Базис.

[nvse]

Здравствуйте,проверьте пожалуйста просто мое решение если не сложно.
Задача стандартная,просто мне нужно знать всё ли правильно я написал(особенно в доказательстве),а то скоро экзамен.
Условие:
Решение:
Заранее большое спасибо.

@темы: Линейная алгебра

Comments

[_ТошА_]

Суть правильна, но, проверь-ка 2ое уравнение в системе. где раскладываешь по базису.
И ещё, тебе не кажется, что ЛНЗ проще определять. приводя к треугольному виду?
И непонятно, зачем ты что-то приравнивал к нулю. Можно сразу смело строить определитель. Если они ЛЗ. то будет нулевая строка, а следовательно опред. будет равен нулю

[nvse]

Только в условии e3=(1,1,2)^T

[_ТошА_]

nvse Тогда пункт

проверь-ка 2ое уравнение в системе. где раскладываешь по базису.

отменяется

[nvse]

И непонятно, зачем ты что-то приравнивал к нулю

ну как же,я как бы каждый элемент матрицы(3*1) приравнял к 0.Получилось 3 СЛАУ.А потом это СЛАУ можно решить методом Крамера,если матрица невырожденна,(а она у меня не вырожденна-> сущнствует ед.решение)Просто нас так учили

[Robot]

Насчет полноты не поняла
Обычно здесь говорят: так как размерность пространства равна 3, то любая линейно независимая система из трех векторов является базисом.

[nvse]

Robot система полная если любой вектор лин.пр-ва можно линейно выразить через e1,e2,e3 (это я написал в 3-ей строке).Или это неправильно?

[_ТошА_]

nvse Система полная?
Набор полный, если любой вектор можно выразить через набор.
Ну раз так учили, то хорошо. Просто очевидно, что если вектора ЛЗ, то будет нулевая строка, если ты сразу составишь определитель и он будет равен нулю.
Просто не всегда нужно делать чётко по образцу, нужно и размышлять почему так, и как можно ещё решать

[_ТошА_]

Robot Он доказал полноту, натянув линейную оболочку. Это равносильно твоему утверждению

[nvse]

_ТошА_ я имел ввиду систему векторов(e1,e2,e3)

[_ТошА_]

nvse В общем-то всё верно

[Robot]

Он не доказал полноту.
Вот именно, что или надо доказывать непосредственно, что всякий вектор раскладывается по этим векторам (иначе откуда мы можем утверждать, что лин.оболочка совпадает со всем пространством V) или использовать теоретический факт, о котором я написала выше.
Естественно, что надо использовать последнее

[Robot]

И я согласна с Тошей
Стандартно независимость проверяется следующим образом: составляется матрица, столбцами которой являются данные векторы и проверяется равен он 0 или не равен

[nvse]

Robot кажется,понял.Всем спасибо.

[_ТошА_]

Robot Линейная оболочка по определению - всевозможные л.к. векторов, на которые она натянута

равен он

Забыла написать кто )

[Robot]

_ТошА_
Я знаю, что такое линейная оболочка
Но тут смысл в чем
3 пунктом надо доказывать, что любой вектор из V принадлежит линейной оболочке векторов е1,е2,е3
Ты же ведь, наверное, понимаешь, что если взять скажем два вектора е1 и е2, то не всякий вектор из V будет принадлежать L(e1,e2)
Так почему мы можем утверждать, что в данном случае всякий вектор будет принадлежать L(e1,e2,e3)?

[_ТошА_]

Robot Мы ЛНЗ наверху для чего доказывали? Специально для этого

Я знаю, что такое линейная оболочка

Не сердись

[Robot]

Это из Черненко том 1
В явном виде пункты не выделены, но они прослеживаются

[Robot]

Линейной независимости мало
Это отдельный пункт
тут важно сказать, что раз размерность пространства равна трем, то любая линейно независимая система из трех векторов будет базисом
наша система из трех векторов и она ЛНЗ, поэтому и т.д.
В общем см. у Черненко
==
я не сержусь