Задача по геометрии ("Шаг в будущее")

[aalleexx]

В одном из вариантов олимпиады "Шаг в будущее" есть такая задачка...
В треугольнике `ABC` площадью 132 и с периметром 66 сторона `AC` равна 30. Внутри треугольника `ABC` взята точка `D`, удаленная на расстояние 2 от прямой `AB` и на расстояние 3 от прямой `BC`. Найти угол `ABC` и расстояние от точки `D` до центра окружности Вписанной в треуг-к `ABC`

читать дальше (условие и решение)

Есть ли более простое решение?

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

Comments

[Trotil]

Есть ли более простое решение?

Средствами ангема должно быть проще. Уравнение прямых вроде в школе проходят.

[Гость]

К сожалению, задача некорректна. Соединим точку D с вершинами треугольника и пусть расстояние от точки D до стороны AC равно x. Тогда площадь треугольника равна сумме площадей треугольников ADB, BDC, ADC и равна 0,5P(2+3+x)=S. Подставляя цифирь, получаем x=-1, т.е. точка D не лежит внутри треугольника. Такие ляпы к несчастью встречаются. Позже попытаюсь посмотреть задачу в общем виде, но не скоро.

[Гость]

Извините. написал бред. Нашел ошибку

[aalleexx]

0,5P(2+3+x)=S

Тогда уж 0,5(2*АВ +3*ВС +х*АС)=S Гость , как удалось вынести за скобки периметр?

[Гость]

Попытаюсь объяснить без чертежа. пусть A1 и C1 - точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AС соответственно. Тогда точка D лежит внутри ромба со сторонами на прямых BA и BC и диагональю BI, где I - центр вписанной окружности (достаточно очевидно). Опустим из точки D перпендикуляры на IA1 - точка K, и на IC1 - точка L. Тогда четырехугольник IKDL - вписанный (при доказательстве этого факта надо рассмотреть 2 случая, поэтому возможен и четырехугольник IKLD). В нем IK= 1, IL=2 и угол KIL равен Pi - угол B. Находим KL по теореме косинусов, а затем ID по теореме синусов ( сторона/синус противолежащего угла равна диаметру описанной окружности). ответ такой же. Еще раз извините, за написанный ранее бред.

[Гость]

Построение: проведем через D и O прямые, параллельные сторонам угла B. В получившемся пар-ме с вершинами D и O высота лежащая против угла D = В равна 1, вторая высота - 2. Найти диагональ DO. Так по крайней мере получается более простой чертеж.

[Гость]

Продолжу. Пусть p,q - стороны полученного пар-ма. p=h1*sinb;q=h2*sinb. x - искомая диагональ.
x^2=p^2+q^2-2pqcos(180-b)=5*(25/24)^2-4*(7/25)*(25/24)^2=25*(1/24)^2*(5*25-4*7)=97*5^2/(24^2).

[Гость]

Очепятка p=h1/sinb;q=h2/sinb

[aalleexx]

Спасибо всем!