ранги

[марципановый маньяк]

Я все никак не могу разобраться с рангами. Учебники слишком умны для меня своими минорами, вырожденными матрицами и линейными зависимостями.
Везде одной и то же определение, в которое я не могу врубиться. Это минимальное количество независимых векторов и столбцов, и строк вместе взятых?
Объясните мне кто-нибудь, пожалуйста, обычным языком, почему у матрицы
1 2 3
4 5 6
7 8 9
ранг =2
Первый базовый столбик умножаем на -2, второй базовый- на -3. Во следующем преобразовании умножаем второй на -2. Это значит, что последний стобик зависит от первого и второго вместе, а первые два между собой не связаны, так?
А как поставить такие числа, чтобы ранг был равен одному?

и очень прошу  zznaika отозваться

насчет экономической интерпретации..

В экономике тоже вводят в рассмотрение векторы, например, в теории потребительского выбора рассматривают вектор цен р=(р1, р2,...,рn), рi-цена i-го блага. Если иметь несколько векторов цен, относящихся, например, к разным моментам времени, то можно говорить о их линейной зависимости (независимости).

но я не очень поняла вот это: В частности, если цены всех благ одновременно вырастут в определенное число раз, то новый вектор цен будет линейно выражаться через старый и ранг этой пары векторов будет равен единице.
кто-то может мне объяснить, почему так? где составляется этот новый вектор цен? я никак не могу высчитать матрицу с рангом=1.

@темы: Матрицы

Comments

[Trotil]

почему у матрицы ранг =2? Потому что определитель 3x3 равен 0.

Еще потому, что 3 столбца (строки) линейно зависимы:

По строкам: 2* (4 5 6) - (1 2 3) = (7 8 9)
По столбцам тоже самое

[Trotil]

А как поставить такие числа, чтобы ранг был равен одному?

Это совокупность векторов x, ax, bx.

[марципановый маньяк]

Еще потому, что 3 столбца (строки) линейно зависимы.
а как же два независимых? ведь ранг 2

[Trotil]

а как же два независимых? ведь ранг 2

3 вектора в совокупности зависимы. Любые два из этой тройки - независимы.

Лучше всего линейную зависимость можно понять, представив геометрическую интерпретацию: вектора образуют базисы, так вот, любые два образуют плоскость, а третий лежит в этой плоскости, поэтому он линейно-зависим с остальными двумя.

[Дилетант]

То, о чем говорил  zznaika.
Давайте разберем на примере.
Пусть у нас есть три условных блага с ценами 10, 15 и 20 единиц.
Тогда вектор цен будет: р=(10,15,20)
И пусть теперь все цены возросли втрое. Новый вектор: р1=(30,45,60).
Векторы р и р1 будут линейно зависимыми, потому что р1=3р.
А вот если, предположим, цены возросли непропорционально, то линейной зависимости не будет.
К примеру, первая цена (в векторе р) увеличилась вдвое, а две другие остались неизменными:
р2=(20,15,20)
Тогда нет такого числа а, что р2=а*р.
Такие два вектора называются линейно независимыми.

[марципановый маньяк]

а всегда у стобцов и строк одинаковое количество зависимых векторов? разве нельзя составить такую матрицу, у которой будут зависимы только строки, например.

[Trotil]

а всегда у стобцов и строк одинаковое количество зависимых векторов?

Всегда. Почитайте учебник по линейной алгебре, много интересного узнаете =)

[марципановый маньяк]

Дилетант всё понятно. решила с рангами. в первом случае будет один, во втором два независимых вектора.

но даже тут если взять, то я чётко вижу зависимость между столбцами (я записала цены в стобики). а в строке зависимости четко не видно, хотя она наверняка есть... почему тааак. разве нельзя взять такие цены 1 случая, чтобы они вообще не были связаны между собой?))

[Дилетант]

марципановый маньяк
Это очень хорошо!

[марципановый маньяк]

Дилетант а для моего примера в посте с 3 векторами, ничего нельзя придумать из житейского?)))

[zznaika]

Учебники слишком умны для меня своими минорами, вырожденными матрицами и линейными зависимостями

Я конечно понимаю, что учебники осваивать дело нелегкое, но Вам прийдется это сделать, если Вы действительно хотите как следует разобраться Для экономистов лучший, на мой взгляд, учебник "Математика в экономике" под ред. А. С. Солодовникова. Вам нужна первая часть.
Определение ранга матрицы я Вам писал. Тот факт что строчный и столбцовый ранги матриц совпадают действительно совсем неочевиден для нормального человека, но это доказанный факт.

[Дилетант]

Из "житейского" — сколько угодно.
Множество задач линейного программирования именно к таким системам сводятся.

Вот, первую попавшуюся задачу беру.

Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В.
При этом можно применять три способра раскроя.
Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя:
___I способ __ II способ __ III способ
А __ 3 ________ 2 _________ 1
Б __ 1 ________ 6 _________ 2
В __ 4 ________ 1 _________ 5

Нам нужно узнать, сколько листов нужно раскроить первым способом, сколько вторым, а сколько третьим, чтобы в сумме получилось нужное количество заготовок.
Обозначаем количество листов для каждого способа через х1, х2 и х3 и получаем систему:

3х₁+2х₂+х₃ = 360
х₁+6х₂+2х₃ = 300
4х₁+х₂+5х₃ = 675

Матрица этой системы (не расширенная) будет матрицей 3х3.
Система имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда ее ранг равен 3.

Но это пример один из миллиона...
Применений очень много.

[zznaika]

Дилетант
Раньше марципановый маньяк интересовалась, можно ли дать экономическую интерпретацию понятию ранг матрицы. Мне кажется, что нет. Может Вы изобретательнее и знаете как это сделать? Было бы очень интересно.

[марципановый маньяк]

zznaika я скачала почти все книги со списка в сообществе о линейном программировании и математики для экономистов. но про ранги, как и в моей обычной книге университета, больше двух абзацев не сказано.. (кстати, у Солодовникова о ранге вообще ничего) я, честно говоря, много времени потратила, чтобы найти хорошее объяснение, но ничего не нашла. вообще, это лишь одно задание завтрашней контрольной, по нахождению ранга матрицы и его интерпретации, основная часть - симплекс метод, который я уже как орешки щелкаю (как же, перечитав столько книг!)). я пыталась найти связь ранга и симплекса, всё упирается лишь в условия... то что в книгах написано везде. но экономической, человеческой интерпретации я не могу придумать рангу.
спасибо вам в любом случае.

[Дилетант]

zznaika
Я сейчас ухожу, но всё равно так навскидку ничего не скажу... Обещаю подумать)))

С геометрической интерпретацией, которую здесь изложил Тротил, мне кажется всё куда наглядней....

[марципановый маньяк]

Дилетант Система имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда ее ранг равен 3.
так. 3 вектора независимы. а почему они не могут быть зависимыми? потому что после преобразований, может оказаться, что условие "при каждом способе раскроя" не соблюдается?

[Дилетант]

марципановый маньяк
Всё не так трагично, как это может показаться. Ранг — это количество линейно независимых векторов: строк (или столбцов) матрицы.
Чтобы находить ранг, можно вообще ничего не знать о симплекс-методе.

[zznaika]

кстати, у Солодовникова о ранге вообще ничего

Сейчас книга о которой я говорил лежит перед моими глазами. Второе издание, 2003 г. Параграф 1.4. пункт 2. Ранг и базис системы векторов.
Зачем обманываете?

[Дилетант]

марципановый маньяк
Ой.
Предыдущий коммент — ответ на ваш более ранний.

[марципановый маньяк]

а в сообществе выложено 2000 года книга)) поэтому, наверное, и нет))
Глава 2: Матрицы и определители.
о рангах ни слова, перелистала весь файл.

[zznaika]

И кстати, марципановый маньяк, ы сами решили искать экономическую интерпретацию понятия ранга матрицы или преподаватель дал задание?

[zznaika]

Смотрите первую главу

[марципановый маньяк]

zznaika это задание будет завтра на контрольной после основной части работы, то есть интерпретация ко всем заданиям - идет дополнительно, как дополнительные пункты, т.к. о ней очень мало говорится на лекциях (о рангах не говорилось вообще) и это якобы "самодеятельность")

[Дилетант]

а почему они не могут быть зависимыми? потому что после преобразований, может оказаться, что условие "при каждом способе раскроя" не соблюдается?

Они не могут "оказаться" или "не оказаться" независимыми. Просто мы можем сначала не знать, зависимы они или нет, а потом, применяя различные методы, узнать. В данном случае они линейно независимы, потому что я выбрала такую задачу. А как я могу в этом убедиться?
Могу посчитать определитель. Могу привести матрицу к треугольному виду... Одним словом, воспользоваться адекватным методом, который позволит мне узнать ранг.
Про условие "при каждом способе раскроя" не соблюдается? не поняла, что вы имеете в виду.

[марципановый маньяк]

Дилетант Система имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда ее ранг равен 3. - так это задано условием?
я просто зрительно представляю, что при ранге =2, матрица будет без и стобика, и строчки... и тогда условия с тремя способами не будут правильными. короче, не знаю... я думала "при каждом способе раскроя" - имеется в виду, что матрица всегда будет 3на3, то есть будет обработка 3 способами ВСЕГДА, обязательно используя ВСЕ способы раскроек, и после преобразований.. то есть ранг=3 следует из этого условия

zznaika

вот

[zznaika]

интерпретация ко всем заданиям - идет дополнительно, как дополнительные пункты

Дать интерпретацию получаемым результатам в конкретном случае почти всегда возможно. Вы спрашивали о ранге вообще, безотносительно какой-то задачи.

[марципановый маньяк]

zznaika да. вот я и ищу различные примеры. если будет матрица 3 на 3, если ранг будет 2, или 3... стараюсь понять.
могу и задачу с объяснениями написать к матрице, как привели пример выше.

[Дилетант]

марципановый маньяк

Система имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда ее ранг равен 3. - так это задано условием?

Нет. Это фундаментальный математический результат. Чтобы система из трех уравнений с тремя неизвестными имела единственное решение, ранг ее матрицы должен быть равен 3.

Не совсем точно я его изложила, правда. Он выполняется только если уравнения совместны.

Но это ни в коем случае не входит в условие задачи.

[марципановый маньяк]

это из условия r=m<n..
таак. а если ранг меньше будет, то тоже 1 ответ?

[Дилетант]

zznaika
кажется я с рангом тоже разобралась.

Вот задача.
(Уже опаздываю, поэтому пишу очень быстро):

Пусть к нам в порт пришло три типа грузов А, Б и В и нам его нужно увезти вагонами тоже трех типов: I, II, III.
Пусть в первый вагон влезает 3, 4 и 5 единиц грузов А, Б и В соответственно, во второй 6, 8 и 10, а в третий 7, 2 и 4.
Т.е. первый вагон берет всех грузов вдвое меньше, чем второй.
Тогда нам всё равно, взять два вагона первого типа, или один второго (если нет доп. условий на цену перевозки).
Где-то так...