[zhfcgbplzq]

Объясните пожалуйста, если можно проще, почему для скалярного произведения векторов определено именно такое выражение, а не другое. a(a1,a2)*b(b1,b2)=a1b1+a2b2?

Comments

[Robot]

|a||b|cos(a^b) Наоборот прояснилось! Это соотношение ведь выводится из аксиом и как следствие для координат через теорему косинусов можно получить соответствующую формулу.

Определение - какое бы оно не было - НЕ выводится из аксиом. Оно дается. Из аксиом и определения выводятся уже свойства операции и другие сопутствующие формулы.

[_ТошА_]

Что же вы все путаете определение и аксиомы.
Знаете, ведь есть неопределяемые понятия, такие как множество, функция. Они все на основе подсознания вообще даются. Так что начала математики еще абстрактнее, путь вас это не пугает

[Тупак Шакур]

Извините, я уже наверное достал. Но так, как эта формула даётся в Атанасяне это определение всё таки подтверждается, что оно именно такое из соотношения треугольника, а у Погорелова так: давайте возьмём соотношение и будем его называть скалярным произведением

[Robot]

возьмём соотношение и будем его называть

Вот, кстати, чаще так и будет.
Пределом будем называть
Интегралом будем называть
Поизводной будем называть

и будут даваться формулы..

[Robot]

К сожалению, я вас покидаю, поздно уже.

[Тупак Шакур]

Я сам прошу прощения, меня родители спать загнали. С доказательством для 3-х измерений разобрался. Там просто перемножаются многочлены (разложенные пространственные вектора по единичным векторам по аналогии с разложением по двум перпендикулярным осям) и учитывается перпендикулярность или сонаправленность перемножаемых векторов.
1. Но я так понял распределительный закон для пространственных векторов, для такого доказательства, должен быть дан по определению.
2. В Погорелове для двух измерений распределительный закон не даётся, а доказывается через определение скалярного произведения.
Из 1 и 2 что первично?
3. И опять же, когда раскрываем скобки для трёх измерений одними из членов будут произведения перпендикулярных векторов и соответственно по определению скалярного произведения эти слагаемые будут равны нулю.

Вот, кстати, чаще так и будет.
Пределом будем называть

А если я что-то другое захочу пределом назвать? Я имею ввиду когда математики всё таки вводят новые понятия и определения, они же чем-то руководствуются. Как допустим Декарт (не знаю он или не он) вводил скалярное произведение. Если скажем это оправдано с точки зрения физики (разумеется оно наверняка там оправдано и применяется), то математику обязательно знать ещё и физику (не говорю о том что знать много разных дисциплин вообще полезно и это развивает)?

[_ТошА_]

Тупак Шакур
Определение - это договорённость, переходящая из поколения в поколение.
И всё, что вы захотите попробовать назвать, уже названо.
Скалярное произведение отвечает за работу. Физикам не нужно знать глубоко математику.
А вообще, математика и развивалась, как необходимость другим наукам. Физикам нужно что-то, придумали, химикам нужно - придумали. Математика - аппарат.

Дистрибутивность очень просто доказывается, если представить линейную комбинацию.
Можно и через скалярное ковырять. Точнее, ведь дистрибутивность в том числе и для скалярного произведения кое-где нужна.

3. И опять же, когда раскрываем скобки для трёх измерений одними из членов будут произведения перпендикулярных векторов и соответственно по определению скалярного произведения эти слагаемые будут равны нулю.

Да, будут. Но это слагаемые, так что сама сумма в ноль не обращается. И нули будут только в ортонормированном базисе.

Зачем вы в школе лезете в такие дебри?)

[Trotil]

Мне кажется, спорящие тут не совсем друг друга понимают, и предмет разговора тоже не на 100%, в частности путают общее с частным.

[Тупак Шакур]

|a||b|cos(a^b) Наоборот прояснилось! Это соотношение ведь выводится из аксиом и как следствие для координат через теорему косинусов можно получить соответствующую формулу.
Определение - какое бы оно не было - НЕ выводится из аксиом

- я имел ввиду, что соотношение |a||b|cos(a^b) выводится из теоремы косинусов, опирающуюся в своём доказательстве в конечном счёте на аксиомы, которые мы вводим вначале изучения геометрии.
Если выделить |a||b|cos(a^b) из полученной формулы, то ему (выражению) будут соответствовать соотношения между координатами. Это выражение по входящим в него компонентам и можно назвать скалярным произведением. Так ведь логично, видно произведение длин векторов. А если мы вводим a1b1+a2b2, то можно конечно доказать потом разные следствия включая формулу |a||b|cos(a^b), но напрашивается вопрос ПОЧЕМУ именно это выражение - a1b1+a2b2 - мы вдруг назвали скалярным произведением. Может действительно Погорелов расчитан, что технарям пойдёт и такое определение, главное на практике выполняется и им хватит Или я всё не так понял? Просто не хочу заблуждаться...

[Тупак Шакур]

Дистрибутивность - это распределительный закон? Линейная комбинация . Я в дебри как бы не лезу, я их потихоньку хочу расчистить.

[Тупак Шакур]

3. И опять же, когда раскрываем скобки для трёх измерений одними из членов будут произведения перпендикулярных векторов и соответственно по определению скалярного произведения эти слагаемые будут равны нулю.
Да, будут. Но это слагаемые, так что сама сумма в ноль не обращается. И нули будут только в ортонормированном базисе.

Я извиняюсь, что не совсем точно выражаюсь. Само собой в сумме будут ветора сонаправленные, но опять же нужно вводить почему произведение их будет "таким", а перпендикулярных векторов - 0, т. е. ввести определение скалярного произведения.

[Trotil]

В самом общем случае, скалярное произведение - это такая операция между двумя векторами, которая для каждых двух векторов линейного пространства ставит в соответствие действительное число. При этом должны выполняться свойства:



Вот это единственное нормальное определение скалярного произведения.

Все остальное - это конкретные случаи, которые впрочем, соответствуют перечисленным аксиомам.

Далее, для векторов удобно ввести метрику (норму, длину): |x| = sqrt( (x,x) )

Вы не поверите, но угол в общем случае тоже определяется через скалярное произведение:

[_ТошА_]

В вузе вы всё узнаете.

что соотношение |a||b|cos(a^b) выводится из теоремы косинусов, опирающуюся в своём доказательстве в конечном счёте на аксиомы, которые мы вводим вначале изучения геометрии.

Это выводится, как частный случай.
Его назвали скалярным произведением.
Ещё неизвестно что и из чего выводится

[_ТошА_]

Тупак Шакур
Скалярное произведение вводится определением

[Trotil]

Это выводится, как частный случай. Его назвали скалярным произведением.

Вообще-то, в идеале все наоборот.

[Тупак Шакур]

скалярное произведение - это такая операция между двумя векторами, которая для каждых двух векторов линейного пространства ставит в соответствие действительное число

но как определить правило по которому оно ставится? А почему на рисунке в скобках знаков нет? и (в) непонятно...

Это выводится, как частный случай.
Его назвали скалярным произведением

- частный случай из определения, которое дал Trotil?

[_ТошА_]

Trotil
Ну где как. Тут не всегда разберёшься что и откуда пришло)