Геометрия

[3vono4ek]

подскажите пожлста как решить :
Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна четверти площади основания?
само решение примерно представляю, но только не пойму как можно узнать площадь основания? ведь угол конуса может варьироваться, то бишь нам не данно... и следственно ...

@темы: Стереометрия

Comments

[Trotil]

ведь угол конуса может варьироваться

обозначь его какой-нибудь буковкой (его или что-то еще). Потом сократится.

[Егэ-тренер]

Используйте подобие маленького и большого конусов.
Есть замечательное свойство - площади подобных фигур (сечений) относятся как квадрат коэффициента подобия.

[3vono4ek]

Есть замечательное свойство - площади подобных фигур (сечений) относятся как квадрат коэффициента подобия.

я уже и непомню всего этого...

помоему так : 2Пr^2 = узнаём основание, потом можно будет узнать четверть...
но как узнать радиус основания конуса? подскажите формулу...

[Егэ-тренер]

Есть два подобных конуса. Площадь сечения в 4 раза меньше площади основания.
Площади подобных кругов (квадратные величины) относятся как 1:4.
Это значит, например, что их радиусы (линейные величины) относятся как 1:2,
Объёмы конусов (кубические величины) как 1:8. (последнее ни при чём, лишь для объяснения).
Так вот высоты конусов - это же линейные величины. Значит, их отношение известно.

кстати, Вы там написали формулу площади круга... неверно. S=пr².

[3vono4ek]

простите... а откуда взялось то, что соотношение радиусов 1:2, а не к 3 скажем..?
вы хотите сказать, что ответ 2 дм???

[3vono4ek]

получается нам даже и не надо вычеслять радиусы?
...спасибо за поправку в формуле)

[Егэ-тренер]

Вот посмотрите на рисунок

Сравните маленький и большой квадраты.
Сторона большого (линейная величина) в 4 раза больше, а его площадь (квадратная величина) - в 16 раз!!! (4²),
т.к. линейные размеры перемножаются, когда ищется площадь.

Был радиус круга r, стал 2r (в два раза больше)
Была площадь пr², стала п(2r)²=4пr² (в 4 раза больше)

Нет, ответ вовсе не 2.
Высота маленького конуса относится к высоте большого как 1:2, а не как 1:4.

Да, радиусы вычислять не надо. Мало того, их невозможно вычислить.

[3vono4ek]

спасибо.. с площадью понятно, а вот с радиусом те же заморочки... я не понимаю почему 1:2?
потому что Н=8, а S=1:4?
то бишь если бы нам надо было найти высоту на площадь сечения равную половине, то соотношение радиусов равнялось бы 1:4? помоему я не правильно думаю....
совсем запутался...

Высота маленького конуса относится к высоте большого как 1:2, а не как 1:4.

дык ответ получается 4 дм???

[Егэ-тренер]

«с площадью понятно, а вот с радиусом те же заморочки»

3vono4ek, Вы должны понять что речь идёт не о площади и не о радиусе, а именно о связи между ними.
Не можем мы найти ни площадь, ни радиус, в этой задаче нет для этого данных.
Но мы можем:
1)из отношения площадей сделать вывод об отношении радиусов (перечитайте посты выше)
2)заметить, что отношение высот такое же, как отношение радиусов.
3)ну и найти маленькую высоту, последний момент Вы уловили точно))

[3vono4ek]

sebedash, я вобще "не врубаюсь" в метод вашего решения...неужели я такой тупой? честно сказать для меня это новость...
но уже часа 2 я сижу над вашим решением и пытаюсь понять.
давайте поменяем задачу, что если бы площадь сечения была равна не четверти, а 1/2???

[3vono4ek]

Был радиус круга r, стал 2r (в два раза больше)

кто нибудь, пожалста... обьясните... откуда это берется..?

[Robot]

3vono4ek
Это вам объясняли, почему если линейная величина изменяется в 2 раза, то квадрат величины изменяется в 4 раза.
В школе проходится свойсво, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров.
Если например, у подобных треугольников основания а1 и а2, то S1/S2=(a1/a2)^2 =k^2
^2 - возведение в квадрат
У кругов линейные элементы - радиусы, поэтому S1/S2=(R1/R2)^2
Мы, конечно, можем это свойство здесь вывести, но sebedash все очень хорошо объяснила
Ну или так можно S1/S2=П*R1^2/П*R2^2=(R1/R2)^2
Если дано отношение площадей, то мы можем найти и отношение радиусов. А радиусы будут относиться как высоты, потому что в подобных треугольниках все соответственные элементы относятся одинаково R1/R2=h1/h2/ Yу вот и можно отсюда будет найти нужную высоту.

Если бы вы чертеж сделали (его достаточно один раз сделать и посмотреть), то легче воспринималось бы

Если бы отношение площадей кругов (сечений) было бы 1/16, то (R1/R2)^2= 1/16, R1/R2=1/4.=h1/h2= h1/8

[3vono4ek]

спасибо огромное всем )))