помогите найти ошибку

[golobok]

Добрый день!Мне задана интерполяция табличных данных с помощью кубических сплайнов.
Даны 5 точек:
х 0,5 0,8 1,1 1,4 1,7
у 34 -35 27 -42 60
также нужно вычислить значение ф-ции в промежуточных точках.

Решаю в экселе по формулам с помощью методички, нашла моменты.
h=0.3
Составила систему
М0=0
М0+4М1+М2=d1
M1+4M2+M3=d2
M2+4M3+M4=d3

Решение системы:

M1=1/56*(15d1-4d2+d3)
M2=-1/14*(d1-4d2+d3)
M3=1/56*(d1-4d2+15d3)

Осталось найти S(t) и что-то не сходится...Возможно опечатка?В методичке формула следующая:
S(t)=(1-t)*Yi+t*Yi+1-h^2/6*t*(t-1)*[(2-t)*Mi+(1+t)*Mi+1 ], там где Уi+1 и Мi+1 имежются ввиду следующие значения(извините, не смогла написать здесь подстрочно). И не понимаю, когда расчитываю для последнего I значения функции, какое брать значение следующего момента и функции. Заранее благодарна за помощь

Comments

[Хранитель печати]

golobok
а можно с конкретными цифрами? Так тяжело понять и подсказать.
Вот что у меня выходит:

[golobok]

Дело в том, что я решаю строго по методичке, таким способом как от меня хотят. Согласно этому способу я нахожу моменты, и насколько я поняла Мо и М4 у меня должны быть равны 0 типа мы принимаем что сплайн будет иметь нулевую кривизну по краям интервала. Вводится переменнная t, t=(x-xi)/h. Вот я составила систему ур-ий для моментов, получила значения Мо=М4=о, М1=3166,6667, М2= -3933,3333? М3=3833,3333. Затем данные записывают в виде таблицы, вот что получилось:
i X t Y=S(x)
0 0,26 0,8 -7,52
0,32 0,6 10,84
0,38 0,4 22,36
0,44 0,2 29,32
0,5 0 34
1 0,56 0,8 6,73
0,62 0,6 -4,5
0,68 0,4 -11,78
0,74 0,2 -20,25
0,8 0 -35
2 0,86 0,8 -22,97
0,92 0,6 -12,14
0,98 0,4 -3,94
1,04 0,2 7,25
1,1 0 27
3 1,16 0,8 50,64
1,22 0,6 38,52
1,28 0,4 20,88
1,34 0,2 -5,04
1,4 0 -42
4 1,46 0,8 12,01
1,52 0,6 24,01
1,58 0,4 36,01
1,64 0,2 48,01
1,7 0 60

[Хранитель печати]

golobok
понимаете, без конкретной методички разобраться нельзя.
Существует дикое количество способов задать кубический сплайн, отличающихся коэффициентами и граничными условиями.
Что вы называете моментами? Вторые производные? Граничные условия для сплайнов стандартно - равенство нулю второй производной на границах каждого отрезка. Тогда у вас получается то, что называется "натуральным сплайном", но это может приводить к разрыву вторых производных на границах отрезка, поэтому часто для начальных и конечных отрезков используют условие равенства третьих производных ( что и сделано в моем решении). Сейчас попробую посчитать для натурального сплайна

[Хранитель печати]

golobok
да, моменты для натурального сплайна вы посчитали правильно.
Уравнения для полиномов получаются такими:


Кстати, у вас в табличке что-то не то. Вы не должны задавать сплайн для значений x < 0.5

[Хранитель печати]

табличка у меня получилась такой:

x_i	x	f(x)
0.5	0.5	34
0.5	0.56	11.08
0.5	0.62	-9.56
0.5	0.68	-25.64
0.5	0.74	-34.88
0.8	0.8	-35
0.8	0.86	-24.952
0.8	0.92	-8.616
0.8	0.98	8.896
0.8	1.04	22.472
1.1	1.1	27
1.1	1.16	19.152
1.1	1.22	2.736
1.1	1.28	-16.656
1.1	1.34	-33.432
1.4	1.4	-42
1.4	1.46	-38.16
1.4	1.52	-23.28
1.4	1.58	-0.12
1.4	1.64	28.56
1.4	1.7	60

[Robot]

Хранитель печати
Какая красота))

[Хранитель печати]

для интереса: внизу график. Синий - ваши значения. Красный - моя таблица.
Где-то при расчетах вы ошиблись.
Воспользуйтесь моей формулой для расчета S(x) - формула полинома в первом комментарии, она вполне подходит

[Хранитель печати]

Robot =)

golobok
вот формула для сплайна на каждом отрезке в ваших обозначениях

[golobok]

Уважаемый Хранитель печати! В своей формуле ошибку найти не могу, решаю по Вашей ф-ле для полиномов. Все сходится, кроме 3-го участка.При S3(x)=27+(-28.3)(x-1.1)+(-1916.7)(x-1.1)^2+4314.8(x-1.1)^3 моя функция не соответствует значениям, что получились у Вас ,а главное, что при х=1,4 у должен быть равен -42 ( а по выше упомянутой ф-ле получается - 37,49). Заранее благодарна за помощь

[Хранитель печати]

golobok
посмотрю сегодня, надо вспомнить, где считал =)

[Хранитель печати]

golobok
В формуле для 3 отрезка у меня опечатка, должно быть "-1966,67" вместо "-1916,7" при квадрате неизвестной.
p.s. Вы бы пересчитали сначала, иначе не получится научиться и понять

Посмотрите, пожалуйста, вот файл с расчётами: narod.ru/disk/19834068000/Book1.xls.html
Sheet1 и Sheet1(2) отличаются граничными условиями. В одном случае требуется равенство только функций, в другом - и первых производных тоже.
Вышеприведенные формулы на листе Sheet1(2)

p.s. В узловых точках сплайн ВСЕГДА будет равен значению функции.

[golobok]

Уважаемый Хранитель печати! Огромное спасибо за помощь! наверное,понять мне не дано...Подскажите пожалуйста еще-по данным для этой задачи мне нужно найти площадь фигуры методами трапеций и Симпсона. А также по принципу Рунге вычислить погрешность. Для этого мне нужно найти S2n. Я разбила сплайн на 2n отрезков, по тем ф-ам ,что Вы мне дали, посчитала значения функции. Вот что у меня получилось. Проверьте, пожалуйста, правильно? Заранее благодарна за помощь

Sn S2n дельта St
трапецій 27,55200 27,32541 -0,07553 27,24988
парабол 27,66640 27,25040 -0,02773 27,22267

[Robot]

golobok
Хранитель в отъезде
Не надо было затягивать с обсуждением

[golobok]

По данным интерполяции кубическими сплайнами найти площадь фигуры методами трапеций и Симпсона
xi x f(x)
0.5 0.5 34
0.5 0.56 11.08
0.5 0.62 -9.56
0.5 0.68 -25.64
0.5 0.74 -34.88
0.8 0.8 -35
0.8 0.86 -24.952
0.8 0.92 -8.616
0.8 0.98 8.896
0.8 1.04 22.472
1.1 1.1 27
1.1 1.16 19.152
1.1 1.22 2.736
1.1 1.28 -16.656
1.1 1.34 -33.432
1.4 1.4 -42
1.4 1.46 -38.16
1.4 1.52 -23.28
1.4 1.58 -0.12
1.4 1.64 28.56
1.4 1.7 60

[golobok]

Вот что у меня получилось:
Sn S2n дельта St
трапецій 27,55200 27,32541 -0,07553 27,24988
парабол 27,66640 27,25040 -0,02773 27,22267
Пожалуйста,проверьте!