[Llem]

Помогите, пожалуйста!
Задания олимпиадного типа, на олимпиаду, естественно, не собираюсь, но хочу решить для себя...
А идей по решению нет...
1) Вася округлил 10 нецелых чисел `sqrt(2)`, `sqrt(3)`, `sqrt(5)`, `sqrt(6)`, `sqrt(7)`, `sqrt(8)`, `sqrt(11)`, `sqrt(12)`, `sqrt(13)`, `sqrt(14)` до целых. Часть из них он округлил в большую сторону, часть - в меньшую сторону. Сумма округленных чисел `= 26`. Сколько чисел Вася округлил в меньшую сторону?
2) Три бегуна стартовали по круговой дорожке одновременно с одного места и в одном направлении. Они бегут с постоянными скоростями. Иванов впервые обогнал Петрова через `a` минут, а Петров впервые обогнал Сидорова через `b` минут. Через сколько минут Иванов впервые обогнал Сидорова ?
3) Нет условия =( Точнее, в условии не видно степеней =(
4) В 50 коробках лежат 460 шариков. Разрешается взять из любой коробки ровно 10 шариков, или ровно 21 шарик (если, конечно, это возможно), и переложить их в другую коробку. Оказалось, что с помощью таких операций нельзя собрать все шарики в одной коробке. Как распределены шарики по коробкам ? ( Перечислите все возможности )
5) Приведите пример многогранника, имеющего столько же вершин, ребер и граней, сколько у куба, но не имеющего ни одной четырехугольной грани.


Заранее спасибо!

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

Comments

[Trotil]

1) Какое число получится, если все числа округлить в большую сторону?
2) Тут можно нарисовать и подумать. Поможет еще то, что в случае двух бегунов можно интерпретировать их, как один стоит, другой движется с разностью их скоростей.
3) Какие там степени?
4) самая интересная
5) Для начала нужно вспомнить, сколько ребер, граней и т.д. у куба

[Llem]

Trotil
1) 32... То есть, вдвое больше, чем нужно... Хмм... Может, половину нужно округлить в большую сторону, а половину в меньшую?..
2) Попробую нарисовать..)
3) В первом выражении? Нечетные... Во втором четная... И как это поможет?..

[Trotil]

1) 32... То есть, вдвое больше, чем нужно...

Нужно 26.

3) В первом выражении? Нечетные... Во втором четная... И как это поможет?..

Не, девушка, это не подсказка, мне банально степеней не видно

[Trotil]

4) Начну издалека. Что-нибудь читала про диофантовы уравнения? Или алгоритм Евклида? Там есть полезное свойство, которое косвенно можно использовать в этой задаче.

[Гость]

2) 0 ?

[Гость]

3) Выразить p из урн-я, подставить в нер-во

[Гость]

ПО задаче 2. Что означает, что Иванов обогнал Петрова? Сколько кругов к этому моменту пробежал Иванов, и сколько - Петров? Может эти соображения как-то помогут. Ответ не 0

[Гость]

Иванов впервые обогнал Петрова через a минут. Скорость И больше скорости П. Правильно? Т.е. он обогнал его на старте. a=0. Предполагает ли "обогнал" - "догонял"?

[Гость]

Действительно скорость И больше скорости П. Но обогнать он его мог только тогда когда пробежал на круг больше ( т.е. сначла убежал а потом через лишний круг догнал.

Обе трактовки имеют право на существование. О чем думал автор задачи я не знаю. Задача подготовлена в МИОО. Все может быть.

[Robot]

c2.h5.oh
А откуда вы знаете, что МИОО?
И вообще откуда эти задачи?

Департамент образования г. Москвы
Московский институт открытого образования
Примерные задания школьного тура математической
олимпиады, октябрь 2009
11 класс

math.mioo.ru/

Посмотрите состав оргкомитета.

[Robot]

Увы!
я уже пыталась как-то посмотреть
там требуются логин и пароль
(скажем так: не все присутствующие здесь живут в Москве и не все они учителя)

Robot, проверьте u-mail.

[Гость]

4) Достаточное условие перемещения всех шариков - наличие в одной коробке 20 шариков или в двух по 10. Тогда условие неперемещаемости ...

[Llem]

Trotil

Нужно 26.

Да, верно, обсчиталась...

Не, девушка, это не подсказка, мне банально степеней не видно

ааа) ну тогда: х3 + px + q = 0, 4qx =4) Начну издалека. Что-нибудь читала про диофантовы уравнения? Или алгоритм Евклида? Там есть полезное свойство, которое косвенно можно использовать в этой задаче.
Хммм..) Понятно. Думаю, эта задача не для меня. Не читала)

На счет 2ой задачи... появились мысли, не знаю, правильно ли...
Иванов 1 раз обогнал Петрова через а минут, а Петров за b минут пробежит на 1 круг больше, чем Сидоров. Значит, за ab минут Иванов пробежит на b кругов больше Петрова, а Петров на а кругов больше Сидорова. Значит, Иванов впервые обгонит Сидорова через ab/a+b минут. Не правильно?

[Trotil]

Хммм..) Понятно. Думаю, эта задача не для меня. Не читала)

Свойство там такое: для взаимопростых чисел x,y существуют такие целые a,b, что ax+by=1

Пример: для 5 и 7 можно написать 5*(3)+7*(-2) = 1

Остальное завтра.

[vmindlin]

3) нужно расписать x^3 как x^2*x, дальше все проще)

[Гость]

ну тогда: х3 + px + q = 0, 4qx =4)

Первое уравнение записано верно, а вот второе вовсе не ур-е, а неравенство 4qx меньше или равно p в квадрате .
1) ответ здесь очевиден - 6 округлено в меньшую сторону, а 4 - в большую, но как это доказать...

[Llem]

В общем, в итоге я сделала только второе - ну, как уже писала выше, и пятое... На счет правильности пятого не уверена, но потом спрошу у своей преподавательницы. Спасибо всем огромное за помощь))

[Гость]

А насчет правильности второго уверена? Просто я пробую сделать второе через разность скоростей...пока ничего((

[Llem]

Нет, не уверена... Я ни в чем не уверена) Но как сделать через что-то другое - не знаю. Да ладно, лично я делаю вообще просто для себя, какие уж мне олимпиады...

[vmindlin]

а как 2 сделать?) я так и не понял)
а вот №3 самый легкий имхо) расписать x^3=x^2*x и найти D квадратного уравнения) вот и весь номер.

[Гость]

Хм..любопытно как вы сделали пятую? на мой взгляд решения нет, только нужно это как то обосновать..

[Llem]

На мой взгляд в 5ой нужно только нарисовать) Я нарисовала тетраэдр с такой выемкой треугольным шалашиком (никак не могу вспомнить, как называется) на одном из ребер...

[Гость]

vmindlin собрались Х в степени 3 расписать как Х в степени 2*Х? это как?