C5 ("Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач")

[shtikmas]

Найдите все a, при каждом из к-рых система

1-sqrt(|1-x|) = sqrt(7|y|)
49y^2 + x^2 +4a =2x-1

имеет ровно 4 различных решения.

Попытался заменив sqrt(7|y|) на 49y^2 решить ур-ние относительно x,не пполучилось. Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Comments

[к.черный]

второе уравнение можно переписать:
49y^2 + (x-1)^2 + 4a = 0

заменив выражения в первом уравнении на m и n, получаем:
m + n = 1
m^4 + n^4 + 4a = 0
нам нужно, чтобы эта система имела ? решений

[Егэ-тренер]

к.черный, красиво!
А я таким же образом пришла к уравнению с одной переменной
(n-1)⁴+n⁴=-4a
И довольно безнадёжно на него смотрю
Система лучше! Она же симметрическая. Может, что-нибудь и получится.

[к.черный]

а я вот что-то приуныла...
(Я поначалу ошиблась и второе уравнение квадратное получила (вот красота была бы!) )
Я так понимаю, что нам нужно, чтобы система (или уравнение) имела единственное положительное решение

[Егэ-тренер]

Пока тоже встала.
Пришла к уравнению
2t²-4t+1=-4a,
где t=mn

[к.черный]

может так:
2(t - 1)^2 = 1 - 4a
нам же нужно единственное решение, тогда 1 - 4а = 0

[La Balance]

А может графически?

[к.черный]

а графически получается так:
график уравнения x^4+y^4 = p некая симметричная кривая, похожая на квадрат со скругленными углами.
Единственное решение - это случай касания прямой x+y=1 с правым верхним "углом". Причем в силу симметричности х = 1/2 и у = 1/2.
Тогда а = -1/32

[La Balance]

И это единственный вариант, только у меня а другое получилось, сейчас перерешаю)

[Robot]

Я так понимаю, что нам нужно, чтобы система имела единственное положительное решение

я пока не вдумывалась, но если нужно это, то обычно тут проводятся такие рассуждения
Система симметрическая, поэтому если пара (m,n) является решением, то и пара (n,m) является решением. Поэтому единственное решение может быть только при тех а, при которых m=n
подставляем m=n, находим а и обязательно проверяем, что при этом а действительно решение единственное.

[Егэ-тренер]

Пыталась ещё параболы складывать, получив первое уравнение с одной переменной (n-1)⁴+n⁴=-4a
Но получившуюся тоже параболу недоанализировала

Как-то всё же непросто всё получается... Даже квадрат к.черный нетривиален))
Или на очень продвинутых ребят рассчитано, или что-то мы не видим.

Robot, да-да! Именно что-то в этом духе, точно!

[La Balance]

Даже квадрат к.черный нетривиален))

Почему? Примерный вид графика понятен, а т.к. m+n=1, то получаем как раз то, что написала Robot
m=n

[к.черный]

у меня были "черновые" мысли, для домашнего использования.
Равенство m и n -

Robot, да-да! Именно что-то в этом духе, точно!

Ну ведь точно, что пара положительных m и n даст четыре решения исходной системы?

[La Balance]

Ну ведь точно, что пара положительных m и n даст четыре решения исходной системы?

А не два?

[к.черный]

а кстати, девочки, где наш топикстартер?
shtikmas , расскажите, что за книга? я такой еще не видела

[Егэ-тренер]

к.черный, кажется, четыре...
La Balance, примерный вид графика не всем понятен))) Поэтому и говорю, что непросто.

[к.черный]

sqrt(|1-x|)

= 1/2

sqrt(7|y|)

= 1/2

x = 5/4, x=3/4
y=1/28, y = -1/28
четыре точки

[La Balance]

Егэ-тренер почему четыре, у меня два получается( , все понятно

[Robot]

Вроде книга Сергеева И., мне обещали оставить, если появится. Тогда она и здесь появится.

[Гость]

прошу прощения за долгое отсутствие. Книга Панферова и Сергеева, ФИПИ, изд. Интеллект-Центр

[shtikmas]

www.mdk-arbat.ru/bookcard_all4.aspx?book_id=106...

[Гость]

А если рассмотреть функцию у=(n-1)4+n4+4a, ее производная равна 0 в точке 1/2-точка минимума,.Уравнение будет иметь 2 корня, если У(1/2)<0.
a<-1/32

[La Balance]

Robot пойду завтра искать эту книжку, если найду отсканирую))

[Robot]

La Balance

[Гость]

a=-1/32, easy problem with easy proof.

[Гость]

PS.
ucheba.pro/viewtopic.php?f=15&t=972

[VEk]

Гость В старой книге Сивашинского И.Х. "Неравенства" эта задача решена (№7)

[Robot]

Я не поняла, у нас точно такое же решение.
pay.diary.ru/~eek/p94513880.htm?from=last&discu...
Гость, или вы не вчитывались?

[Robot]

Кстати, решение на учеба.про не завершено
Дело в том, что когда мы ищем а из условия m=n, то мы ищем все те а, при которых решением системы является пара (m,m)
Но помимо нее могут существовать и другие решения.
Поэтому после нахождения а=-1/32 надо ОБЯЗАТЕЛЬНО подставить а в симметрическую систему и доказать, что при этом решение действительно единственно
(в любом пособии, где рассматриваются задачи на симметрические системы с требованием единственности решения, это обязательное требование)

[Robot]

Якир, Горнштейн

(кстати, и Ткачук много занимался необходимыми и достаточными условиями)

VEk
Я что-то не нашла у Сивашинского (неравенства в задачах?)
В каком разделе?

[VEk]

Robot Глава 1 зад. 7 вверху на странице 6 (изд-во Наука, М., 1967г). Естественно, там рассматриваются неравенства: доказать, что при a+b>=1 получаем a^4+b^4>=1/8