отображения

[Errin]

Дня доброго.
У меня 2 вопроса:

решено

1) Нужно найти отображение области arg z [pi/4; pi/2] функцией w=(z-i)/(z+i). Теория говорит мне, что должно быть две окружности. Одна получилась, а вторая, исходя из моего решения - нет. Т.е. при x=0 (Oy) Rez=0, а меня тогда будет прямая.

2) Область, ограниченную окружностями |z-1|=1, |z+1|=1 с разрезом по лучу 2<=x<беск. Отобразить на верхнюю полуплоскость.
Подозреваю, надо использовать функцию Жуковского. Но..ээ.. как?

обновление
В общем, применила я указанную в комментариях 1/z, результаты и мои дальнейшие мысли на рисунке. я не дура, но тфкп не дается принципиально, кажется

картинка

Насчет экспоненты: я так понимаю, что с ее помощью область отобразится верхнюю полуплоскость. Но какой тогда разрез будет?
Сейчас вот дошло, что, наверное, нужно было не коэффициент 2пи делать, а пи. Нет?

И еще мысль. Я наткнулась в книжках на метод через симметричные точки. Может быть, здесь оно проще будет? но я не поняла, как находить коэффициент k из формулы

сроки: желательно за сегодняшний вечер-завтра утро.

запись создана: 01.12.2009 в 10:20

@темы: ТФКП

Comments

[Гость]

Да, в случае угла Pi/4 там окружность с уравнением y = 1-+sqrt(2-x^2)
А в случае угла Pi/2 там прямая w=(-r+1)/(-r-1)
Я решал через тригонометрическую форму, т.е. по-другому и ответ сошелся.
А что за теория, которой это противоречит?

P.S. Интересно посмотреть, во что будут переходить прямые при угле (Pi/4,Pi/2), но это уже дома.

Trotil.

[Alidoro]

Интересно, что wolframalpha и здесь может оказаться полезен.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(z%2Bi)/(z-i)

[Errin]

Trotil, попробую отыскать теорию. Мне 2 раза преподаватель говорил, что должна быть окружность. По идее, это ведь тоже должна быть область, так? А получится что окружность, рассеченная прямой? Бред.
А насчет второй задачи есть хоть что-нибудь? меня, если честно, в ужас вгоняет область+ разрез. что делать? хоть книги какие-нибудь с аналогичными примерами.. посоветуй, пожалуйста.

Alidoro занятно, спасибо.

[Гость]

По идее, это ведь тоже должна быть область, так? А получится что окружность, рассеченная прямой? Бред.

Вот поэтому я и предложил взять промежуточные углы и посмотреть, что происходит. У меня на работе недостаточно технических средств, а вручную нет времени.

[Гость]

А насчет второй задачи есть хоть что-нибудь? меня, если честно, в ужас вгоняет область+ разрез. что делать? хоть книги какие-нибудь с аналогичными примерами.. посоветуй, пожалуйста.

Задачи такого типа мы не решали, и я не помню, чтоб они попадались мне... Увы.

Trotil.

[Alidoro]

> Мне 2 раза преподаватель говорил, что должна быть окружность.
Но может быть и прямая, которая в данном случае рассматривается как частный случай окружности, проходящей через бесконечно удаленную точку. На сфере Римана (при стереографической проекции) прямая ничем не отличается от окружности. В вашем случае отображается луч, поэтому образом будет часть окружности или часть (луч) прямой.
Вторая задача тоже на дробно-линейное преобразование. Примените 1/z и точка 0,0 уйдет в бесконечность, а ваши окружности превратятся в параллельные прямые (точки окружности |z|=1 остаются на месте). Ваша область превратится в полосу между этими прямыми с небольшим надрезом. Дальше вы, наверно, уже знаете.
Дробно-линейное преобразование (az+b)/cz+d) очень подробно изучается в некоторых учебниках по комплексному анализу. Из тех, где я видел могу назвать:
Привалов гл. III
Шабат Введение в коплексный анализ.
Наверняка можно найти и в современных учебниках, но я их не знаю. В Антидемидовиче есть книга с разбором упражнений.
Есть брошюра для школьников, посвященная инверсии http://publ.lib.ru/ARCHIVES/P/''Populyarnye_lekcii_po_matematike''/''PLM'',v.44.(1966).[djv].zip

[Errin]

Кажется, начало получаться.
Спасибо огромное!!!

[Alidoro]

Я хочу поправиться. Кое-что неправильно написал.
На самом деле точки окружности |z|=1 остаются на месте при инверсии. А отображение 1/z это не только инверсия, но и дополнительное отражение относительно действительной оси. Так что сама окружность останется на месте, а ее точки зеркально отразятся.
Правда, это не мешает правильно определить те прямые в которые перейдут ваши окружности при отображении 1/z. - берем точки пересечениях ваших окружностей с единичной окружностью и соединяем их прямой.