Доказательство бесконечности множества простых чисел.

[sugar/free]

MZ

`TZ`
Доказательство бесконечности множества простых чисел.
[[/TZ]]

Друзья-товарищи! Озадачилась вопросом доказательства бесконечности множества простых чисел.
Имеется Евклидовское доказательство, которое формулируется так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и
прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного
набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них
даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число,
не включённое в этот набор.

Итак. При перемножении мы получаем число, не имеющее никаких делителей, кроме тех, из которых оно собственно и перемножилось. Нечётное получается число. Но! Стоит добавить единицу, и мы имеем совершенно другое, помимо всего прочего чётное число, которое имеет самые различные делители.
Вопрос! Откуда вообще тогда у нас возникает новое простое, с помощью которого мы и доказываем бесконечность?

@темы: Множества

Comments

[Дилетант]

Нечётное получается число.

Почему нечетное?
Очень даже четное.
2 — это простое число. Оно входит в произведение.

[_ТошА_]

sugar/free
На двойку умножаем же. Все нечётные, кроме двойки. Получится чётное.

[Robot]

Я знаю чуть-чуть иначе доказательство.
Перед ним доказывается, что всякое составное число имеет хотя бы один простой делитель.
Представим, что количество простых чисел конечно:р1=2, р2, ... рn. Перемножим их и
прибавим единицу. Полученное число N=p1*p2*... pn +1 больше любого простого числа из нашего конечного списка, поэтому в наш список не входит , а значит, не является простым, а является составным. Тогда оно должно иметь хотя бы один простой делитель. Однако оно не делится ни на одно из нашего конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу.
Получаем противоречие.

[sugar/free]

Дилетант, _ТошА_ да, про двоечку забыла. так всё встаёт на свои места.

Robot ага, хорошее доказательство. только нужно обязательно доказать первый факт.

[Гость]

Даже без двойки при перемножении нечётных чисел в итоге получается нечётное, а при прибавлении 1- оно становиться чётным т.е. делится на 2

[Гость]

все неправы

[Гость]

Дело в том, что формула ab+ac=a(b+c) дала бы нам разложение нового числа на множитель из множества, да только единица ни на что не делится, поэтому разложение невозможно и число наше - простое.

[Гость]

невозможно и число наше

Я перед "и" запятую забыл.