Олимпиадная математика

[Adjirranirr]

Здравствуйте.

Сегодня, на занятии олимпиадной математики, на котором я внезапно оказался, мне предложили 2 задания. Второе проблем не вызвало, а вот первое оказалось сильным =) Предлагаю эти задачи вниманию заинтересованных.

1. Доказать, что tg(1) — иррациональное число.

2. Пусть в некотором выпуклом n-угольнике никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Найти количество точек пересечения диагоналей.

Если вдруг кто-нибудь знает или догадывается, как решать первое — подскажите, в каком направлении думать? =) (перепробованы разложения в цепную дробь (разложение получилось, доказательство правильности разложения — нет), разложение в Тейлора в нуле (оценить рациональность ряда не удалось =), шаманства с треугольниками и окружностью (упирается в доказательство иррациональности sin(1) или cos(1))).

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Robot]

Вторую по индукции не пробовал?

[Trotil]

mathworld.wolfram.com/Tangent.html

см. (33)

[Adjirranirr]

Вторая тупо в лоб и через суммирование решается. Думаю, можно и по индукции =)

[Trotil]

Вторая - это известная комбинаторная задача, решается через C(m,n)

[Garryncha]

А во второй нужно рассматривать случаи, когда некоторые диагонали параллельны, или когда таких нет? Или это не влияет на решение? Если бы были прямые, а не диагонали многоугольника, то влияло бы.

[Adjirranirr]

Trotil
Разложение tg(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, ...] я и сам нашел. Нужно только его доказать, а где взять литературу, указанную на матворлде, чтобы посмотреть доказательство, я не знаю =)

С(n,n-2)

Это число всех диагоналей, а не пересечений между ними.

Я взял этот ник на волне дурацкого флешмоба
Диагоналю принято считать отрезок, а не прямую, поэтому пересечения имеются ввиду внутри многоугольника. Т.е., непараллельные диагонали могут и не пересекаться.

[Trotil]

С(n,n-2) Это число всех диагоналей, а не пересечений между ними.

Ну да,может быть. А пересечений С(n,n-4) - если мне не изменяет память.

[Adjirranirr]

С(n,n-4)

Что-то около. Я под сочетания не подгонял =)

А, кстати, диагоналей таки C(2, n) – n.

[Trotil]

я и сам нашел. Нужно только его доказать

Если доказать, это будет автоматически доказывать иррациональность?

[Гость]

А n - угольник выпуклый?

[Adjirranirr]

Если доказать, это будет автоматически доказывать иррациональность?

Да.
Если число рационально, то его цепная дробь конечна ⇒ если цепная дробь числа бесконечна, то число иррационально.

А n - угольник выпуклый?

Да. Надо подправить условие =)

[Гость]

Аргумент tg(1) в радианах или градусах?

[Adjirranirr]

В радианах.

[Гость]

Жаль

[Trotil]

Если число рационально, то его цепная дробь конечна ⇒ если цепная дробь числа бесконечна, то число иррационально.

А, ну да, это очевидно, что-то я туплю.

Я разложил в цепную дробь sin(1)/cos(1), где sin(1) и cos(1) разложены до k-ой степени по Тейлору.

k=07: [1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 15]
k=11: [1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 7]
k=15: [1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 12, 1, 51, 2, 1, 2]
(cfrac в maple)

Можно попробовать по индукции дальше, наверное. Если это возможно, я лично не совсем представляю, как.

[Trotil]

gen.lib.rus.ec/get?md5=87263672972FFB00905CB703...

Здесь на стр. 122 (67 djvu) выводится через диффуры.

[*Serg*]

шаманства с треугольниками и окружностью (упирается в доказательство иррациональности sin(1) или cos(1)

Последнее можно доказать с помощью ряда Тейлора (так же, как обычно в курсах матанализа доказывается иррациональность e)

[Гость]

Trotil

Ну да,может быть. А пересечений С(n,n-4) - если мне не изменяет память.

www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id...

Не изменяет

[Гость]

1. Доказать, что tg(1) — иррациональное число.

Достаточно доказать, что tg(r) — иррациональное число, где r - рациональное.

[Диана Шипилова]

Достаточно доказать, что tg(r) — иррациональное число, где r - рациональное.

Это утверждение неверно. Тангенс нуля — рациональное число.

[Гость]

Ну хорошо. r > 0