делимость чисел

[soloman]

Здравствуйте
Помогите пожалуйста!
Доказать делимость n^5-n на 240,учитывая что n=2k+1
Решение: раскладываем 240 на множители 240=2^4*3*5
далее упрощаем n^5-n=n-1*n*(n+1)(n^2+1)
Так как у нас три последовательных члена значит выражение делется на два и на три!вот!и теперь надо доказать что наше выражение делится на 5!а как это сделать я не знаю???
посмотрите пожалуйста может что знаете???


сдавать завтра!
заранее огромное спасибо

@темы: Теория чисел

Comments

[Robot]

1) так как у вас произведение трех последовательных чисел, то выражение делится на три
на два пока не стоит говорить, здесь надо доказывать большее
Точно так, как доказывается , что произведение трех последовательных чисел делится на три, доказывается, что произведение 5 последовательных целых чисел делится на 5.
n^5-n=n-1*n*(n+1)(n^2+1)=n-1*n*(n+1)(n^2-4+5) = n-1*n*(n+1)(n-2)(n+2)+5*n-1*n*(n+1)
Перове слагаемое делится на 5, как произведение 5 посл. целых чисел, второе, так как содержит множителем 5
==
240=3*5*16
Вам еще надо доказать, что делится на16

[Robot]

Можно было не раскладывать так, как сделала я
А использовать метод остатков
А=n^5-n=n-1*n*(n+1)(n^2+1)
n при делении на 5 может давать в остатке 0,1,2,3,4
1 случай
n дает в остатке 0
n=5k
А=5k-1)5k*(5k+1)((5k)²+1) делится на 5, так как содержит множителем 5
2 случай
n дает в остатке 1
n=5k+1
А=5k*(5k+1)*(5k+2)((5k+1)²+1) делится на 5, так как содержит множителем 5
и т.д.

[soloman]

на три и на пять понятно все!а как же теперь доказать что делится на 16?

[Robot]

Подставьте в выражение n^5-n=n-1*n*(n+1)(n^2+1) n=2k+1

[soloman]

Представил:
n^5-n=(2k)(2k+1)(2k+2)(4k^2+4k+2)
а как же дальше?

[Robot]

soloman
Постарайтесь что-то вынести и т.д.
Ведь, чтобы доказать, что делится на 5, надо было получить множитель 5 в разложении
вынесите, внимательно посмотрите...

[soloman]

(2k)(2k+1)(2k+2)16(1/4k^2+1/4k+1/8)
так?хотя мне кажется что это не верно

[_ТошА_]

1/4k^2+1/4k+1/8

вы можете доказать, что это будет целым числом?
Выносите то, что более очевидно, делайте это аккуратно

[soloman]

я разложил и получил вот что
8(k)(2k+1)(k+1)(2k^2+2k+1)
это доказывает что наше выраж делится на 8

[soloman]

я разложил и получил вот что
8(k)(2k+1)(k+1)(2k^2+2k+1)
это доказывает что наше выраж делится на 8

[Дилетант]

8(k)(2k+1)(k+1)(2k^2+2k+1)
это доказывает что наше выраж делится на 8

Очень хорошо!
А еще в нем есть два множителя: k(k+1).
Что о них можно сказать?

[soloman]

ну это два последовательных множителя

[Дилетант]

Ну так нас интересует делится ли это произведение на 2.

[soloman]

значит делится на 2 на 3 на 5 и на 8!что в произведении дает 240!

только вот ваш метод раскладывания при делении на пять мне немного не ясен!

[Дилетант]

soloman

значит делится на 2 на 3 на 5 и на 8!

не на 8, а на 16!

[Дилетант]

Насчет деления на 5 можно воспользоваться обоими способами, о которых говорила Robot
Возьмите любой и попробуйте.
Если не получится, задайте вопросы: что не получается и где.

[soloman]

Не могли бы вы мне обьяснить почему наше число делится на 5?

[soloman]

хорошо

[Дилетант]

Хорошо сформулированный вопрос.

Наше число записывается в виде:
(n-1)*n*(n+1)(n^2+1)

Последний множитель мы переписываем вот так:

n^2+1=n^2-4+5=(n-2)(n+2)+5
Это понятно?

Тогда всё выражение будет:
(n-1)*n*(n+1)(n^2-4+5) = (n-1)*n*(n+1)((n-2)(n+2)+5)=
раскрываем скобку в последнем множителе:
=(n-1)*n*(n+1)(n-2)(n+2)+5*(n-1)*n*(n+1)

Получилось два слагаемых: одно делится на 5 потому что состоит из пяти последовательных чисел: от n-2 до n+2, а второе -- потому что содержит множитель 5.
Значит и вся сумма делится на 5.
чтд

[soloman]

а можно составить такой же алгоритм чтобы выделить делимость на 16

[soloman]

Составьте пожалуйста

[Дилетант]

Вам не нужен алгоритм!
Вы доказали, что число делится на 8, выделив 8 множителем. Кроме того среди остальных множителей у вас естьk(k+1).
Из этих двух фактов надо просто сделать соответствующий вывод.
Подумайте, что можно сказать о делимости произведения двух последовательных чисел на 2.

[soloman]

ну так как наше произведение состоит из двух последов членов значит оно делится на 2 и так как есть множитель 8 оно делится на 2*8=16
так?

[_ТошА_]

soloman да