Задачи С2 (варианты 1-5) из сборника Самое полное издание типовых вариантов (ФИПИ)

пятница, 23 октября 2009

17:28

Задачи С2 (варианты 1-5) из сборника Самое полное издание типовых вариантов (ФИПИ)

все записи пользователя в сообществе Robot

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)

Решение задач С2 (варианты 1-5) из пособия:
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. АЛ. Семенова, И.В. Яшенко. — М.: ACT: Астрель, 2010.—93,131 с. — (Федеральный институт педагогических измерений). (Код книги в сообществе SPI)
SPI.С2.1.
В кубе A..D₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.
SPI.С2.2
Ребра AD и ВС пирамиды DABC равны 24 и 10 см. Расстояние между серединами ребер BD и АС равно 13 см. найдите угол между прямыми AD и ВС.
SPI.С2.3.
Основанием прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=20, АС=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ₁, причем ВР:РВ₁=1:3. Найдите тангенс угла между плоскостями А₁В₁С₁ и АСР.
SPI.С2.4.
Основание прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁— треугольник АВС, в котором АВ = АС = 8, а один из углов равен 60°. На ребре АА₁ отмечена точка Р так, что АР: РА₁ = 2 : 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и СВР, если расстояние между прямыми АВ и С₁В₁ равно 18⋅√3
SPI.С2.5.
Основание прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁— треугольник АВС, в котором АC = ВС = 6, а один из углов равен 60°. На ребре СС₁ отмечена точка Р так, что СР: РС₁ = 2 : 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и АВР, если расстояние между прямыми АС и А1В1 равно 18⋅√3.

Решения в комментах. Просьба отписываться, если решение ошибочно, нерационально, содержит опечатки и т.п.
P.S. Вообще в сообществе не практикуется выкладывание полных решений, в данном случае мне нужна просто стартовая площадка для одного из следующих постов

@темы: Стереометрия, ЕГЭ

URL

Разумеется, что тупого и примитивно-понятного языка в ет... Вэсна прышоль - лубит приньос! Всем девушкам гарнизо... Ой, дайлап-дайлаа-аап, Не-е дайлааапь меня-яаа, Не-е ...

Опять нашел в лесу золотой зубик Сусанина, выброшенный на... С утра занимался описанием природы. Особенно понравилось ... Всю жизнь меня мучают мыши - не ездят, сволочи, как надо,...

Комментарии

23.10.2009 в 17:29

Robot

SPI.С2.1. В кубе A..D₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

Проведем диагональ В₁С. Так как в квадрате диагонали перпендикулярны, то В₁С⊥ВС₁. Кроме того, В₁С⊥АВ (теорема о трех перпендикулярах), а поэтому В₁С - перпендикуляр к плоскости АВС₁ (данное обоснование совпадает с приведенным в пособии).
Пусть В₁С пересекает ВС₁ в точке О. Тогда АО - проекция АВ₁ на плоскость АВС₁. Поскольку угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость, то углом между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁ является угол В₁AО.
sin∠В₁AО=В₁О/АВ₁=1/2
Откуда ∠В₁AО =30°.

URL

23.10.2009 в 17:30

Robot

SPI.С2.2
Ребра AD и ВС пирамиды DABC равны 24 и 10 см. Расстояние между серединами ребер BD и АС равно 13 см. найдите угол между прямыми AD и ВС.

Пусть Е - середина ребра АС, F- середина ребра BD, EF=13.
Прямые АD и ВС - скрещивающиеся, а угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Проведем через точку Е прямую EG||BC и пусть G - точка пересечения этой прямой со стороной АВ. Очевидно, что G - середина АВ. Соединим G c F. так как G и F -середины АВ и ВD соответственно, то GF - средняя линия треугольника АВD, а значит, GF||AD. Таким образом, угол между прямыми AD и ВС равен углу между GF и GE, то есть углу FGE.
Учитывая, что GF и GE - средние линии, имеем GF=12, GE=5, откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠FGE=90°.

URL

23.10.2009 в 17:30

Robot

SPI.С2.3.
Основанием прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=20, АС=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ₁, причем ВР:РВ₁=1:3. Найдите тангенс угла между плоскостями А₁В₁С₁ и АСР.

Так как плоскости АВС и А₁В₁С₁ параллельны, то искомый угол равен углу между плоскостями АСР и АВС. Построим линейный угол данного двугранного угла.
Проведем ВО⊥АС (так как треугольник АВС равнобедренный, АВ=ВС, то О- середина АС) и соединим точки О и и Р. Учитывая, что призма прямая и, следовательно РВ⊥плоскости АВС, имеем, что ВО- проекция РО, откуда по теореме о трех перпендикулярах РО⊥АС. Следовательно, угол РОВ - линейный угол двугранного угла между плоскостями АСР и АВС. Его тангенс можно найти из прямоугольного треугольника РВО.
tg∠PBO=PB/BO (BP=(1/4)BB₁, BO находится из треугольника АВО)
Ответ:0,5
Вопрос:
Правильно ли в задаче SPI.С2.3. писать: «Так как плоскости АВС и А₁В₁С₁ параллельны, то искомый угол равен углу между плоскостями АСР и АВС. »
Как в школе пишут?

URL

23.10.2009 в 17:31

Robot

SPI.С2.4.
Основание прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁— треугольник АВС, в котором АВ = АС = 8, а один из углов равен 60°. На ребре АА₁ отмечена точка Р так, что АР: РА₁ = 2 : 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и СВР, если расстояние между прямыми АВ и С₁В₁ равно 18⋅√3.

См. SPI.С2.3. за двумя исключениями:
1) так как в треугольнике АВС АВ=АС, а один из углов равен 60°, то данный треугольник правильный;
2) АВ и С₁В₁ - скрещивающиеся прямые. Расстояние же между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, каковым является отрезок ВВ1 (это дает нам длину бокового ребра, после чего задача сводится к предыдущей).
Ответ: 3
SPI.С2.5.
См. SPI.С2.4.

URL

23.10.2009 в 18:26


Запомнить

Задачи С2 (варианты 1-5) из сборника Самое полное издание типовых вариантов (ФИПИ)

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!