Исследование ф-ии.

[Kreygi]

@темы: Ряды, Исследование функций

Comments

[Kreygi]

I
ООФ x-1,1)
График проходит через начало координат.
Ф-ия не чётная и не нечётная.
На интервалах от (-оо,-1) и (1,+оо) ф-ия убывает.
На интервале (-1,1) ф-ия возрастает.
Первая производная= 2/(1-x^2)
Вторая производная= -4x/((1-x^2)^2)
Точка x=0 принадлежит ооф. Как определить по этому выпуклость?
Асимптоты...?


II.
Поиском ничего подобного не нашёл, прослюнявил антидемидовича и запорожца и всё равно не понял нифига...
Нужно найти первые и вторые частные производные? Что тогда потом с ними делать?

III.
Разбивал на дроби (x-3) (x-3) (x^(2)+1)
но потом, приводя к общ. знам. получается ерунда.

[VEk]

Зад.1 Функция нечетная. Как она может убывать на (-inf; -1) если она там не определена? В 1-й производной лишняя 2. Во второй производной неверный знак и лишняя 2. Для определения выпуклости посмотрите знак второй производной на участках (-1;0) и (0;1)
Зад.3 Не понял, на какие дроби Вы разбивали? Должны быть дроби A/(x-3), B/(x-3)^2, (Cx+D)/(x^2+1). Все получится, если делать аккуратно.

[VEk]

Зад.2 Найдите в учебнике формулу Тейлора для функций многих переменных, вычислите частные производные 1-го и 2-го порядка в заданной точке и запишите результат.

[Alidoro]

Раз уж вы вспомнили про Антидемидовича,

2. Антидемидович т. 2, с. 188, пример 181 похожий на ваш, правда там до четвертого порядка надо, а у вас проще - только до второго.

3. Не получается, потому, что надо делать по теории. Антидемидович т. 1, с. 221, начало параграфа 2 - там есть теория, дальше куча примеров. Правда там примеры на вычисление интегралов, но все они сводятся к разложению на простейшие дроби. Чисто алгебраический подход читайте у Фаддеева Лекции по алгебре с. 185.

[Robot]

elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node12.... - и вот здесь есть про разложение на простейшие дроби

[Kreygi]

И правда...
Меня, видимо, смутило это www.wolframalpha.com/input/?i=plot+0.5%2Aln%28%...
С производными не понял... лишняя 2ка в числителе?
(1-x)/(1+x) * [(1+x)(1-x)' + (1+x)'(1-x)]/((1-x)^2) = (-1-x+1-x)/((1+x)(1-x)) = (-2x)/(1-x^2) Вот так вот получилось)

В 3 зад. брал дроби A/(x-3) B/(x-3) C/(x^(2)+1)
В Вашем случае для A получается 4 степень. Её приравнивать к нулю, я так понимаю?

Первые производные:
f(x)=(2y^(2)e^(2xy)+y)dx
f(y)=(e^(2xy)+2yxe^(2xy)+x)dy
Верно?)

[VEk]

лишняя 2ка в числителе?

А 1/2 перед логарифмом?

для A получается 4 степень.

Почему четвертая степень? Найдите аккуратно общий знаменатель и дополнительные множители.
В производных dx не присутствует.
На Wolfram указано, что при |x| > 1 изображена мнимая часть

[Kreygi]

Совсем забыл про ту 1/2. Получается, значит: -x/(1-x^2)
Тогда вторая производная: [-1+x^(2)-2x*(-x)]/(1-x^2)^2 = (3x-1)/(1-x^2)?

3 Зад. Вторые производные:
f''(x)=4y^(3)e^(2xy)
f''(y)=2xe^(2xy)+2xe^(2xy)+4x^(2)ye^(2xy)
Если верно, то что с этим барахлом делать?

ps: Robot, всё хорошо?

[VEk]

Нет, Первая производная стала неверной. Ваш первый результат надо было просто умножить на 1/2.
Честно скажу, что проверять, как Вы берете производные, не хочется (о задаче 3) Первые производные были взяты верно (кроме dx). Вторые производные по x и по y взяты верно. А смешанную производную второго порядка кто будет брать? После вычисления производных подставьте в них заданную точку и запишите ряд

[Kreygi]

С разложением разобрался, спасибо.

Смешанную производную второго порядка? Хм.. никогда подобными вещами не занимался, более того, впервые о таком слышу)
Сейчас покопаюсь, но буду рад на прямую ссыль)
Вот чесно, нифига не понимаю в какой последовательности писать этот ряд. Слишком умная формула в книге. Не для моих опилок...

Почему то у меня упорно получается в числителе (-х)... Не могу найти ошибку.

[VEk]

Смешанная производная берется сначала по одной переменной, а затем по другой. Если функция достаточно хорошая, то порядок взятия не играет роли (у Вас как раз такая).

[Kreygi]

Ну это, как я понял, произведение частных производных?
Т.е. f'(x,y)=f'(x)*f'(y)
Угу?

[VEk]

Нет. Если Вы взяли первую производную по x, то вторую надо брать от полученной производной по y. (можно в обратном порядке, сначала по y, а затем по x)

[Kreygi]

Ммм... Круто.
Как она записывается? f'(x,y)?
f'(x)=4y^(3)e^(2xy) f'(??)=12y^(2)e^(2xy)+8xy^(3)e^(2xy)
С f''(x) тоже самое делать надо?

[VEk]

Записывается f'' и внизу порядок взятия, например xy. Что-то она у Вас неправильно взята. Надо только найти эту производную.

[Kreygi]

Так.. Я тут совсем уже запутался.
Вторая производная f''(x)=4y^(3)*e^(2xy)
Смешанная производная берётся из этой только по y? Соответственно x-const.
Тогда получается, что f''(xy)=(4y^(3))'*e^(2xy)+4y^(3)*(e^(2xy))' = 12y^(2)e^(2xy)+8xy^(3)e^(2xy)
Вроде так и получается...

[Robot]

Kreygi
Прежде чем приступать к таким заданиям, надо, по кр. мере, знать, что такое смешанная производная и как она берется и обозначается. А то вы мучаете VEk уже столько времени.
Руководства по решению задач ("Решебники" по высшей математике)
Черненко, например, том 1

А вот здесь похожее задание
elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node75....

[VEk]

Смешанная производная берется от первой, от f'(x) в Ваших обозначениях по y.

[VEk]

Robot все нормально. Мы идем к цели, медленно , но идем

[Robot]

Смешанная производная f''_xy - это есть производная по у от первой производной по х

VEk
Я очень прошу не отвечать, пока Kreygi не ознакомится с теорией

[Robot]

Мы идем к цели, медленно , но идем

VEk
Но за счет потерянного Вами дня.
А должны быть так: человек читает теорию - ведь куча источников и книг, и лишь затем обращается за проверкой или с непонятками.
А вы фактически читаете ему лекцию по частным производным.
Это не наша задача.

[VEk]

Robot Хорошо, буду ждать, пока товарищ не получит правильную производную. Но потом еще придется писать дифференциал второго порядка в точке. Вот уж это, наверное, будет проблема

[Kreygi]

Robot,
В том то и дело, что источников куча, и просмотрев несколько, где нифига не понял, сразу же отчаиваешься.
Извините, если я как то действую не по правилам вашего сообщества.

[VEk]

Kreygi Так Вы вторую-то призводную правильно возьмите. У Вас есть первая производная по x. Вычислите от нее производную по y. Это же несложно.

[Kreygi]

VEk
Не сложно: 4ye^(2xy)+4xy^(2)*e^(2xy)+1

[Robot]

Я дала ссылку на похожий пример
elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node75....
и дала ссылку на учебник, где разбирается нахождение частных производных высших порядков
Это вполне конкретная информация.

[Kreygi]

Robot,
дали, спасибо, но и не упустили лишнюю возможность покритиковать меня.
Другое дело, если бы в первых сообщениях была бы такая же ссылка, возможно и не было бы всего этого.
Теперь же товарищ VEk уже слёзно умоляет меня найти производную. Как я могу отказать?)
Вопщем, мне уйти с этим примером в тень, или мы можем продолжить?

[VEk]

Kreygi Вот видите, получили. Теперь надо записать первый и второй дифференциалы функции в заданной точке. А потом формула Тейлора: f(x,y)~=f(x0;y0)+df(x0;y0)+1/2!*d2f(x0;y0)

[Robot]

предупреждая упреки, что я с опозданием даю ссылки, даю сразу более развернутую формулу
elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node73....
Она в самом конце
Там n=2
х1=х
х2=у

[Kreygi]

Robot,
воистину отомстили))