[noil]

Задания на решение систем. (посмотрите так ли)
ТИПОВЫЕ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Разработано МИОО
И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.
Захаров

I вариант C1

I вариант. C1
3^y + 2cosx=0,
2(sinx)^2 - 3sinx-2 = 0.

1) Решим уравнение 2(sinx)^2 - 3sinx-2 = 0
Замена t=sinx, |t|<=1
2t^2 - 3t-2 = 0
D=25
t_1,2=(3 +- 5)/4
t_1=-1/2
t_2=2 - не подходит, т.к. |t|<=1
2) Найдем x
sinx=t_1
sinx=-1/2;
x=-Pi/6 + 2Pi*n, n in Z,
x=-5Pi/6 + 2Pi*n, n in Z
3) Рассмотрим 3^y + 2cosx=0
3^y=-2cosx -> cosx<0
при x=-Pi/6 + 2Pi*n, n in Z | cosx=sqrt(3)/2 - не подходит
при x=-(5Pi)/6 + 2Pi*n, n in Z | cosx=-sqrt(3)/2 - подходит
4) Найдём y при cosx=-sqrt(3)/2
3^y=-2*(-sqrt(3)/2)
3^y=sqrt(3) -> y=1/2
Ответ: {(-(5Pi)/6 + 2Pin ; 1/2)|n in Z}

III вариант С1

III вариант С1
x^2=8siny+1,
x+1=2siny

1) Из x+1=2siny выризим siny
siny=(x+1)/2
2) Подставим siny в 1-е ур-е системы (x^2=8siny+1)
сразу сосчитаем, преобразуем и перенесём всё в одну часть.
Получим x^2-4x-5=0
Найдём его корни по теореме Виета
x_1=-1,
x_2=-5 - видим, что не подходит т.к. |siny|<=1 ,а у нас после подстановки siny=3
Значит x_1=-1
3) Найдём y
после подстановки в любое из ур-ий находим, что siny=0
-> y=Pi*n, n in Z
Ответ: {(-1;Pi*n)|n in Z}

V вариант С1

V вариант С1
cosysqrt(sinx)=0,
2(sinx)^2=2(cosy)^2+1

1)Из 1-ого ур-я системы 0<=sinx<=1
2) Заметим, что cosysqrt(sinx)=0
Значит либо sinx=0, либо cosy=0
sinx=0 -такого быть не может, т.к. ур-е 2(cosy)^2+1=0 не будет иметь решений.
-> cosy=0, y=Pi/2 + Pi*n, n in Z
3) Когда подставим во 2-е ур-е системы, преобразуем его, получим (sinx)^2=1/2
sinx=-sqrt(2)/2 - т.к. 0<=sinx<=1
-> sinx=sqrt(2)/2
x=(-1)^kPi/4+Pi*k, k in Z
Ответ:{((-1)^kPi/4+Pik; Pi/2 + Pi*n)|n,k in ZZ}

VII вариант С1

VII вариант С1
4(cosx)^2-4cosx-3=0,
sqrt(y^2-y-3)+2sinx=0.

1)-1<=sinx<=0 - видно из 2-ого ур-я системы
2) Решим 1-е ур-е системы (4(cosx)^2-4cosx-3=0`)
t=cosx, |t|<=1
Решим квадратное ур-е
4t^2-4t-3=0
D=64
t_1,2=(4 +- 8)/8
t_1=-1/2
t_2=-1.5 - |t|<=1
3)Найдём x
cosx=t_1
x=(2Pi)/3+2Pi*n, n in Z - т.к. -1<=sinx<=0
x=-(2Pi)/3+2Pi*n, n in Z
4) Найдём y
Подставим x в sinx и подставим sinx во 2-е ур-е системы.
Сделав все преобразования получим
sqrt(y^2-y-3)=sqrt(3)
Возведём в квадрат и получим
y^2-y-6=0
По теор. Виета корни
y_1=-2 и
y_2=3
Ответ: {(-(2Pi)/3+2Pi*n; -2)|n in Z}u{(-(2Pi)/3+2Pi*n; 3)|n in Z}

IX вариант С1

IX вариант С1
xtgy=9,
xctgy=3.

Область определения: у!=Pik/2
1)Найдём x
Выразим из 1-ого ур-я сист. tgy
tgy=9/x при том, что x!=0
Заметим, что ctgy=1/(tgy),
пользуясь этим определением подставим tgy=9/x во второе ур-е сист. (x/(tgy)=3) и получим
x^2=27
откуда x=+- 3sqrt(3)
2)Найдём y
Подставим получившийся x в 1-е ур-е сист.
Получили tgy=sqrt(3) для x=3sqrt(3)
откуда y=Pi/3 + Pi*k, k in Z
и tgy=-sqrt(3) для x=-3sqrt(3)
откуда y=-Pi/3 + Pi*k, k in Z
Ответ: {(3sqrt(3); Pi/3 + Pi*k, k in Z)|k in Z}u{(-3sqrt(3); -Pi/3 + Pi*k, k in Z)|k in Z}

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства, ЕГЭ

Comments

[к.черный]

V вариант С1

...
если sinx=0, то после подстановки во второе уравнение, получим:
2(cosy)^2+1 = 0 ур-е решения не имеет
...

[Robot]

ой, ребята, вы сегодня прямо стахановцы, что  zholga, что ты,  noil

Вот кончатся у вас каникулы и останемся мы без помощников

Я пока только первый посмотрела
Все правильно, только я люблю по кругу отбирать
Вот смотри: у нас sinx=-1/2
А нам нужен отрицательный косинус
Мы чертим тригонометрический круг, синус - это ордината точки тригонометрического круга, значит, находим две точки, у которых ордината равна -1/2
Косинус - это абсцисса точки триг. круга
Поэтому смотрим, для какой из точек абсцисса отрицаельна
==
Вообще в тригонометрии тригонометрический круг - это волшебная вещь!

[noil]

к.черный - спасибо, поправил (по крайней мере я на это надеюсь), а то у меня там действительно было написано нечеловеческим языком.

[noil]

Вообще в тригонометрии тригонометрический круг - это волшебная вещь!

- во истину так! Большое спасибо... И сам учусь, и другие учатся - у нас топик "как правильно и легче делать" получается - мне это очень нравится! Спасибо ещё раз Всем Вам.

[Robot]

VII вариант С1
sqrt(y^2-y-3)=sqrt(3)
Вот здесь смысла нет находить область определения. Все корни автоматически будут в нее входить (тем более ты все равно и не проверяешь) - помнишь, мы ж как-то об этом говорили.

IX вариант С1
xtgy=9, xctgy=3.

А вот здесь бы я нашла область определения
у!=Pik/2
А потом перемножила уравнения и получила бы, что x^2=27, откуда x=+- 3sqrt(3)

[Robot]

noil
хватит благодарить))
ты ж сам большое дело делаешь))

[к.черный]

III вариант С1

все правильно, но можно чуть менее многословно.
Можно, как ты, способом подстановки,
а можно умножить второе уравнение на (-4) и сложить уравнения системы.
Но я не об этом...
После решения квадратного уравнения мы получаем 2 системы (т.е. исходная система равносильна совокупности систем)
{x = -1,
{x+1=2siny;
и
{x=5,
{x+1=2siny.
Вторая система решения не имеет, а первая имеет решение:
{x=-1,
{y = pi*n

[noil]

Robot, мне исправить?

[Robot]

noil
Ну, там нет ошибки, это просто либо лишнее (о.о.), либо чуть-чуть затянуто)
Смотри сам..

[noil]

Смотри сам..

- надо учиться делать короче, а вот в IX надо область всё-таки указать.

[Гость]

А как в VII варианте получилось:sqrt(y^2-y-3)=sqrt(3)?

[Robot]

Найдём y Подставим x в sinx и подставим sinx во 2-е ур-е системы.

x=-(2Pi)/3+2Pi*n, n in Z
sinx=-√3/2