C5 из книги И.В. Ященко и др. Подготовка к ЕГЭ по математике 2010.

[aalleexx]

Вот такая вот задачка.

Как думаете. есть ли более простое решение?

@темы: ЕГЭ

Comments

[Robot]

Во-первых, я бы рассмотрела случай а=0 сразу отдельно, чтобы потом не думать о знаменателе.
Кроме того, мне кажется, что так нельзя оценивать дискриминант при a > 2 (там же вычитание идет, мне кажется, достаточно решить неравенство и показать, что при а > 2 D положительно)
Может, просто потребовать, чтобы вторая система не имела решение, то есть или дискриминант меньше нуля (что для этих случаев не выполняется), или корни меньше 1/а - но без их нахождения в явном виде (я только забыла какой там набор условий для того, чтобы оба корня были меньше d).
Но, по-моему, по трудозатратам будет одинаково
==
Можно еще графически попробовать решить

[aalleexx]

нельзя оценивать дискриминант при a > 2

а при а>2 дискриминант монотонно возрастает, так что вроде можно так оценивать....

[Robot]

я имею в виду оценку
D=9a^2-14a+1 > 81 -28+1 при a>2
Оценки должны основываться на свойствах числовых неравенств ну или, согласна, на монотонности. Но там про монотонность ничего не написано, потому можно понять двояко. Монотонность длиннее доказывать (это ведь квадратичная функция, она не всюду монотонна), чем просто решить неравенство и показать, что при a >2 там положительно.

[aalleexx]

Robot Это же просто - 2 находится правее вершины 7/9

[aalleexx]

Robot Конечно, вы правы, можно решить неравенство, но не хочется - дискриминант нехороший

[Robot]

aalleexx
ну я ж все понимаю))
просто я говорю, что решение можно прочитать двояко (если школьник это читает. И эксперт тоже может здесь знак вопроса поставить). То есть он не видит ничего про монотонность, про вершину параболы...
Ну, это просто замечание, я бы в развернутом решении просто как-то более подробно этот момент осветила.

А более простого пока не придумывается.

[ucheba.pro]

Там все просто, вы не туда смотрите.

[aalleexx]

Robot Вы правы, спасибо. Мне показалось, что решение уж слишком "навороченное". Надо графически попробовать...

[Robot]

ucheba.pro
Если бы ты дал мне возможность подумать, то может что-то бы и придумалось..))

[ucheba.pro]

ucheba.pro Если бы ты дал мне возможность подумать, то может что-то бы и придумалось..))

Думайте всей ватагой сколько влезет, как надумаете, я гляну.

[Robot]

ucheba.pro Я не понимаю, к чему такое поведение.
Здесь идет обсуждение задачи.
Если есть более красивая идея или просто решение надо было говорить о нем, а не писать

Там все просто, вы не туда смотрите.

Ну, возьми и покажи...
Мы же не выпендрежем здесь занимаемся - кто умнее или кто больше знает.
Обычно такими вещами подростками занимаются, чтобы себя показать.
А у тебя наблюдается такая тенденция - а-а, вот у вас не получается, а я умный какой, сейчас сбацаю и дам ссылку на свой форум, чтобы все видели, какой я умный..
Вот именно такое впечатление создается.
Извини, что не в личку, а так. Устала уже.
И выпендрежа здесь не хочу. не хочу соревнований типа - а я умнее.
Я хочу, чтобы здесь была спокойная рабочая обстановка. У кого придумается, тот и скажет, без всяких твое-мое..

[aalleexx]

Robot Хорошо, что это тот же самый, я уж боялся, что они стали размножаться простым делением

[aalleexx]

Есть простой путь - обе части в квадрат. Будет уравнение 4-й степени, х выносится за скобки. Один их корней 0. Оставшееся кубическое уравнение не должно иметь корней, отличных от нуля. оттуда получаем а=0 и а=1.

[Robot]

Возведение в квадрат вообще-то неравносильное преобразование (у нас правая часть может принимать и отрицательные значения)
Да и что-то кв. трехчлен возводить в квадрат.. Вы осилили?))

[aalleexx]

у нас правая часть может принимать и отрицательные значения

не может, она же модулю равна

[Robot]

aalleexx
имею в виду, что исходное уравнение и уравнение после возведения в квадрат имеют неодинаковое множество решений
Например, |x|=-2 и X^2=4
(именно поэтому при решении уравнений вида √(x^2-5x-1)=x-1 мы накладываем ограничение на правую часть (х-1≥0)
Другое дело, что это множество решений может только расширяться, то есть за счет этого мы приобретаем посторонние, а это нам в данном случае неважно, потому что мы хотим потребовать

Оставшееся кубическое уравнение не должно иметь корней, отличных от нуля

Пока не было времени возвести в квадрат и посмотреть

==
Графически мне что-то не нравится (или я что-то не додумываю)
Понятно, что графики левой и правой части проходят через одну точку (0,1). Но далее легче, чем аналитически, у меня не получилось
Единственное, что я бы конец второй части Вашего решения делала не через явное сравнение корней в дискр.форме с 1/а, а то, о чем писала: рассматриваем случай а > 2 и смотрим в каком случае нет решений, удовлетворяющих условию x > 1/a. что сводится к тому, что дискриминант меньше 0 или корни не превышают 1/а (последнее сводится к системе f(xо) < 1/a и f(1/a) ≥0
Меняется только конец. и я не скажу, что так много выигрывается.

Может еще осенит...

[aalleexx]

Конечно, по ходу при возведении получается лишний корень х=-2. Но его легко отбросить. А суть в том, что кубическое уравнение всегда имеет хотя бы 1 действительный корень. Поэтому либо он равен 0, либо уравнение не должно быть кубическим. . Получается намного элегантнее

[Robot]

С этим я не спорю))
Элегантнее намного))

[Robot]

Нет, мне кажется, что все таки здесь так делать нельзя.
не могу пока точно сформулироватьЮ но что-то мне с логической точки зрения не нравится

[Robot]

если бы уравнения были равносильны... А так - второе уравнение имеет (может иметь) постороннние корни. И сколько их? А вдруг все три? Тогда требовать, чтобы кубическое имело корнем х=0 неправомерно.
Либо как-то очень аккуратно все надо объяснять

[aalleexx]

Да, надо посмотреть, чтоб сложность обоснования не свела на нет простоту решения...

[zznaika]

второе уравнение имеет (может иметь) постороннние корни. И сколько их? А вдруг все три? Тогда требовать, чтобы кубическое имело корнем х=0 неправомерно.
Либо как-то очень аккуратно все надо объяснять

Согласен, обоснования нет.
По-моему первоначально предложенное решение вполне себе хорошее.