воскресенье, 29 ноября 2009
12:17

Линейные операторы.

все записи пользователя в сообществе Tereter
Здравствуйте!
Нужен совет как решить одно задание из контрольной по линейным операторам. (Алгебра, 2-ой курс).

Идей совершенно нет...
Пространство поворачивается относительно наклонной прямой, на 30 градусов, нужно найти коэффиценты разложения P(i), P(j), P(k) по старому базису {i, j, k}... совсем не понятно, как это делать :) и еще, как я понимаю, координаты начала координат после поворота не изменяться относительно старого базиса (0,0,0), т.к. ось поворота проходит через эту точку?
Заранее спасибо!

@темы: Линейная алгебра

URL
Комментарии
29.11.2009 в 13:59

Alidoro
Идея может быть такой.
Постройте какой-нибудь ортогональный базис, первый вектор которого идет вдоль оси поворота. Зная координаты векторов этого базиса в старом базисе вы будете иметь в матричном виде оператор Q, которые переводит векторы старого базиса в векторы нового. После этого перемножением матриц найдите операторы и где R_1 и R_2 повороты на 30 и на -30 градусов вокруг координатной оси x. Из этих операторов выберите тот, который дает положительную проекцию в соответствии с условием в задаче.

В тройных произведениях операторов я ошибся порядком. Порядок должен быть обратным.
URL
29.11.2009 в 15:28

Tereter
Огромное спасибо за помощь... вроде хоть что-то стал понимать :)
Сейчас ищу ОНБ. Вектор, который идет вдоль оси поворота это направляющий вектор оси, координаты (1, 4, 8). В качестве других векторов я взял i и j (полагаю выбор других векторов не важен?).
Теперь, получается, ортогонализирую и нормирую базис {i+4j+8k, i, j}. Это верно?

И еще, я не совсем понял с продолжением... Как я понимаю, получается Q - это м-ца перехода из "обычного" базиса, в ОНБ, получивщийся после поворота... Теперь нужно найти матрицу оператора P, в новом базисе, для этого нужна ваша формула... но я не совсем понимаю, почему R_1 и R_2 повороты именно вокруг оси x, и как их определить? :)
URL
29.11.2009 в 15:53

Tereter
Попробовал найти операторы поворота (R) вокруг оси x (угол пока пусть будет a)...
Если по часовой стрелке, то R(i) = (1; 0; 0) , R(j) = (0; cos(a); -sin(a)), R(k) = (0; sin(a); cos(a))
Если против, то R(i) = (1; 0; 0) , R(j) = (0; cos(a); sin(a)), R(k) = (0; -sin(a); cos(a))

Это верно? Или я куда-то не в ту сторону думал...?
URL
29.11.2009 в 16:47

Alidoro
Если у вас задача на операторы, то нужно работать в терминах матрицы оператора. А от матриц перехода надо уйти. Базис в котором выражаются все вектора и операторы у нас один - исходный базис. Второй базис, который вы строите, тоже базис, но его можно даже так не называть. Никаких координат в этом новом базисе мы не вычисляем и как базис не используем. Его вы вычислили неправильно. Первый вектор надо сделать единичным (нормализовать). Остальные векторы также должны быть единичной длины, но, главное, перпендикулярны первому (и между собой, естественно). Эта тройка ортонормальных векторов будет образами базисных векторов и значит составлять столбцы матрицы оператора. Поскольку векторы нового базиса ортонормальны, матрица операторов будет ортогональная, то есть получить из нее обратную матрицу можно обычным транспонированием.

Теперь у вас всё готово. Сначала переводите прямую из задачи в ось x оператором Q^{-1}, потом делаете поворот вокруг x и потом оператором Q возвращаете ось x на прежнее место - это перемножение матриц.

Матрица оператора поворота верная.
URL
29.11.2009 в 17:14

Tereter
Alidoro, ясно спасибо... наконец-то понял... :)
задачу решил...
URL