С4 Вариант 8 из Ященко "Самое полное...и.т.д"

[aalleexx]

Добрый день!
С4 Вариант 8 из Ященко "Самое полное...и.т.д"
В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О — центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

Вот мое решение. Интересует более легкое нахождение угла..

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

Comments

[zholga]

Решала эту задачу рассматривая два случая: угол А -острый и угол А - тупой. Ваше решеение более рационально. Спасибо за идею.

[Robot]

А на каком этапе рациональнее?
Например, сразу можно сказать, что угол RОТ= 180- угол ВАС
И если через Н обозначить точку касания вневписанной окружности с ВС, то углы ROB=BOH, TOC=COH и потому угол ВОС=90-альфа/2
сейчас подумаю над остальным
(там описка, наверное, в теореме синусов или надо сразу sin BOC=cos(альфа/2))

[aalleexx]

там описка, наверное, в теореме синусов или надо сразу sin BOC=cos(альфа/2))

Да - описка, я исправил

[zholga]

Внимательнее посмотрела своё решение, я не пользовалась теоремой косинусов, а рассматривала подобные треугольники и использовала свойство: "Сторона ортотреугольника МN отсекает от треугольника АВС подобный с коэффициентом подобия cosA". Отсюда угол А=60. А дальше свойств смежных углов и теорему о сумме углов треугольника. Могу выложу подробнее (нужно набрать).

[Robot]

aalleexx
Хитроумно)) Мне понравилось)
zholga очень здорово!

[zholga]

Сейчас наберу

[aalleexx]

"Сторона ортотреугольника МN отсекает от треугольника АВС подобный с коэффициентом подобия cosA".

zholga - отличная идея, спасибо! Я не знал этого свойства, хотя по сути его и использовал.

[aalleexx]

Например, сразу можно сказать, что угол RОТ= 180- угол ВАС

Robot да, я тут, конечно, перемудрил )))

[zholga]

Я не знал этого свойства, хотя по сути его и использовал.

Сама не знала, пока не стала решать задачи из данного сборника. Наткнулась в инете на исследовательскую работу девятиклассницы Волковой Екатерины Евгеньевны "Ортотреугольник и его свойства".

[Robot]

portfolio.1september.ru/work.php?id=572509
вот эту, наверное, да?
Надо почитать

[Гость]

Можно воспользоваться тем, что треугольник AMN подобен исходному с коэффициентом подобия cos(A) (это используется и в задаче C4 1-го варианта SPI)? тогда сразу получаем 2 значения для cos А.

[zholga]

Robot

Да эта работа.

Гость

прав. Эти свойства используются в нескольких задачах данного сборника.
Помнится в сообществе читала, что в задачах С4 будут использоваться факты, которым уделяется мало времени на уроках, эти свойства одни из них. Хотя их можно и доказать при решении, но пока я их не знала, то с какой стороны подступиться к задаче не знала.

[zholga]

Моё решение:

[zholga]

Тут пришла одна мысль, кажется у

девятиклассницы Волковой Екатерины Евгеньевны в работе "Ортотреугольник и его свойства"

в задаче 1, где доказывается свойство:

"Сторона ортотреугольника МN отсекает от треугольника АВС подобный с коэффициентом подобия cosA"

не рассмотрен случай тупоугольног треугольника. В этом случае коэффициент подобия равен -соsA.
Свойство: Сторона ортотреугольника отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия равным модулю косинуса их общего угла.
Тогда моё решение можно записать как:

[aalleexx]

zholga Вы правы, конечно, но слишком строги к девятикласснице Она и так молодец

[zholga]

aalleexx

я совсем не хотела показаться строгой, действительно она молодец и во многом мне её доклад помог

[krasn]

Девочка конечно молодец и всё это есть в книгах Прасолова, Понарина, Смирновой, но на ЕГЭ, я думаю, подобие треугольников, высоты треугольника являются биссектрисами и т.д. надо доказывать.

[Robot]

krasn
Согласна

[Гость]

почемц именно 2R=cb/sincob поему 2R?

[Robot]

по теореме синусов

[Гость]

я знаю, что это теорема синусов, а при чем здесь 2R, почему оно ровно 2R? Вот это объясните, пожалуйста)

[Гость]

Вспомнил по теореме синусов, если радиус -описанной окружности, то отношения = 2R))

[Гость]

А почему углы СВO и ОВR равны?