[ronann]

Помогите пожалуйста!! Даже незнаю с чего начать.
Вычислить неопределенный интеграл
∫arctg√(6x-1) dx
Вычислить площади фигуры, ограниченных графиками функций.
y= 1/(x√(1+lnx)), y=0,
x=1, x=e^3

@темы: Функции, Интегралы

Comments

[zholga]

1. Сделайте замену перемееной √(6x-1)=у, Дальше интегрирование по частям.
2. Задача сводится к нахождению определённого интеграла от 1 до е^3, от y= 1/(x√(1+lnx)). При нахождении интеграла можно ввести замену t=1+lnx

[Гость]

а можно использовать формулу (arctg u)'=-u'/(1+u^2)
тогда получается (arctg√(6x-1))'=-(√(6x-1))'/(1+(√(6x-1))^2)=-3√(6x-1)/1+(√(6x-1))^2=-3/1+√(6x-1)

[ronann]

а разве можно использовать эту формулу (arctg u)'=-u'/(1+u^2)???

[zholga]

а разве можно использовать эту формулу (arctg u)'=-u'/(1+u^2)???

Гость скорее всего предлагает сразу интегрировать по частям, тоже выход.
Только при нахождении производной Гость что-то напутал.

[ronann]

производную находим по u^n=nu^n-1*u' да????
((6x-1)^(1/2))'=1/2(6x-1)^(1/2)*(6x-1)'=1/2(6x-1)^(1/2)*6=3√(6x-1)????

[zholga]

((6x-1)^(1/2))'=1/2(6x-1)^(-1/2)*(6x-1)'=1/2(6x-1)^(-1/2)*6=3/√(6x-1)

[ronann]

(3/√(6x-1))/1+(√(6x-1))^2=3/√(6x-1)*1+(√(6x-1))^2=4+√(6x-1) ???

[zholga]

(3/√(6x-1))/1+(√(6x-1))^2=3/√(6x-1)*1+(√(6x-1))^2=4+√(6x-1) ???

нет, в квадрат сразу в знаменателе возведите и приведите подобные слогаемые

[ronann]

(√(6x-1))^2=6x-1???

[zholga]

да

[ronann]

3/√(6x-1)*6x=18x√(6x-1)/√(6x-1)=18x ??????

[zholga]

нет

3/√(6x-1)*6x

(3/√(6x-1))/6x=1/(2х√(6x-1))

[ronann]

∫arctg√(6x-1) dx=(1/(2х√(6x-1)))+С так?

[zholga]

нет, вы вообще понимаете для чего мы находили (arctg√(6x-1))'.

Гость скорее всего предлагает сразу интегрировать по частям

Суть метода понимаете???

[zholga]

Посмотрите тут:
www.diary.ru/~eek/p72333766.htm

www.diary.ru/~eek/p70657525.htm

[ronann]

ну вот как бы я понимаю, но просто не могу понять зачем мы все это делали если ∫udv=uv-∫vdu из этой формулы я так понимаю u=arctg√(6x-1) а чему равно dv???

[ronann]

кажется понял du=1/(2x√(6x-1))dx dv=dx v=x тогда получаем
∫arctg√(6x-1)dx=xarctg√(6x-1)-∫ dx/2x√(6x-1)=
Правильно? но тогда мне не понятно как найти ∫ dx/2x√(6x-1)??

[Robot]

ronann У вас интеграл
∫arctg√(6x-1) dx это интеграл вида ∫udv
Если u=arctg√(6x-1), то что остается на долю dv?
Далее вы должны найти du
du=(arctg√(6x-1))'dx=производную вы нашли выше=1/(2х√(6x-1))*dx
теперь вычлените dv, найдите v и используйте формулу ∫udv=uv-∫vdu
===
И теперь еще вот что
Нельзя приступать к решению задач, не ознакомившись с методами и образцами решения.
А такое впечатление, что вы впервые обо всем этом слышите
Скачивайте со страницы Руководства по решению задач ("Решебники" по высшей математике) книги Соболь Практикум по высшей математике и Рябушко часть 1часть2
там изложены все основные методы интегрирования
И начинайте читать
Если последующие вопросы будут свидетельствовать, что книги вы не посмотрели, отвечать вам никто не будет.

[Robot]

Пока я писала, вы уже оказывается частично сделали.
v=x
du=1/(2х√(6x-1))*dx
Когда вы перемножаете vdu, то х у вас сокращается

[ronann]

я не понял ∫ (x/2x√(6x-1))dx=∫ (1/2√(6x-1))*dx????

[Robot]

да

[ronann]

∫ (1/2√(6x-1))*dx=1/2∫ √(6x-1)dx=1/2*2/18(√(6x-1))^3=1/18(√(6x-1))^3

[ronann]

∫ √(6x-1)dx я представил интерграл ∫ √(ax-b)dx=2/3a(√(ax-b))^3 так же можно?

[Robot]

У вас корень был в знаменателе
Интегрируйте вот так
(1/2)∫(6x-1)^(-1/2)dx
не забудьте, что у вас там 6х-1 (то есть внесение под знак дифференциала или замена)

[ronann]

а можно так t=6x-1 тогда 1/2∫ √(6x-1)dx=1/2∫ √t*(dt/6)=1/2*1/6∫ t^(1/2)dt=1/2*1/6 t^(3/2)/(3/2)=1/2*1/9 t^3=1/2*1/9 *t √t=1/2*1/9(6x-1)√(6x-1)

[zholga]

у вас под интегралом степень -1/2, а вы сделали для 1/2

[Robot]

ronann
Заменой можно
Но вы невнимательно прочитали то, что я написала:

У вас корень был в знаменателе
Интегрируйте вот так (1/2)∫(6x-1)^(-1/2)dx<

[ronann]

∫(ax-b)^(m/n)dx=n/(m+n)*a*((ax-b)^(m+n/n))
(1/2)∫(6x-1)^(-1/2)dx=1/2*2/6(6x-1)^(1/2)=1/2*2/6√(6x-1)=1/6√(6x-1)??

[Robot]

Если вот так1/6)*√(6x-1), то да
(только зачем вам запоминать лишние формулы, можно было б заменой или внесением под знак дифференциала)
Еще +С не забудьте и остальную часть формулы

[ronann]

Со вторым можно поступить так? dx/x=d(lnx)
e^3
∫dx/(x√(1+lnx))=∫(d(lnx))/√(1-lnx)=?
1