3 геометрические задачи

[Jedius]

Помогите пожалуйста решить.Желательно разобраться с этими задачами завтра)
1)В основании пирамиды ромб со стороной a и острым углом альфа.Найдите объем и площадь полной поверхности пирамиды, если все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом альфа.
2)В правильной треугольной пирамиде через среднюю линию основания параллельно только одному боковому ребру проведено сечение.Боковые ребра, равные а, наклонены к основанию под углом альфа.Найдите периметр и площадь сечения.
3)В основании пирамиды SABCD - прямоугольник , в котором AB<AD. Две боковые грани пирамиды, проходящие через B, перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к основанию под углами альфа и 2альфа. Высота пирамиды равна а. Найдите площадь боковой грани, наклоненной к основанию под углом альфа.

@темы: Стереометрия

Comments

[Robot]

Пункт 5 правил гласит:
5) ОБЯЗАТЕЛЬНО указываем свои попытки решения. Если не понятна только часть решения или есть идеи как решать, пишите о них. К геометрическим задачам желательно приложить чертежи, чтобы обсуждение не было голословным.
==
Так что ждем от Вас действий

[Jedius]

Давайте по порядку)
1)Sполной=Sбок+Sосн
Sбок=1/2*Pосн*h(высота боковой грани)
V=1/3*Sосн*h(высота)
Pосн=4а
Sосн=a^2*sin(альфа)
Осталось найти h(высота боковой грани) и h(высота) и тогда найдем и объем и площадь)

[Robot]

Правильно
Осталось неиспользованным условие

все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом альфа

Первый вопрос такой - где будет тогда основание высоты пирамиды?

[VEk]

Jedius

Sбок=1/2*Pосн*h(высота боковой грани)

Для использования этой формулы надо доказать, что высоты всех боковых граней равны. У Вас это не доказано

[Jedius]

VEk
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

* в основание пирамиды можно вписать окружность, причем высота пирамиды проецируется в ее центр;
* высоты боковых граней равны;
* площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
У нас боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом по условию,значит думаю ничего доказывать не надо.
Robot На пересечении диагоналей ромба?

[VEk]

Вы как раз и обосновали, что высота приходит в центр окружности, вписанной в основание. И отсюда моментально следует, что этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
* в основание пирамиды можно вписать окружность, причем высота пирамиды проецируется в ее центр;

Вот это предложение, вообще говоря, неверно для треугольной пирамиды. Здесь, конечно, четырехугольная, но это надо иметь ввиду.

[Robot]

Да.
Но вообще-то я как раз хотела, чтобы вы написали что-то подобное тому, что написали выше. Одновременно это центр вписанной окружности.
Без чертежа очень сложно вообще-то разговаривать.
Как вы изобразили угол наклона боковой грани?

[IskanderLocator]

Robot А в Россий в школе используются свободно теоремы(задачи теоремы) про расположение ребер или например это свойство

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

* в основание пирамиды можно вписать окружность, причем высота пирамиды проецируется в ее центр; * высоты боковых граней равны; * площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани. У нас боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом по условию,значит думаю ничего доказывать не надо.

или свойство пирамиды у которой
Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию

[VEk]

IskanderLocator В большинстве школ эти факты доказываются в виде теорем. Поэтому школьники ими пользуются без доказательства. Подозреваю, по Вашему вопросу, что на Украине все эти факты надо регулярно доказывать.

[Jedius]

рисунок на пеинте

так вот угол ONK это угол альфа

[IskanderLocator]

Ну я учился в физ мат школе мы этим пользовались предварительно доказав на уроке, но во время ЗНО(аналог ЕГЭ) нам надо было как-бы доказывать эти факты. И если не ошибаюсь, то в обычных школах такое редко проходят
Извините, если забиваю тему

[IskanderLocator]

Jedius не знаю может в тетрадке будет по другому, но у тебя не видно одно ребро. У нас это ошибкой было.
Угол правильно изображен

[VEk]

IskanderLocator По поводу задачи 3. Там придется доказывать все факты. А в 1-й задаче очень многие школьники просто ссылаются на теоремы. Кроме того, на ЕГЭ задачи по геометрии практически не решают. Хотя раньше задачи B9 и B10 были достаточно простыми. Вот С4 была хоть немного интереснее. Но ее решал 1 человек на 40 работ (не больше)

[Robot]

Jedius
У нас в эпиграфе есть pay.diary.ru/~eek/p0.htm#more6 ссылка на программу Живая геометрия. Вот тут о ней немножко написано pay.diary.ru/~eek/p27473026.htm

[VEk]

Jedius Хорошо, что появился рисунок. Как связан радиус вписанной окружности и высота пирамиды?

[Robot]

Да, угол правильно изображен, только в решении надо будет писать нечто такое: проведем KN⊥CD, соединим N c O, тогда по т. о 3 перп. ON⊥CD, угол ONK - линейный угол двугранного угла при основании и потому равен альфа.
KN является высотой боковой грани, KO - высота пирамиды - это то, что мы хотим найти.
Угол есть, нужен еще один линейный элемент в треугольнике KON
Нет никаких соображений по этому поводу?

[IskanderLocator]

Спасибо. Задачи планиметрические у вас в ЕГЭ намного интересней наших. Над вашими хоть думать немного надо, а над нашими нет. Кстати, еще вопрос на будущее(а то как помогать если этого не проходят например) используется ли в школе формула в частности для задачи 1) Sбок=Sосн/cos(угла ONK)

[Robot]

VEk
Чтобы мы друг другу не мешали - я может быть пока уйду в тень?
IskanderLocator
Используется

[VEk]

IskanderLocator Да. Теорема об ортогональной проекции многоугольника доказывается в школе.

[VEk]

Robot Давайте, лучше я уйду. Тем более, что мои последние комментарии - беседа с товарищем с Украины

[Jedius]

Robot спасибо.
VEk они перпендикулярны и образуется прямоугольный треугольник KON

[Robot]

VEk
Вы лучше школьную программу знаете
Например, в третьей я не помню точно на что сослаться для доказательства того, что боковое ребро ВS перпендикулярно основанию

[VEk]

Robot Ладно, подключаюсь снова.
Jedius В треугольнике KOH известен острый угол. Надо найти один из катетов. Подумайте, каким образом это можно сделать?

[Jedius]

VEk
Единственное что я сделал тут это нашел отношение h и hбок (не знаю поможет это или нет)
sin(альфа)=h/hбок => hбок*sin(альфа)=h
что еще делать и что тут можно найти я не знаю(т.к. в этом треугольнике 3 стороны неизвестны) или можно как то выразить радиус через а?

[VEk]

Высота боковой грани у Вас неизвестна. Но можно найти катет ON - это радиус вписанной окружности. Он определяется только параметрами ромба (которые известны). А уже затем искать второй катет (высоту пирамиды) и гипотенузу (высоту боковой грани)

[Гость]

Jedius Можно использовать формулу S=p*r.

[Jedius]

r=(d1*d2)/4a, где d1 и d2 диагонали ромба
Sромба=(d1*d2)/2 => 2Sромба=d1*d2
r=2S/4a=S/2a
r=a^2*sin(альфа)/2a=a*sin(альфа)/2
tg(альфа)=h(OK)/r(ON) => h=tg(альфа)*r=tg(альфа)*a*sin(альфа)/2
пока решение правильное?

[VEk]

Jedius

r=a^2*sin(альфа)/4a

Вы вывели, что в числителе должно стоять 2S, а здесь у Вас только одно S. Подправите, будет правильно.

[Robot]

Единственное, что через диагонали долго
Можно еще так: 2r - диаметр вписанной окружности и одновременно высота ромба и можно показать, что 2r/a=sin(aльфа)

[Jedius]

исправил.
Дальше по теореме Пифагора hбок=(h^2+r^2)^(1/2)=(a^2*sin^2(альфа)(tg^2+1)/4)^(1/2)=(a^2*sin^2(альфа)*(1/cos^2(альфа))/4)^(1/2)=a*tg(альфа)/2