Аналитическая геометрия

[linux_user]

Добрый день! Помогите, пожалуйста:

вот эта задача

В общем, надо найти аффинное преобразование, являющееся произведением симметрии относительно прямой x + 3y - 5 = 0 и гомотетии с центром в точке (2;1) на этой прямой и коэффициентом 3. И ещё: система координат прямоугольная.

Подскажите, пожалуйста, с чего мне начать и как вообще выглядит данное условие? Я никак представить не могу. Вот дана мне прямая, на ней точка. И чего дальше делать не пойму. В конспекте по данной теме ничего не сказано (был на всех лекциях)... Очень надеюсь на вашу помощь.
(Примечание Робот: Посоветуйте хорошую литературу по этой теме)

запись создана: 22.02.2010 в 12:44

@темы: Аналитическая геометрия, Линейные преобразования

Comments

[_ТошА_]

Открываете учебник и смотрите, ничего замысловатого там нет.

[linux_user]

_ТошА_, гениально. А не могли бы Вы подсказать учебник, где всё доходчиво объясняется, а то я их уже штук десять перерыл. Если бы было просто, то я бы наверное помощи не просил.

[_ТошА_]

linux_user

гениально.

спасибо)
Ильин, Позняк смотрели? Насколько я помню, в нём есть, в нём я что-то подобное как-то тоже поглядывал, когда проспал все пары на свете

[linux_user]

_ТошА_, Смотрел, там даже темы такой нет.

P.S. повторюсь: был на всех парах и не проспал ни одной.

[_ТошА_]

Блин, это сложно объяснить... Может кто ещё сможет, спрошу сейчас

[Robot]

Если честно, то я не в курсе

[_ТошА_]

Robot Я могу решить, задание не сложное, бывало куда хуже, но объяснить эту тему я не могу вообще.

[Robot]

_ТошА_
Ну, реши, хоть я буду знать..

[linux_user]

_ТошА_, а вот мне бы все-таки хотелось разобраться с этой темой. Мне важно не решение, а понимание происходящего.

[Robot]

linux_user
Я сделала примечание о поиске литературы.

[linux_user]

Robot, спасибо.

[Alidoro]

Преобразование координат при переходе к другой системе понимаете?
А как записать гомотетию относительно начала координат или симметрию относительно координатной оси?
Ну вот, запишите эти преобразования в той системе, в которой они наиболее просто выглядят, а затем перейдите к вашей системе.
Но это очень грубо говоря.
На самом деле надо очень четко себе представлять, что геометрически означают казалось бы одни и те же формулы при преобразовании координат и при точечном преобразовании пространства. Об этом вроде бы пишут в учебниках. Можно взять что-нибудь по аналитической геометрии или в современных учебниках этот материал переносят в курс линейной алгебры и многомерной геометрии. Есть учебники, в которых эти курсы объединены в один. Вот учебник Беклемишева вам бы подошел. Если многомерные пространства вам не нужны и линейную алгебру вы изучать все равно не собираетесь, то возьмите какой-нибудь старый курс аналитической геометрии. Мусхелишвили подойдет.

Сама по себе тема очень простая и без темных закоулков. Как в Кавказской пленнице:
Да я ж не пью...
А что ж тут пить?

[Alidoro]

Сейчас посмотрел еще две книжки.
Бортаковский. Современно и, поэтому понятно, но практически нет задач. Хоть книжка и называется Аналитическая геометрия в примерах и задачах.
Моденов. Немного архаично, но очень подробно рассказывается о преобразованиях. Есть задачи для самостоятельного решения, но все теоретического плана, на вывод формул. А тупых задач на подстановку чисел в эти формулы, которые бывают полезны, чтобы эти формулы запомнить - нету. Задачи, конечно, есть в разных задачниках, но там нет решений. Можете посмотреть вот здесь, как я несколько задач на преобразование координат недавно решал.

[Robot]

Бортаковский

Согласна
Сама купила и отсканила, потому что думала, что можно в сообществе рекомендовать
И не нравится страшно.

[linux_user]

Alidoro, Robot я сейчас почитаю, попробую решить, и если что-нибудь получится, то выложу решение. Вы сможете проверить?

[Alidoro]

Вы сможете проверить?

Без проблем. Берите новую систему координат с центром в точке (2;1), выписывайте формулы перехода, выписывайте преобразования и т. д.

[linux_user]

Alidoro, вот смотрите:
1. Я беру новую систему координат с центром (2;1):
Одна ось новой системы: x + 3y - 5 = 0
А какая должна быть вторая ось?
2. Формулы перехода - это, я так понимаю, формулы поворота и переноса. Они мне известны.
3. Насколько я понимаю, я должен взять произвольную точку и просто-напросто используя вышеуказанные формулы найти её новые координаты?
4 (самое главное). Мне не ясно само понятии гомотетии. Нашел вот такое определение ей: "Гомотетией с центром O и коэффициентом k называется такое преобразование плоскости, что образ А' произвольной точки А удовлетворяет соотношению вектор OA′ = k*вектор(OA)." Каким образом это может помочь?

[Alidoro]

Вторая ось должна быть перпендикулярная первой, в такой системе будет просто записать симметрию.
Формулы поворота и переноса вам не нужны. У вас уже есть новая система координат. Она задается новым началом и новыми координатными векторами. Первый вектор будет параллелен прямой, проще всего взять (3,-1) второй перпендикулярен, скажем, (1,3). Теперь можно сразу выписать как выражаются старые координаты произвольной точки через новые: x,y через x',y'. Но вам понадобится еще и обратное преобразование, поэтому эти формулы нужно будет обратить, то есть выписать, как выражаются x',y' через x,y. В новых координатах легко записать ваши симметрию и гомотетию. Это будет смена знака второй координаты и умножение обеих координат на 3 соответственно, также запишите эти преобразования в виде формул, т. е. выразите (x'*,y'*) через (x',y').

Теперь, чтобы получить формулы преобразования в старых координатах вам надо взять старые координаты произвольной точки (x,y), преобразовать их в новые (x',y'), сделать симметрию-гомотетию (x'*,y'*) и дальше перейти обратно к старым координатам и получить старые координаты точки после преобразования (x*,y*). У вас получатся формулы, выражающие (x*,y*) через (x,y).

[linux_user]

В общем, нашёл я вторую ось и тогда получается "первая" система с центром (2;1) :

x + 3y - 5 = 0
-3x + y + 5 = 0

Теперь "вторая" система с центром (0;0) :

(1/3)x + y = 0
-3x + y = 0

Далее, насколько я понимаю, я должен взять произвольную точку А (x;y) из первой системы и получить координаты A' (x';y') этой точки во второй системе? Если да, то тогда надо использовать формулу параллельного переноса:
A (x;y) -> A'(x';y'), где
x' = x + 2
y' = y + 1
Так? Если да, то каким образом мне надо записать симметрию и гомотетию? (есть какие-то формулы?)

[Alidoro]

Ваш замысел мне не понятен. Почему вы взяли вторую ось, которая не проходит через точку (2,1) и зачем вы ее вообще находите?
Почему для вас это система первая, а та исходная система в которой по условию задачи задано уравнение прямой - вторая?
О каком переносе вы говорите? В задаче нет переносов, есть симметрия и гомотетия.
Почему вы выписываете систему уравнений и говорите о центре системы? Что это за система? Это имеет какое-то отношение к преобразованию координат?
Короче, сорок лет назад нас так не учили.

[linux_user]

Alidoro,
Почему вы взяли вторую ось, которая не проходит через точку (2,1) и зачем вы ее вообще находите?
ну почему же не проходит? Всё проходит. А нахожу вот почему:
Вторая ось должна быть перпендикулярная первой, в такой системе будет просто записать симметрию.

Так. Стоп. Я кажется начинаю понимать. Нам дана прямая. Я беру произвольную точку и отображаю её симметрично относительно данной прямой. Получаю новые координаты (пусть это x' и y'). Затем, "применяем" к новой точке гомотетию и получаем другие координаты (пускай это x'' и y''). А дальше находим произведение симметрии и гомотетии. Теперь я правильно понял?

[Alidoro]

ну почему же не проходит? Всё проходит.

И в самом деле, проходит.
Мне все равно не понятно, зачем. То, что она должна быть перпендикулярна, понятно. Но зачем ее находить?

А дальше находим произведение симметрии и гомотетии. Теперь я правильно понял?

Правильно поняли. Об этом и говорится в условии задачи. Нужно записать это преобразование в исходных координатах.

[linux_user]

Ага, тогда вот мой план действий:
1. Нахожу расстояние от точки до данной прямой.
2. Нахожу координаты симметричной.
3. Т.к. коэффициент равен 3, то просто умножаю на 3 полученные координаты.
4. Результаты второго и третьего шагов перемножаем между собой. Это и будет ответ. Так?

P.S. всё расписываю, чтобы уже точно быть уверенным, что я понимаю, то что я делаю.

[Alidoro]

3. Т.к. коэффициент равен 3, то просто умножаю на 3 полученные координаты.

Вот этот пункт неправильный. Вы должны построить вектор от точки (2,1) до вашей точки и увеличить длину этого вектора в три раза. Конец увеличенного вектора будет результатом гомотетии.
А умножать координаты на три было бы можно, если бы начало координат находилось в точке (2,1).

[linux_user]

Alidoro, Огромнейшее спасибо Вам и С Праздником!

[linux_user]

Проверьте, пожалуйста:

1) Расстояние от произвольной точки M до прямой, а, точнее, до точки A (2;1):
|MA| = sqrt ( (2-x)^2 + (1-y)^ 2 )

2) Точка В, симметричная точке М относительно данной прямой:
x' = 2 + sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2
y' = 1 + sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2

B (2 + sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2) ; 1 + sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2))

3) Точка С, являющаяся результатом гомотетии:
x'' = 2 + 3 * sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2
y'' = 1 + 3 * sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2

С (2 + 3 * sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2) ; 1 + 3 * sqrt((2-x)^2 + (1-y)^2))

4) Ответ:
В*C, т.е. (x' * x'' ; y' * y'')

Правильно?

[linux_user]

Ну хоть кто-нибудь проверьте пожалуйста

[Robot]

linux_user
Солнц, я в этом не разбираюсь, мне тогда надо все с нуля читать, а сейчас очень некогда
Подождем Алидоро.
Ведь сегодня праздник, не можем же мы все дни, как проклятые..

[Alidoro]

Что-то письма по подписке плохо приходят: либо с запозданием либо просто их нет.

Корень квадратный - это что-то странное. Это получается не аффинное преобразование. И ответа я тоже пока не увидел.
Я вам предложил простой путь. Вы решили идти своим путем. Вам для этого придется проделать то, что уже давно выведено в теории преобразований. Ну так проделайте это без ошибок. Тогда вы поймете, что нет ничего более практичного, чем хорошая теория.

1) Расстояние от произвольной точки M до прямой, а, точнее, до точки A (2;1):

Это разные расстояния — от M до прямой и от M до точки.

Чтобы получить координаты точки симметричной относительно прямой, надо из точки опустить перпендикуляр на эту прямую, потом продолжить этот перпендикуляр на другую сторону прямой на такое же расстояние. Вот и проделайте это. Найдите перпендикулярную прямую, вычислите основание перпендикуляра и т. д.