Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
По просьбе krasn, высказанной как у нас, так и на форуме альбеги, начинаю выкладывать задачи С4 из сборника «Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010 (Федеральный институт педагогических измерений)».
Просьба внимательно проверять, критиковать и и обогащать другими способами решения.
Вариант 5 С4
SPI.С4.5.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине В и углом α при вершине А, Точка D — середина гипотенузы. Точка С1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол АС1В.
Положение точки С1 зависит от значения угла А.
Рассмотрим случай, когда α < 45°.
Рисунок ( α < 45)
По свойству медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника AD=BD=DC, а из симметричноcти точек С и С1 следует ВС=ВС1 и DC=DС1, а отсюда равны равнобедренные треугольники BDC и BDС1. Так как ∠ACB=90°-α, то ∠ВС1D=90°-α. Поскольку треугольник BDC - равнобедренный и углы при основании равны 90°-α, то ∠BDC= ∠BDC1=2α, откуда ∠С1DB= ∠BDC+ ∠BDC1=4α. Так как равнобедренным является и треугольник ADС1, а внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним, то ∠DC1A=2α.
Отсюда искомый угол АС1В=90°+α
Рассмотрим случай, когда α > 45°.
Рисунок (α > 45°)
Аналогично предыдущему пункту AD=BD=DC, а из симметричноcти точек С и С1 следует и равенство DC=DС1, откуда AD=DC1=BD. Тогда ∠ADB=∠1=180°-2α, равный ему вертикальный угол СDE, а также угол EDC1равны 180-2α, а тогда ∠СDС1=360°-4α. Используя дважды теорему о внешнем угле треугольника, получаем, что DC1A=180°-2α, а ∠BC1D=90°-α, откуда искомый угол АС1В=90°-α.
Если α=45°, то точка С1 совпадает с точкой А, откуда АС1В=?
Примечания: 1) кажется все очень громоздким
2) вроде как прослеживается параллельность, м.б. она позволила бы получить результат легче
Какие у кого способы?
Я думаю, что самый здесь рациональный способ Гостя. И мой способ весь надо зачеркнуть и стыдливо спрятать куда-нибудь в темное место! Гость, спасибо!
Способ Гостя.
Так как DA=DC1=DB=DC, то точки A, B, C и С1 лежат на одной окружности
После доказательства того, что С1 принадлежит описанной окружности, можно было бы перейти к вписанным в нее углам.
В первом случае получаем AC1B + ACB = 180. Во втором, AC1B = ACB.
Чертеж для первого случая.
Ссылки на разбор и решения остальных задач пособия Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ-2010
Просьба внимательно проверять, критиковать и и обогащать другими способами решения.
Вариант 5 С4
SPI.С4.5.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине В и углом α при вершине А, Точка D — середина гипотенузы. Точка С1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол АС1В.
Положение точки С1 зависит от значения угла А.
Рассмотрим случай, когда α < 45°.
Рисунок ( α < 45)
По свойству медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника AD=BD=DC, а из симметричноcти точек С и С1 следует ВС=ВС1 и DC=DС1, а отсюда равны равнобедренные треугольники BDC и BDС1. Так как ∠ACB=90°-α, то ∠ВС1D=90°-α. Поскольку треугольник BDC - равнобедренный и углы при основании равны 90°-α, то ∠BDC= ∠BDC1=2α, откуда ∠С1DB= ∠BDC+ ∠BDC1=4α. Так как равнобедренным является и треугольник ADС1, а внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним, то ∠DC1A=2α.
Отсюда искомый угол АС1В=90°+α
Рассмотрим случай, когда α > 45°.
Рисунок (α > 45°)
Аналогично предыдущему пункту AD=BD=DC, а из симметричноcти точек С и С1 следует и равенство DC=DС1, откуда AD=DC1=BD. Тогда ∠ADB=∠1=180°-2α, равный ему вертикальный угол СDE, а также угол EDC1равны 180-2α, а тогда ∠СDС1=360°-4α. Используя дважды теорему о внешнем угле треугольника, получаем, что DC1A=180°-2α, а ∠BC1D=90°-α, откуда искомый угол АС1В=90°-α.
Если α=45°, то точка С1 совпадает с точкой А, откуда АС1В=?
Примечания: 1) кажется все очень громоздким
2) вроде как прослеживается параллельность, м.б. она позволила бы получить результат легче
Какие у кого способы?
Я думаю, что самый здесь рациональный способ Гостя. И мой способ весь надо зачеркнуть и стыдливо спрятать куда-нибудь в темное место! Гость, спасибо!
Способ Гостя.
Так как DA=DC1=DB=DC, то точки A, B, C и С1 лежат на одной окружности
После доказательства того, что С1 принадлежит описанной окружности, можно было бы перейти к вписанным в нее углам.
В первом случае получаем AC1B + ACB = 180. Во втором, AC1B = ACB.
Чертеж для первого случая.
Ссылки на разбор и решения остальных задач пособия Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ-2010
-
-
01.11.2009 в 07:36В первом случае получаем AC1B + ACB = 180. Во втором, AC1B = ACB. В третьем, ?
-
-
01.11.2009 в 07:44Думала, чего это они все равны)
-
-
01.11.2009 в 08:23-
-
01.11.2009 в 08:26А там ответ дан, как в первом случае
Доброе утро всем!
-
-
01.11.2009 в 09:10-
-
02.01.2010 в 23:49-
-
05.06.2010 в 18:31∠С1D ,скорее всего ∠С1С
-
-
05.06.2010 в 18:32∠С1DB= ∠BDC+ ∠BDC1=4α тут опечатка
вместо ∠С1DB скорее всего ∠С1DС
-
-
05.06.2010 в 18:35Тут ∠С1DС= ∠BDC+ ∠BDC1=4α