Задача по планиметрии

[Garryncha]

Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, как решить задачу.
Условие: Два равносторонних треугольника ABC и CDE (вершины перечислены против часовой стрелки) расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K — середины отрезков BD, AC и CE, соответственно. Тогда треугольник MNK — равносторонний.

Мои попытки решения: MN и MK будут диагоналями параллелограммов, которые получатся, если отметить середины на AB, BD, DC, AC и ED, DB, BC, EC, соответственно. Ясно, что NK — средняя линия треугольника ACE. Если отметить середины CD и CB, то треугольники, которые получатся с вершинами N, C, середина CD и K, C, середина CB — равны.
А что дальше?:-)
Может быть, подскажете, как вам кажется, как лучше доказывать, что MNK — равносторонний, через равенство его углов или сторон?

@темы: Планиметрия

Comments

[Trotil]

Векторное решение нужно?

[La Balance]

По теореме Фалеса ВС||МК||DE , MK=1/2(CB+DE),
аналогично АВ||MN||CD, MN=1/2(AB+CD)
Получается, что MN=KM

[Trotil]

ВС||МК||DE

нефига не параллельны.

[La Balance]

Ошиблась, сорри

[Garryncha]

Trotil, да, нужно, можно любое.

[Гость]

Обозначим серединe BC за P и проведем отрезки NP и PM. Тогда NP=NC, PM=0.5CD=CK и непосредственным подсчетом углов можно показать, что угол NPM равен углу NCK. Отсюда следует, что NM = NK. Аналогично доказывается MK = NK. Извините, что без рисунка.

[Trotil]

Кстати, возможна ситуация, когда MN и MK пересекает две разные стороны разных треугольников, а одну и ту же:



Векторное решение у меня геморройно по вычислениям. Идея заключается в том, что можно выбрать два вектора (в произвольном ортономированном базисе):

AC= a = xa * i + ya * j
CE= b = xb * i + yb * j

выразить через них остальные стороны треугольника (для школьника придется вывести простую несложную формулу) через свойства равностороннего треугольника.

Получим AC, CB, BA, CE, ED, DC. Затем вектора MK (самое простое), KM, MN.
Треугольник равносторонний: вектора имеют одинаковую длину. Что проверяется через a^2 + b^2 координат вектора.

Например, вектор КN будет равен

[ -(1/4)*xb-(1/4)*sqrt(3)*yb-(1/4)*xa-(1/4)*sqrt(3)*ya ] i +
+[(1/4)*sqrt(3)*xb-(1/4)*yb+(1/4)*sqrt(3)*xa-(1/4)*ya] j


Вручную считать муторно, но есть файл maple, я там для облегчения набора считал через матрицы: файл

[Егэ-тренер]

А я от удивления модель нарисовала, подвигала за всякие точки.
И ведь действительно - равносторонний!
egetrener.ru/view_rolik.php?id=45 если интересно))

[Garryncha]

Гость, спасибо, всё понятно!:-) Здорово, что решение без трудоёмких выкладок, не умаляя достоинств решения Trotil и, вообще, такого способа решений.
Trotil, спасибо за идею! Значит, выбираем пару векторов, выражаем через них стороны и через координаты проверяем, что их длины равны — метод понятен, попробую его применить когда-нибудь.:-)
Да, точно, возможна такая ситуация. На твоём рисунке верхний треугольник — ABC, а нижний — CDE. Тут тоже подходит решения Гостя, спасибо за указание.:-)

[Trotil]

sebedash

Очень понравилось

[Garryncha]

sebedash, Здорово!:-) А как это делать?

[Егэ-тренер]

Trotil , спасибо! Делала в "живой геометрии", не могла не поделиться

[Robot]

sebedash
Я когда-то тоже пыталась перенести на ролик, но что-то у меня плохо получалось
С помощью какой программы это делается?