Критерии досрочного ЕГЭ от 24 апреля 2010

[Г ость]

Критерии заданий С ЕГЭ от 24 апреля
forum.postupim.ru/forum/32-7375-1 (45 мб)
Копия: mathhelp.ifolder.ru/17528962 (45 мб)
Djvu: www.onlinedisk.ru/file/420555/ (11мб)

@темы: ЕГЭ

Comments

[VEk]

Спасибо

[Robot]

Г ость
Какая красота!
Спасибо огромное!

[Гость]

Решите систему уравнений (1, 5):
`{(81^{tgx}-8*9^{tgx}-9=0),(sqrt{y-2}+8cosx=0):}`

Решение
Пусть `z=9^{tg\ x}`. Первое уравнение принимает вид `z^2-8t-9=0`, откуда `z_1=-1, z_2=9`.
Уравнение `9^{tg\ x}=-1` не имеет решений. Из уравнения `9^{tg\ x} = 9` находим `tgx=1`.
Из второго уравнения системы следует, что `cosx le 0`. Значит, `x=- {3pi}/4 + 2pin, n in ZZ`, и `cosx=- sqrt2/2`.
Второе уравнение принимает вид `sqrt{y-2}-4sqrt2=0`, откуда `y=34`.
Ответ: `(- {3pi}/4+2pin; 34), n in ZZ.`

Решите систему уравнений (2):
`{(4^{tgx}-2^{tgx}-2=0),(sqrt{y-9}-8cosx=0):}`
Ответ: `({pi}/4+2pin; 41), n in ZZ.`

Решите систему уравнений (3):
`{(81^{tgx}-8*9^{tgx}-9=0),(sqrt{y-6}+12cosx=0):}`
Ответ: `(- {3pi}/4+2pin; 78), n in ZZ.`

Решите систему уравнений (4):
`{(16^{tgx}-3*4^{tgx}-4=0),(sqrt{y-6}-10cosx=0):}`
Ответ: `({pi}/4+2pin; 56), n in ZZ.`

[Гость]

(1) В правильной шестиугольной призме `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` сторона основания равна `7`, а высота равна `1`. Найдите угол между прямой `F_1B_1` и плоскостью `AF_1C_1`.

Решение


Плоскость `AF_1C_1` дает сечение `AF_1C_1B`. Опустим на эту плоскость перпендикуляр `B_1H` из точки `B_1`. Тогда `HF_1B_1` - искомый угол. Плоскость `AF_1C_1` содержит прямую `F_1C_1`, перпендикулярную плоскости `BB_1D_1`. Поэтому плоскости `AF_1C_1` и `BB_1D` перпендикулярны. Из этого следует, что перпендикуляр `B_1H` содержится в плоскости `BB_1D_1`.
Рассмотрим сечение `BB_1D_1D`, в котором `BB_1=1`, `B_1D_1=7sqrt3`.Пусть `K` - точка пересечения `F_1C_1` и `B_1D_1`. Тогда `K` - середина `B_1D_1`, и поэтому `B_1K={7sqrt3}/2`.
Из прямоугольного треугольника `BB_1K` находим высоту: `B_1H={B_1K*B_1B}/{BK}={7sqrt3}/{sqrt151}`.
Тогда из прямоугольного треугольника `F_1B_1H` получаем: `sin/_HF_1B_1={B_1H}/{F_1B_1}=1/sqrt151`.


Ответ: `arcsin {:1/sqrt151:}`.

(2, 5) В правильной шестиугольной призме `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` сторона основания равна `1`, а высота равна `6`. Найдите угол между прямой `F_1B_1` и плоскостью `AF_1C_1`.

Ответ: `arcsin {:{2sqrt3}/7:}`.

(3) В правильной шестиугольной призме `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` сторона основания равна `3`, а высота равна `1`. Найдите угол между прямой `F_1B_1` и плоскостью `AF_1C_1`.

Ответ: `arcsin {:1/sqrt31:}`.

(4) В правильной шестиугольной призме `ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1` сторона основания равна `6`, а высота равна `1`. Найдите угол между прямой `F_1B_1` и плоскостью `AF_1C_1`.

Ответ: `arcsin {:1/{4sqrt7}:}`.

[Гость]

(1) Решите неравенство `{log_{9^{x-6}}(x+2)}/{log_{9^{x-6}}(x^2)} lt 1`

Решение

Решения ищем на множестве: `{(x!=6),(x!=0),(x!=1),(x!=-1),(x gt -2):}`
При этих условиях неравенство принимает вид `log_{x^2}(x+2) lt 1`. Возможны два случая.
1) `{(x^2 gt 1),(x^2-x-2 gt 0):}`. Тогда, с учетом ограничений, `x in (-2;-1)uu(2;6)uu(6;+oo)`.
2) `{(0 lt x^2 lt 1),(x^2-x-2 lt 0):}`. Тогда, с учетом ограничений, `x in (-1;0)uu(0;1)`.

Ответ: `(-2;-1)uu(-1;0)uu(0;1)uu(2;6)uu(6;+oo)`

(2) Решите неравенство `{log_{8^{x-3}}(x+2)}/{log_{8^{x-3}}(x^2)} lt 1`

Ответ: `(-2;-1)uu(-1;0)uu(0;1)uu(2;3)uu(3;+oo)`

(3, 5) Решите неравенство `{log_{5^{x-7}}(x+12)}/{log_{5^{x-7}}(x^2)} lt 1`

Ответ: `(-12;-3)uu(-1;0)uu(0;1)uu(4;7)uu(7;+oo)`

(4) Решите неравенство `{log_{7^{x-4}}(x+6)}/{log_{7^{x-4}}(x^2)} lt 1`

Ответ: `(-6;-2)uu(-1;0)uu(0;1)uu(3;4)uu(4;+oo)`

[Гость]

(1) В окружность радиуса `{3sqrt5}/{2}` вписана трапеция с основаниями `3` и `4`. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Решение



Пусть `O` - центр окружности, `E` - точка пересечения диагоналей трапеции, `h_1` и `h_2` - расстояния от точки `E` до оснований `AD` и `BC` соответственно, `h` - высота трапеции, `h=h_1+h_2`.
Из подобия треугольников `AED` и `CEB` следует, что `h_1/3=h_2/4`.
Точка `O` не лежит на основании трапеции, поскольку оба основания меньше диаметра окружности. Возможны два случая:
1) Точка `O` лежит внутри трапеции (см. рис. 1). Тогда высота трапеции равна `{6+sqrt29}/{2}`. Значит, `OE=3-3/7*{6+sqrt29}/{2}={24-3sqrt29}/{14}`.
2) Точка `O` лежит вне трапеции (см. рис. 2). Тогда высота трапеции равна `{6-sqrt29}/{2}`. Значит, `OE={24+3sqrt29}/{14}`.

Ответ: `{24+3sqrt29}/{14}` или `{24-3sqrt29}/{14}`.

(2) В окружность радиуса `sqrt10` вписана трапеция с основаниями `2` и `4`. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Ответ: `{6+sqrt6}/{3}` или `{6-sqrt6}/{3}`.

(3) В окружность радиуса `{sqrt61}/{2}` вписана трапеция с основаниями `5` и `7`. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Ответ: `{21+5sqrt3}/{12}` или `{21-5sqrt3}/{12}`.

(4, 5) В окружность радиуса `{sqrt29}/{3}` вписана трапеция с основаниями `2` и `3`. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

Ответ: `{5+4sqrt5}/{10}` или `{5-4sqrt5}/{10}`.

[Гость]

(1, 5) Найдите все значения `a`, при каждом из которых ровно одно решение неравенства `x^2+(5a+3)x+4a^2 le 4` удовлетворяет неравенству `ax(x-4-a) le 0`.

Решение

Множество решений неравенства: `x^2+(5a+3)x+4a^2 le 4 iff (x-(-4a-4))(x-(-a+1)) le 0`, образует отрезок, возможно вырожденный в точку, с концами `-4a-4` и `-a+1`.


Множество решений неравенства: `ax(x-4-a) le 0`, образует при `a<0` объединение двух лучей (направленных в противоположные стороны и, возможно, "склеенных" в одну прямую) с концами `0` и `4+a`; при `a gt 0`отрезок с этими же концами, а при `a=0` - всю прямую.


Ровно одна точка первого множества может принадлежать второму, только когда первое вырождается в точку или один из его концов совпадает с концом второго множества, т.е. в следующих случаях:
1) `-4a-4=-a+1`, следовательно, `a=-5/3`, тогда только одно решение первого неравенства `x=8/3` удовлетворяет второму;
2) `-4a-4=0`, следовательно, `a=-1`, тогда только одно решение первого неравенства `x=0` удовлетворяет второму;
3) `-4a-4=4+a`, следовательно, `a=-8/5`, тогда все числа отрезка [12/5;13/5], состоящего из решений первого неравенства, удовлетворяет второму;
4) `-a+1=0`, следовательно, `a=1`, тогда только одно решение первого неравенства `x=0` удовлетворяет второму;
5) `-a+1=4+a`, следовательно, `a=-3/2`, тогда только одно решение первого неравенства `x=5/2` удовлетворяет второму.

Ответ: `- 5/3; - 3/2; -1; 1`

(2) `x^2+(-5a+3)x+4a^2 le 4` удовлетворяет неравенству `ax(x-4+a) le 0`.

Ответ: `5/3; 3/2; -1; 1`

(3) `x^2+(-3a+1)x+2a^2 le 2` удовлетворяет неравенству `ax(x-5+a) ge 0`.

Ответ: `3; 2; -1; 1`

(4) `x^2+(3a+1)x+2a^2 le 2` удовлетворяет неравенству `ax(x-5-a) ge 0`.

Ответ: `-3; -2; -1; 1`

[Гость]

(1) Найдите все пары натуральных чисел `k` и `n`, таких, что `k lt n` и `(sqrt n)^k=(sqrt k)^n`.

Ответ: `k=2; n=4`

(2, 5) Найдите все пары натуральных чисел `k` и `n`, таких, что `k lt n` и `(n^2)^k=(k^2)^n`.

Решение

1. Преобразуем исходное равенство:
`(n^2)^k=(k^2)^n iff k ln n^2 = n ln k^2 iff 1/n ln n = 1/k ln k iff f(n) = f(k)`, где `f(x)=1/xlnx,\ x lt 0`.

2. `f'(x)=-1/{x^2}*lnx+1/x*1/x=- {ln x- ln e}/{x^2}, {(f'(x)le0;, x ge e),(f'(x)ge0;, 0 lt x le e):}`
Функция возрастает на `(0;e]` и убывает на `[e;+oo)`. Так как `k lt n`, то `f(n)=f(k)` может выполняться только при условии `k lt e lt n`, откуда следует `k=1` или `k=2`, причем для каждого `k` может найтись не более одного значения `n`, удовлетворяющего уравнению в паре с этим значением `k`.

3. В случае `k=1` из уравнения получаем: `1/n ln n = 1/k ln k = 0`, откуда следует `n=1`, что невозможно.

4. В случае `k=2` уравнению удовлетворяет `n=4`: `1/4 ln 4 = 2/4 ln 2 = 1/2 ln 2`, и только оно, в силу вышесказанного.

Ответ: `k=2; n=4`

(3) Найдите все пары натуральных чисел `k` и `n`, таких, что `k lt n` и `(1/n)^k=(1/k)^n`.

Ответ: `k=2; n=4`

(4) Найдите все пары натуральных чисел `k` и `n`, таких, что `k lt n` и `(n^3)^k=(k^3)^n`.

Ответ: `k=2; n=4`

[VEk]

Гость Большое спасибо!

[Robot]

Гость
Огромное спасибо!