воскресенье, 22 ноября 2009
02:58

Хитрые собственные векторы и собственные значения

все записи пользователя в сообществе Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Нужно найти собственные векторы и собственные значения:
Оператора X -> Х^T ( Х трансопнированное) в пространстве Мn(R);

Ответ такой : Ненулевые симметрические и кососимметрические матрицы; {1,-1}

Ну с сосбтвенными векторами всё понятно, собственные значения 1 и -1 действительно, вычисляются на примерах, для n=2 и n=3 я не поленился и посчитал:
Вот тут
Действительно так и получается, но как доказать это в общем случае для n?


Может быть есть какой-то простой путь это делать которого я не вижу?

Заранее огромное спасибо тем кто не полениться подумать над этим заданием! Пишите любые ваши мысли, даже если вы не уверненны в их правильности, может они подтолкнут к решению. Срок до ночи воскресенья.

@темы: Линейная алгебра, Высшая алгебра, Линейные преобразования

URL
Комментарии
22.11.2009 в 10:12

Trotil
Интересный пример!
Попробуй по-другому занумеровать матрицу. Так, чтобы матрица 3x3 содержала в себе матрицу 2x2. Тогда там вылезет интересная закономерность, матрицу которой можно будет подсчитать для любого n.
URL
22.11.2009 в 10:32

Trotil
В итоге у меня свелось к вычислению для

10000..00
00100..00
01000..00
00001..00
00010..00
..............
00000001
00000010
URL
22.11.2009 в 16:14

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Да вот я так и думал, но закономерность сложновато получается( Может как-то вообще можно абстрагируясь от матриц это сделать?
URL
22.11.2009 в 16:15

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Тем более видеш, тут для n=2 уже 4 на4 для n=3, 9 на 9 а дальше страшно представить вообще)
URL
22.11.2009 в 16:23

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Iamurlak
u-mail получил?
URL
22.11.2009 в 18:37

Trotil
Iamurlak

Да ничего сложного, только аккуратно расписать...
Начнем с маленького: найти собственные значения такой вот матрицы:

10000..00
00100..00
01000..00
00001..00
00010..00
..............
00000001
00000010

Она сводится к матрице размера (n-2)x(n-2).
URL
22.11.2009 в 21:04

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Iamurlak u-mail получил? Ага ;)
Trotil, Сейчас буду пытаться расписывать но чтото всё-таки тут не так(
URL
22.11.2009 в 21:50

Trotil
Что-то долго пробуешь.

Я пошел, а тебе и на dxdy небось помогут ;)
URL
22.11.2009 в 21:56

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Игорь, это я посоветовала обратиться на dxdy
Так что не уходи, одна голова хорошо, а две лучше.
URL
22.11.2009 в 21:58

Trotil
А зачем? Я задачу решил.
Ладно, тогда остаюсь :)
Правда, не знаю, на сколько.
URL
22.11.2009 в 22:01

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Извините Игорь, не хотел вас обидеть :(
Там предложили действительно отличный ход, получается что для |A^2-l*E|=0 A^2 = E => L = 1 а если 1 корень, то и -1 корень. Так? Но, для любой ли матрицы А получится что А^2 = E?
URL
22.11.2009 в 22:06

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Ну в прицнипе да, это даже очевидно что оно так, просто из за устройства матрицы.
URL
22.11.2009 в 22:11

Trotil
Iamurlak

А мне не совсем понятен их совет... Просто, когда решаешь в одном направлении, сложно переключиться на другое :D

Так вот, в первоначальном направлении где застрял?
URL
22.11.2009 в 22:22

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Честно говоря в первоначальном,я просто не очень понимаю как это всё представлять в записи( Друг, как то сделал по вашему своету, но у меня так мыслить не получается( Я был бы очень благодарен, если бы вы описали процес более подробно, если вам не сложно!
URL
22.11.2009 в 22:44

Trotil
Смотри:

сначала тренеруешься с той матрицей, что я написал. Она имеет определенную структуру. Пусть нам нужно найти данные для такой матрицы, хоть например определитель. Пусть он равен An (формула от n). Разложив определить пару раз мы получим матрицу (n-2)x(n-2), которая имеет такую же структуру. Поэтому можно записать An = g(n)*A_(n-2) - реккурентное уравнение, в данном случае оно примет довольно простой вид, что можно догадаться, как выглядит сама формула An. Да, способ требует, чтобы найти А1 (а еще лучше и А2 вручную). Аналогично и для собственных чисел и векторов...
URL
23.11.2009 в 00:31

Iamurlak
В моих зрачках - лишь мне понятный сон. В них мир видений зыбких и обманных, таких же без конца непостоянных, как дымка, что скрывает горный склон.
Спасибо заподробное разъяснение! Я всё-таки попробую так сделать :)
URL