Помогите

[Nurmi]

Помогите пожалуйста, в полном тупике нахожусь. В контрольной задание найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А.
9 9 1
А=1 9 1
1 -9 1

Нашла собственные значения линейного преобразования, -9, 9, -9.
Дальше делаю систему уравнение для первого собственного вектора

18х1+9х2+х3=0
х1+18х2+х3=0
х1-9х2=18х3=0

По такому же принципу делаю системы уравнение и для второго и для третьего собственных векторов, а дальше ни как не получается, запуталась с рангом системы, и координаты векторов не получается найти. Пробовала методом Гаусса, но где то сбиваюсь. Может ошиблась. Помогите пожалуйста. Нужно очень до 5 октября.

@темы: Линейные преобразования

Comments

[Robot]

А матрица точно такая?
9 9 1
1 9 1
1 -9 1
Потому что для такой ваши числа собственными значениями не являются
Какой у вас характеристический многочлен?

[Nurmi]

Нет конечно не такая. Ошиблась, простите пожалуйста, за невнимательность.
9 9 1
1 9 1
1 -9 9


Я так искала собственные значения,
9-к 9 1
1 9-к 1
1 -9 9-к

Дальше может не совсем сообразила, но характеристический многочлен составила по такому же правилу как и определитель матрицы, т.е. по правилу треугольника (9-к) (9-к) (9-к) +9 -9-(9-к)-9(9-к)+9(9-к)=729-81к-9к^2-к^3=0 Получилось кубическое уравнение. Может его корни не правильно нашла, или вообще все не правильно.

Спасибо огромное за помощь, прошу прощение за беспокойство, просто школу закончила 13 лет назад, а самостоятельно справиться с высшей математикой я пока до конца не могу.

[Robot]

Вы говорите, что матрица такая
9 9 1
1 9 1
1 -9 1
но вычитаете кЕ из матрицы такой
9 9 1
1 9 1
1 -9 9
проверьте еще раз.
Сначала надо правильную матрицу записать

[Robot]

Если все же последняя, то считаем определитель вот такой
9-к 9 1
1 9-к 1
1 -9 9-к
Записали вы его по правилу треугольника правильно, после приведения подобных получается
(9-к) (9-к) (9-к) -(9-к) = (9-k)((9-k)^2-1)=(9-k)(9-k-1)(9-k+1)=9-k)(8-k)(10-k)
(а если все раскрывать, то получается куб.мн-н

но раскрывать было не нужно.

[Nurmi]

Спасибо огромное за подсказку, но все равно не как не выйду на собственный вектор.
Для собственного числа 9, получается система
9Х2+Х3=0
Х1+Х3=0
Х1-9Х2=0,

Я понимаю, что из этой системы я могу выразить:
Х1=-Х3
Х1=9Х2
Х2=1/9 Х1
Х3=-Х1
Если Х1=С
Х2=1/9С
Х3=-С

И вот тут то и все, дальше сдвинуться не могу, не знаю как перейти к вектору, какие дальнейшие действия? И зачем нужен ранг системы и нужен ли он вообще, и как он находится, сплошные загадки.

для 8
Х1+9Х2+Х3=0
Х1+Х2+Х3=0
Х1-9Х2+Х3=0
для 10
-х1+9Х2+х3=0
Х1-Х2+Х3=0
Х1-9Х2-Х3=0
Эти системы тоже я приведу к тому же финалу и все, а вектор не получается, спасите, вторые сутки мучаюсь.

[Robot]

к=9
9Х2+Х3=0
Х1+Х3=0
Х1-9Х2=0
==
из третьей вычтем вторую
Х1+Х3=0
9Х2+Х3=0
-9x2-x3=0
==
прибавим к третьей вторую, останутся два уравнения
Х1+Х3=0
9Х2+Х3=0
(все это можно делать на языке матриц - к ступенчатому виду и т.д., ранг будет равен 2, а неизвестных 3, одна неизвестная свободная : х3
х1=-х3
х2=(-1/9)х3
Таким образом решениями системы будут все векторы вида (-с,(-1/9)с,с), собственными будут все векторы такого вида, где с не равно 0)
В качестве базисного положим с=9 (можно с=1, но тогда будут дроби)
получим вектор а1=(-9,-1,9)
Аналогично с другими системами

[Nurmi]

Спасибо огромное, последняя задача в контрольной которая не выходила. Особенное спасибо за подробное объяснение.

[Robot]

Получилось?
Как там с остальными системами?, какие собственные векторы?

[Nurmi]

Что то я свои умственные возможности переоценила, не все так гладко оказалось
Для 8 после решения по Гауссу получилась система
8Х2=0
18Х2=0
Отсюда
Х2=0
Х1=-Х3
И опять не могу найти из них свободный, и опять этот ранг (для меня его нахождение до сих пор страшная загадка), а отсюда и вектор ни как. Я предполагаю, что его координаты (С,0, -С)
А для 10 вообще что то страшно интересное получилось, по Гауссу, получается система
-2Х1+10Х2-2Х3=0
-2Х1+18Х2+Х3=0
Тут не только затор по рангу и вектору, так еще и не удалось по Гауссу от Х1 избавится. Что то я не до понимаю
Ну если -Х1+9Х2+Х3*1, а потом (-Х1+9Х2+Х3)-(Х1-Х2+Х3)=-2Х1+10Х2+2Х3, или не так.
Я понимаю, что делаю может быть глупые ошибки, но поверьте я уже все перепробовала (и учебники, и решебники, и интернет), поэтому к Вам и обратилась.

[Robot]

При решении таких систем нужно приводит матрицу к ступенчатому виду
Х1+9Х2+Х3=0
Х1+Х2+Х3=0
Х1-9Х2+Х3=0
1 9 1
1 1 1
1-9 1
(столбец нулей не пишу)
Из второй и третьей вычитаем первую
1 9 1
0 -8 0
0 -18 0
Делим вторую на -8 и третью на -18 и вычитаем из третьей вторую
1 9 1
0 1 0
0 0 0
получаем ступенчатую матрицу с двумя ненулевыми строками, значит, ее ранг равен 2
число неизвестных 3. Значит, у нас два главных неизвестных, а одно свободное

в строках первые слева ненулевые элементы соответствуют х1 и х2 - это главные
х3 будет свободной неизвестной - она может принимать любое значение
х3=с
из уравнений имеем х2=0
х1=-с
Таким образом, собств. векторы это векторы вида (х1,х2,х3)=(-с,0, с), где с - ненулевое действительное число
Для нахождения базисного вектора даем с любое значение с=1, например.
==
Напишите для к=10 подробнее. так, как написала сейчас я.

[Nurmi]

Для 10 система получается
-х1+9Х2+х3=0
Х1-Х2+Х3=0
Х1-9Х2-Х3=0
По аналогии с Вашим решением после того как из второй и третей вычитаю первую для 10 получается матрица
-1 9 1
-2 -10 0
-2 -18 0
Вот и загвоздка в -2, как делать дальше.

[Robot]

А зачем вычитать из второй и третьей??
ведь мы делаем какие-то преобразования, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду
То есть после первых преобразований надо получить вот такой столбик
1
0
0
Разве здесь вычитать надо
вот матрица
-1 9 1
1 -1 1
1 -9 -1
Чтобы получить столбик
1
0
0
что нужно сделать?

[Nurmi]

Матрицу
-1 9 1
1 -1 1
1 -9 -1
Умножаю первую строку на -1
Получаю
1 -9 -1
1 -1 1
1 -9 -1

Из второй и третей вычитаю первую
Получаю
1 -9 -1
0 8 2
0 0 0
Может конечно опять не так.
Но вот по Гауссу из системы
-х1+9Х2+х3=0
Х1-Х2+Х3=0
Х1-9Х2-Х3=0, это для 10
Получилась система
-2Х1+10Х2=0
8Х2+2Х3=0
Следовательно
Х1=5Х2
Х3=-4Х2
Отсюда вектор (5с, С, -4С), а так не правильно?

[Robot]

По гауссу как раз надо приводить систему к ступенчатому виду
1 -9 -1
0 8 2
0 0 0
Эта матрица соответствует системе
х1-9х2-х3=0
8х2+2х3=0
Ранг равен 2
2 главных неизвестных, одно свободное
Можно как вы взять свободное х2
х2=С
х3=-4С
х1=9х2+х3=9С-4С=5С
вектор такой как у вас.
При с=1 (5,1,-4)
==
Можно было в качестве свободного неизвестного взять х3 =С
Тогда х2=(-1/4)С
х1=(-5/4)С
и при с=-4 получаем (5,1,-4)
==
Просто можно решать стихийно, барахтаясь во всяких двойках и не зная как решать систему
А можно спокойно по науке приводить к ступенчатому виду, зная четко алгоритм выявления своб. и глав. неизвестных

[Nurmi]

У МЕНЯ САМЫЙ ПОСЛЕДНИЙ ВОПРОС
Значит исходя из вашего последнего объяснения в качестве свободного неизвестного в решении системы с 8 можно было взять Х1=С, а не Х3=с, или нельзя, а если нельзя то как наглядно из матрицы это можно увидеть?
Потому что Ваше объяснение
1 9 1
0 1 0
0 0 0
получаем ступенчатую матрицу с двумя ненулевыми строками, значит, ее ранг равен 2
число неизвестных 3. Значит, у нас два главных неизвестных, а одно свободное.
в строках первые слева ненулевые элементы соответствуют х1 и х2 - это главные
х3 будет свободной неизвестной - она может принимать любое значение
х3=с
Все как бы понятно, но матрица

1 -9 -1
0 8 2
0 0 0

В ней первые слева ненулевые элементы тоже соответствуют Х1 и Х2
Ранг равен 2
2 главных неизвестных, одно свободное
Можно как вы взять свободное х2, но можно и Х3

Если честно я не ожидала, что есть такие люди как Вы, Вы даже не представляете как Вы мне помогли. Я же студент заочник, причем по первому высшему историк, а на основании диплома взяли сразу на второй курс, да только одно нужно кучу предметов досдать, и все до 1 ноября в них и высшая математика 6 контрольных за весь первый курс, не считая контрольных по программированию и начертательной геометрии, честно голова уже пухнет, а хочется до всего дойти своим умом да не выходит. Большое Вам спасибо.

[Robot]

Ну, этот последний вопрос всем вопросам вопрос))
Дело в том, что ранг матрицы однозначно указывает на количество главных и свободных неизвестных, а вот иногда сами их иногда можно брать достаточно произвольно, а иногда и нет
Алгоритм - первым слева ненулевым элементам матрицы соответствуют главные неизвестные - срабатывает всегда. Тут уже не ошибешься. это особенно важно, когда элементов много и свободных неизвестных больше одного
А в данном случае у нас одно свободное неизвестное: х2 можно выразить через х3.но и х3 можно выразить через х2 и потому получается,что в данном случае все равно что взять
вот если бы у нас было 6 неизвестных:
х1+2х2-3х3+х4-х5+х6=0
3х3-7х3-х5+2х6=0
х4+х5+7х6=0
Здесь выражая одно через другое можно легко запутаться.

По алгоритму все четко: х1,х3,х4главные, остальные свободные , то есть х2,х5 и х6 можно придавать любые значения, а х1 ,х3 и х4 будут через них выражаться.
==
Как раз вы и пытаетесь дойти до всего умом, а не отдать контрольные решить кому-то и забыть о них. И вопросы вВы очень хорошие задаете! А таким людям мы здесь очень рады!
Все у Вас получится - не волнуйтесь!

[Nurmi]

Спасибо, спасибо, спасибо теперь можно идти спокойно спать. Теперь точно дошло.