Планиметрия из Универсальные материалы для подготовки учащихся

[zholga]

Авторы-составители: Высоцкий И. Р., Гущин Д. Д., Захаров П. И., Панферов С. В., Посицельский С. Е., Семенов А. В., Семенов А. Л., Семенова М. А., Смирнов В. А., Шестаков С. А., Шноль Д. Э., Ященко И. В.
Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИЛИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с.

С4.1 Боковая сторона АВ трапеции АВСD равна l, а расстояние от середины CD до прямой АВ равно m. Найдите площадь трапеции.

Решение:
S(AMB)=(AB*MG)/2=(ml)/2
ММ1 – средняя линия трапеции АВСD. Введём обозначения: АD=a, ВС=b, BH=h.
BH1=HH1=h/2, где Н1 точка пересечения высоты ВН и ММ1
S(ABCD)=(a+b)h/2
S(MBC)=(1/2)b(h/2), S(AMD)=(1/2)a(h/2).
S(MBC)+ S(AMD)=(1/2)b(h/2)+(1/2)a(h/2)=(1/2) (a+b)h/2.
S(ABCD)=S(AMB)+ S(MBC)+ S(AMD)
S(ABCD)= (ml)/2+(1/2)S(ABCD)
S(ABCD)=ml

С4.2Диагонали АС и ВD трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕD равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1:3.
Решение:

AD=a, BC=b, H1H2=h, HH1=h1, HH2=h2.
Треугольник AED подобен треугольнику EBC по трём углам.
1. AD – нижнее основание трапеции (AD>BC).
a/b=ED/BE=h1/h2=3/1, b=a/3, h2=h1/3.
(ah1)/2=9, h1=18/a, h2=6/a, h=h1+h2=24/a
S(ABCD)=(a+b)h/2=((a+a/3)/2)*(24/a)=16
S(ABCD)=16
2. AD – верхнее основание трапеции.
a/b=ED/BE=h1/h2=1/3, b=3a, h2=3h1.
(ah1)/2=9, h1=18/a, h2=54/a, h=h1+h2=72/a
S(ABCD)=(a+b)h/2=((a+3a)/2)*(72/a)=144
S(ABCD)=144

C4.3. В треугольнике АВС угол А равен α, сторона ВС равна а, Н – точка пересечения высот. Найдите радиус окружности ВНС.
Решение:
В сообществе ранее (www.diary.ru/~eek/p84521974.htm) доказывалась лемма: Если Н- ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой.
По теореме синусов для треугольника АВС R=ВС/(2 sin BAC)=а/(2sin &alpha.
По лемме R(BHC)= а/(2sin &alpha.

C4.4. В треугольнике АВС угол А равен α, сторона ВС равна а, J – точка пересечения биссектрис. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВJС.

S(BJC)=(1/2)ar, где r-радиус вписанной окружности треугольника АВС. Никак не получается выразить r. Намекните какой-нибудь способ. (Решение в комментах)

C4.5. На сторонах выпуклого четырёх угольника АВСD, площадь которого равна единицы, взяты точки К на АВ, L на ВС, М на СD и N на DА. При этом АК/КВ=2, ВL/LC=1/3, CM/MD=1, DN/NA=1/5. Найти площадь шестиугольника AKLCMN.

Решение:
S(АВСD)=1
S(ABCD)=(1/2)BA*BC*sin B+(1/2)DA*DC*sin D
S(AKLCMN)= S(ABCD)-S(KBL)-S(NDM)=1-(1/2)BK*BL*sin B-(1/2)DN*DM*sin D=
1-(1/2)(1/3)BA(1/4)BC sin B -(1/2)(1/6)DA(1/2)DC sin D=1-(1/12)((1/2)BA*BC*sin B+(1/2)DA*DC*sin D)=1-1/12=11/12
S(AKLCMN)=11/12

C4.6. Около трапеции АВСD описана окружность радиуса 6 с центром на основании AD. Найдите площадь трапеции, если основание ВС равно 4.

Решение:
AD=2R=12, ВС=4.
ОН – высота трапеции. Треугольник ОВС равносторонний. ОН – высота и медиана ОВС. НС=ВС/2=2.
По теореме Пифагора для треугольника ОНС находим ОН=4√2
S(ABCD)=32√2

C4.7. В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и медиана ВD пересекаются в точке F. Найдите площадь четырёхугольника АDEF, если ВС=а, АС =b.

Решение:

C4.8. В трапеции АВСD биссектрис угла А пересекает боковую сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ, если площадь трапеции равна S, АВ=а, AD=b, CD=c, c меньше a.

C4.9. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы, проведённые из вершин А и В, перпендикулярны.

Решение:
1. S(ABC)=S(CA1B1)+S(ABA1B1) (*)
2. Треугольники и АВС подобны, так как А1В1- средняя линия, коэффициент подобия к=1/2
S(СА1В1)/ S(ABC)=1/4,
S(СА1В1) =(1/4) S(ABC) (1)
3. О – точка пересечения медиан, она делит медиану в отношении 2:1, начиная от вершины.
ОА1=х, ОА=2х, ОВ1=у, ОВ=2у, ВА1=2, АВ1=3/2
Треугольники АОВ1 и ВОА1 прямоугольные в них выполняется теорема Пифагора.

S(ABA1B1)=S(ABB1)+S(ВВ1А1)=(1/2)АА1*ВВ1=(3/4)√ 11
4. Подставляем (1) и (2) в (*), получаем S(АВС)= √11

С4.10. Найти площадь общей части двух ромбов, диагонали которых равны 2 и 3, а один ромб поучен из другого поворотом на 90 градусов вокруг его центра.

Решение:
Опускаю доказательство, что фигура симметрична и что S=8*S1, где S – искомая площадь, а S1 – площадь треугольника ОМВ
S(ОМВ)=(1/2)ОВ*МН=(1/2)*1*МН=МН/2
Из доказательства симметричности получим, что ОМ – биссектриса угла АОВ, тогда треугольник ОНМ равнобедренный, ОН=х, МН=х, ВН=1-х
tg АВО=АО/ОВ=3/2, tg АВО= tg МВН=МН/НВ=х/(1-х), х=3/5
S(ОМВ)=3/10
S=8*(3/10)=12/5

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

Comments

[VEk]

zholga Огромное спасибо! Уточните, пожалуйста, из какого издания эти задачи. В моем электронном экземпляре книги планиметрия другая. С уважением к Вам,

[zholga]

VEk

хорошо, я сейчас уточню.

[Robot]

О-о, какой труд!
Оля. спасибо большое!
Я, кстати, тоже сейчас пытаюсь понять из какой книги.
Вроде какие-то пересечения с универсальными материалами))

[zholga]

Исправила

[noil]

Огромное Вам спасибо.

[Robot]

Сейчас добавлю ссылки

[zholga]

Всем большое спасибо. Но у меня две задачи не решины С4.4 и С4.8. За С4.8 я ещё не бралась, а вот над С4.4 думаю который день. Помогите.

[Robot]

Будем думать))

[Robot]

Насчет С4.4
Мы легко можем найти по теореме синусов радиус окружности , описанной около BJC, если будем знать угол BJC
Так как угол А=α, то на два оставшихся угла приходится 180-α. Соответственно на сумму их половинок 90-α/2. Тогда угол BJC будет равен 90+α/2
далее теорема синусов
2R=ВС/sin∠BJC

[Гость]

С4.8
Универсальные материалы для подготовки учащихся.
Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко.

В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает боковую
сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника ABE, если
площадь трапеции равна S , АВ=a,AD=b,CD=с(с<а).



Решение:
1) AE∩DC=K
∠EAB=∠DKE - накрест лежащие при DC∣∣AB и секущей АК
∠EAB=∠EAD - по свойству биссектрисы угла
Из (1) ⇒ADK - равнобедренный, AD=DK=b, CK=b-c
2) ΔCEK~ΔBEA - по двум углам
CK/AB=HE/EH1=(b-c)/a⇒EH=(EH1(b-c))/a
3) Sтрап=((a+c)⋅h)/2
h=2S/(a+c)=HE+EH1
(EH1(b-c))/a+EH1=2S/(a+c)
EH1=2Sa/(a+b-c)(a+c)
4) S(ABE)=1/2⋅EH1⋅AB=2Sa^2/(2(a+b-c)(a+c))=Sa^2/((a+b-c)(a+c))
Ответ: S(ABE)=Sa^2/((a+b-c)(a+c))
Robot Сделай чертеж, плиз, а то я пишу с телефона

[zholga]

Robot

Насчет С4.4

Всё действительно оказалось очень просто. Спасибо!

[Гость]

HH1- высота трапеции проведенная через точку Е

[Robot]

Вставила прямо в запись)
Гость, спасибо!
Да еще с телефона. Я как-то пробовала с телефона, уморилась вся..

[Гость]

zholga Спасибо =)
Robot Приеду, обязательно выложу что-нибудь из С , прорешала почти все, но сомневаюсь в С5, Как здоровье? La Balance

[Robot]

Ой, La Balance, а я думаю, кто ж это))) Волновалась - не знала, куда ты пропала.. Ждем-с!
Здоровье так себе((( Дни тяжелые были.

[aalleexx]

zholga Спасибо за решения!

[Гость]

Здравствуйте!!Очень помогли ваши решения..обращаюсь с просьбой,подскажите Христа ради,как решить задачу:В четырехугольнике АВСD через середину диагонали ВD проведена прямая,параллельная другой диагонали АС.Эта прямая пересекает сторону АD в точке Е.Доказать,что отрезок СЕ делит четырехугольник на равные части по площади.

[Robot]

Обращение к Гостям Зарегистрируйтесь, вступите в сообщество, выложите свою задачу новым топиком

[Гость]

оо..спасибо!!только много чего не понятно!!=))

[VEk]

Гость Если что-то непонятно, можно задать вопрос. См. предыдущий топик от Robot

[Алина Моллок]

Спасибо огромное!!! Очень помогли!!!

[Гость]

[Гость]

Легко можно решить задачу С4. 1, если через провести прямую РЕ, параллельную АВ. Получаем параллелограмм АВРЕ, который равновелик данной трапеции. Найдем площадь АВРЕ, за основание возьмем ВС, а высотой будет перпендикуляр, опущенный из середины боковой стороны, итак, площадь равна lm. Орлова

[Robot]

Да, красиво, только я тут наполовину догадывалась))
Через М, наверное и в качестве основания АВ.

[[email protected]]

zholga большое спасибо!!!!Очень помогло!!

[[email protected]]

Исправь, у тебя ошибка в условии С4.5. Там не CM/ND=1, а CM/МD=1.

[Sensile]

[email protected]
Это опечатка.
Поправила

[Гость]

в задаче C4.6 возможен второй случай решения

[Robot]

Гость
Какой?

[Гость]

объяснитепожалуйста,почему в задаче 2 (ah1)/2=9?