоснования того, что трапеция равнобокая, центр окружности, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой и прочая...
Случай 1
Основания трапеции лежат по разные стороны от центра .
Из треугольника ОВТ по теореме Пифагора `OT=3`, из треугольника ОАЕ по теореме Пифагора `OE=sqrt(3)`.
Обозначим `OK=x`. Тогда `KT=OT-x=3-x`, `EK=OE+x=sqrt(3)+x`
Из подобия треугольников ВКС и AKD имеем
KT/KE=5/7 или `(3-x)/(sqrt(3)+x)=5/7`, откуда
`x=(21-5*sqrt(3))/12`
Случай 2
Самостоятельно

==
Вообще хорошо бы, чтобы кто-нибудь проверил.
==
Надеюсь, что  aalleexx оформит С5 (на своем форуме он сказал, что задача легкая)

[Mariyagan]

Robot спасибо.

[aalleexx]

C5
Первая функция f=x^2+(-3a+1)x+2a^2-2 - график парабола, ветви вверх, а кроме того - есть два нуля, которые легко находятся x1=a+1; x2=2a-2
Вторая функция - парабола, имеющая нули в x3=0 и x4=-a+5
Если нули первой функции совпадают(a=3), то x3=0, x4=2 (ветви вверх), x1=x2=4 тогда единственное решение первого неравенства х=4 - попадает в область решений второго неравенства, что и требуется в задаче.
Если нули второй функции совпадают(a=5), то x3=x4=0 (ветви вверх), x1=6, x2=8 тогда единственное решение второго неравенства х=0 - не попадает в область решений второго неравенства.
Единственное решение системы будет возможно в случаях совпадения нулей.
1. x1=x3 a=-1
x1=x3=0, x2=-4, x4=6 ветви вниз - х=0 единственное решение

2. x2=x3 а=1
х2=х3=0 х1=2, х4=4 ветви вверх - х=0 единственное решение

3. x1=x4 a=2
x1=x4=3, x3=0, x2=2 ветви вверх - х=3 единственное решение

4. x2=x4 a=7/3
x2=x4=8/3, x1=10/3, x3=0 ветви вверх, но единственного решения не будет, т.к. [8/3;10/3] попадает в решение второго неравенства [8/3;беск)
Вот и все - ответ -1,1,2,3
Конечно, на ЕГЭ лучше еще и графики эти для каждого случая нарисовать (это несложно), а то эксперт напряжется, а это никому не нужно

[Robot]

aalleexx
Спасибо!
А видели, что про Ваше С6 на Поступим.ру пишут?))

Решение номер 3 шесотого номера представил Александ Ларин на Своём сайте. Решение сложное и далеко не очевидное, но красивое=) С этим трудно поспорить=)

[aalleexx]

Robot Да, я смотрю у них там свое решение есть.

[к.черный]

С2
чуть по-другому обосновывала, что В1К перп-на П.
Плоскость ВВ1Д1 перп-на плоскости основания А1В1С1, C1F1 перп-на B1D1 - свойство диагоналей правильного шестиугольника, сл-но C1F1 перп-на BB1D1,
а сл-но, П перп-на BB1D1.
А т.к. В1К перп-на линии пересечения перпендикулярных плоскостей П и BB1D1, то В1К перп-на П.

[Гость]

В B8 ответ: -2??????

[Robot]

Гость Да